工程力学 课件 第二章 平面力系

1、基本的约束类型：1）柔性约束:沿柔性绳索远离被约束体。2）理想光滑表面约束:沿公法线方向指向被约束体3）铰链约束:不能确定方向(接触点)时,用一对正交分力表示4）固定端约束:用力偶和一对正交分力来表示5）尖端约束:在接触点沿公法线方向指向被约束体上节回顾1）先找二力构件(双铰、一端铰接一端点接触等)。2、受力图总结：2）能否应用三力平衡汇交原理(图解法)。3）整体受力分析时,各部分之间相互作用力是内力不要画出来。4）约束和约束反力不能同时存在，受力分析要去除约束。5）最后别忘给力起一个“矢量”的名字。第二章平面力系2.1基本量的计算2.2平面力系简化2.3平衡条件和平衡方程2.4平面力系平衡问题1、平面汇交力系:各力作用线汇交于同一点(不含力偶)力系的分类平面力系

空间力系2、平面力偶系:若物体上仅仅有力偶的作用，并且它们都在同一平面内。3、平面平行力系:各力作用线相互平行(可包含力偶)。

4、平面一般力系:若作用于物体上所有的力（包括力偶）都在同一平面内，则力系称为平面一般（任意）力系。

-各力作用线共面的力系

(2)力对点之矩；(3)力偶。(1)力在轴上的投影；基本量的计算基本量的计算包括：

共点力的合成用几何法求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接，合力是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头。几何法：用平行四边形法则进行合成和分解。

FR=F1+F2+…+Fn=

FOa)平行四边形法则F2F1FRb)力三角形F2FRd)力多边形F1OF5Oc)汇交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5FR力在轴上的投影

解析法（投影求和法）力F在任一轴x上的投影，等于力的大小乘以力与轴正向夹角的余弦。有：

Fx=Fcos

力的投影是代数量。或者：力在任一轴上投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦，其正负则由从力矢量起点到终点的投影指向与轴是否一致确定。aFx力在任一轴上的投影Fx力在轴上的投影力在轴上的投影力的投影(代数量)－引垂线。力的分解(矢量)－平行四边形法则。y

xFO

力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小。而分力的大小却不一定都小于合力。力在任一轴上的投影可求，力沿一轴上的分量不可定。xFOFx分力Fx=？讨论：力的投影与分量可见，力F在垂直坐标轴x、y上的投影分量与沿轴分解的分力大小相等。力F在相互不垂直的轴x、y'上的投影分量与沿轴分解的分力大小是不相等的。FxyOxFy

OFyFxFyFxFyFx合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上之投影的代数和。

表示合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由FRx、FRy的符号判定。

ac-bc=ab由合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy合力的投影abcFRF1xF2正交坐标系有:;RxRxFF=RyRyFF=合力:FRxxyFRyFRa例1

求图示作用在O点之共点力系的合力。FRx=

Fx=-400+250cos45

-200×4/5=-383.2NFRy=

Fy=250cos45

-500+200×3/5=-203.2N解：取坐标如图。合力在坐标轴上的投影为：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400N

FR合力为：

=433.7N;

=arctan(203.2/383.2)=27.9

在第三象限，如图所示。22RyRxRFFF+=yxOF2F3F4F1

FR力对点之矩（力矩）力矩定义：1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向(逆时针为正，顺时针为负)两个要素：即

力对点之矩（力矩）合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。合力矩定理：合力对点之矩等于其各分力对该点之矩的代数和。直接求力矩：MO(F)=F.d=F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb=F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理：OaF求MO(F)FxFy力对点之矩（力矩）总结:(力在轴上投影和力矩)一、意义：都表示对物体的作用效果。二、都是代数量：正负：表示方向大小：作用效果力矩:力对物体围绕该点的转动效果力的投影:力对物体在该轴方向上的移动效果力偶（又一基本量）作用在同一平面内，大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力。1.基本概念力偶使刚体的转动状态发生改变。作用效应度量转动作用效应的物理量。单位为N.m或kN.m在平面内，M是代数量，逆时针转动为正。力偶矩力偶的作用平面、转向和力偶矩的大小，可以用一个矢量（力偶矩矢M）来描述。力偶的三要素FF’hoxyM2.平面力偶的等效与合成b)在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和力臂的大小。由此即可方便地进行力偶的合成。

平面力偶等效定理同一平面内的二个力偶，只要其力偶矩相等，则二力偶等效。a)力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢M的作用点可以在平面上任意移动，力偶矩矢是自由矢。推论60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m力偶推论：力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。注意：力偶在任一轴上的投影为零。MO(F)+MO(F

)=F

AO+F

BO=F

AB=M

F

F

OAB力偶有:F=F

;F//F

请自行证明:Fx+Fy

=0

xF

F

力偶c）平面力偶系的合成若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一个合力偶。平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和。

M=

Mi合力偶定理F1h1F2h2h1F1+h1F2h2M=F1h1+F2h2力偶比较：使物体沿力的作用线移动。使物体在其作用平面内转动。力力偶力是矢量（滑移矢）力偶是矢量(自由矢)平面力偶是代数量共点力系可合成为一个合力。平面力偶系可合成为一个合力偶。合力偶定理:

M=

Mi合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy

第二章平面力系2.1基本量的计算2.2平面力系简化2.3平衡条件和平衡方程2.4平面力系平衡问题研究思路：受力分析如何简化？共点力系可合成为一个力力偶系可合成为一个合力偶力向一点平移力系的简化平衡条件一般力系xyM2M1问题：如何将力移到同一个作用点上？或者说力如何移到任一点O？OF平面力系平面任意力系实例作用在刚体上力的F，可以平移到其上任一点，但必须同时附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以点到力作用线间的距离。力线平移定理:OFOF'F''hFoM=FhF平面力系简化平面力系简化力线平移定理应用实例

若作用于物体上所有的力（包括力偶）都在同一平面内，则力系称为平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用线汇交于同一点(不含力偶)汇交力系:平行力系:各力作用线相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1汇交力系yxA平行力系yxM3平面力系简化平面一般力系，向任一点O简化，共点力系可合成为一个力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=

Fi或用解析法写为:FR

x=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FR

y=F1y+F2y+…+Fny=

Fy注意：FR'与简化中心O点的位置选取无关。得到一个汇交于O点的共点力系和一个平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO力偶系可合成为一个合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代数和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=

MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR

力偶主矩MO

简化力？平移MO称为原力系对简化中心O的主矩，显然，MO与简化中心O点的位置有关。h=M0/FR

FRA

情况向O点简化的结果力系简化的最终结果分类 主矢FR'

主矩MO（与简化中心无关）讨论1平面一般力系简化的最终结果yxOFR'MOFRh3 FR

0MO=0合力FR=FR

，作用线过O点。2 FR'=0MO

0 一个合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡状态（力系对物体的移动和转动作用效果均为零）。4FR‘

0MO

0一个合力，其大小为FR=FR

，

作用线到O点的距离为h=MO/FR'FR在O点哪一边，由MO符号决定平面力系简化的最终结果，只有三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系。例：求图示力系的合力。FR

x=

Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFR

y=

Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR

=11.1kN；作用线距O点的距离h为：

h=M0/FR

=0.36(m)；

位置由Mo

的正负确定，如图。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=4kN.m解：力系向O点简化，有：xO(m)y(m)22242F1=6KNF2=10KNF3=15KNF4=8KNM=12KN.m4FR

hFR'MO主矢

FR

==kN；指向如图。22yRxRFF¢¢+125设载荷集度为q(x)，在距O点x

处取微段dx,微段上的力为q(x)dx。讨论2同向分布平行力系合成合力FR的作用线到O的距离为：

h=MO/FR'=

/

òldxxq0)(òldxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O点为简化中心，主矢和主矩为：

FR

=

q(x)dx=

；MO=

xq(x)dx=òldxxq0)(òldxxxq0)(FR'

0，MO

0；故可合成为一个合力，且

FR=FR'=òldxxq0)(FR大小等于分布载荷图形的面积FR的作用线通过分布载荷图形的形心。故同向分布平行力系可合成为一个合力，合力的大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过图形的形心，指向与原力系相同。例求梁上分布载荷的合力。

解：载荷图形分为三部分，有设合力FR距O点为x，由合力矩定理有：

-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。FR1=1.6kN;作用线距O点1m。FR2=0.6kN;作用线距O点3.5m。FR3=0.9kN;作用线距O点3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx例求图中分布力系的合力。解：

FR1=2q1=1KN;

FR2=3q2/2=6KN;合力的大小：

FR=FR2-FR1=5KN方向同FR2，如图。合力作用位置(合力矩定理):

FR

x=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx

平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系的主矢FR'和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必过O点；1、2式指出：若有合力。必垂直于x轴且垂直于y轴。故平面一般力系的平衡方程为：（基本形式）（x轴不平行于y轴）平面力系平衡条件平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：二力矩式（AB不垂直于X轴)注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。三力矩式(A、B、C三点不共线)取汇交点为矩心，力矩方程自动满足。独立平衡方程只有二个,为：

平面汇交力系:取x轴垂直于各力，则x的投影方程满足。独立平衡方程也只有二个,为：平面平行力系:yxMyx三拱铰受力分析ABCF三铰拱ABFo讨论1：二力平衡必共线F1oF2讨论2：三力平衡必共点F1F2F3oBCFB二力杆FC1)刚体静力学研究的基本问题是：受力分析，平衡条件，解决静力平衡问题。小结4)力F对任一点O之矩为Mo(F)=

F.h。合力对某点之矩等于其分力对该点之矩的代数和。5)作用在刚体上力的F，可平移到任一点，但须附加一力偶，其矩等于力F对平移点之矩MO(F)。3)约束力作用方向与其所限制的运动方向相反。2)只在二点受力而处于平衡的无重杆，是二力杆。

7)同向分布平行力系可合成为一个合力。合力的大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过分布载荷图形的形心，指向与原力系相同。6)平面一般力系简化的最终结果有三种可能：即一个力；一个力偶；或为平衡（合力为零）。一般汇交

平行力系；力系；

力系；8)平面力系的平衡方程（基本形式）为：三个基本概念：力力偶力矩三组平衡方程：（力系简化后的结论）一般力系汇交力系平行力系三类基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三种基本能力：力的投影力对点之矩约束反力分析第二章平面力系2.1基本量的计算2.2平面力系简化2.3平衡条件和平衡方程2.4平面力系平衡问题思路：研究对象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡问题的分析方法ABC静力平衡问题，一般有二类：

对于完全被约束的物体或系统，在已知外载荷的作用下，求约束力。

对于未完全被约束的物体或系统，求平衡时外载荷所应满足的条件及约束力。60

ABCDF2.4平面力系平衡问题例1已知:AC=CB=l,P=10kN;求:铰链A和DC杆受力。解:取AB梁，画受力图。解得FAy+FCsin45

-P=0FCcos45

·l-P·2l=0例2已知：求:支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力图。解得解得解得例3

求图示结构中铰链A、C处的约束力。解：1）画整体受力图。注意BC为二力杆。验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

结果正确。2）取坐标，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30

=0ABCF=2KNFq30q=0.5KN/m

L=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交点A处，力矩方程中只有一个未知量FC，可直接求解。求：系统平衡时，杆AB、BC受力例4，已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；解：AB、BC杆为二力杆，取滑轮B（或点B），画受力图。用解析法，建图示坐标系解得：解得：二、静不定问题的概念1)静定问题完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题

--未知量数=独立平衡方程数ABCF30如例

系统

二根杆

六个平衡方程；约束

三处铰链

六个反力，静定。若将BC视为二力杆，则平衡方程减少二个，但B、C处约束力未知量也减少了二个。本题作用于小车的是平行于Y轴的平行力系，系统

三个物体

8个平衡方程；约束

固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触处各1

共8个反力，是静定问题。如例系统

三个物体

9个方程，反力只有8个。小车可能发生水平运动。未被完全约束住的物体及系统

约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。CABWP2）静不定问题或超静定问题

完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。3n=3;m=4一次静不定3n=3;m=6三次静不定3n=3;m=4一次静不定约束反力数m系统中物体数n

<3n

未完全约束

m

=3n

静定问题

>3n

静不定问题静不定的次数为：

k=m-3n例5倾斜悬臂梁AB与水平梁BC在B处绞接，梁上载荷有：q=200N/m，F=250N，梁重不计。试作AB梁、BC梁及整体的受力图；并求固定端A及铰链B、支座C处的约束反力。

解：1)画受力图。整体受力图。AB杆受力图。BC杆受力图。

2)BC为研究对象，列平衡方程：

Fx=FBx=0

FBx=0

Fy=FBy+FCy-q×2=0

FCy=200kN3)取整体为研究对象，有：

Fx=FAx=0

FAx=0

MA(F)=MA-1×F+4×FCy-q×2×3=0

MA=650kN.m

Fy=FAy-F+FCy-q×2=0

FAy=450kN例6

梁ACB如图。梁上起重小车重W=50kN，吊重P=10kN，求A