高考重难点题型归纳：第28讲 圆锥曲线点代入和非对称等题型归纳（原卷版）

第28讲圆锥曲线点代入和非对称9类

【题型一】基础型：韦达定理+点带入法

【典例分析】

已知椭圆C:=+£=1（〃">0）的离心率为旦过右焦点F的直线/与C相交于A、8两点，

a'b~3

当,的斜率为1时，坐标原点。到/的距离为坐⑴求a,b的值；

（IDC上是否存在点P,使得当/绕厂转到某一位置时，有OP=OA+OB成立?

若存在，求出所有的产的坐标与/的方程；若不存在，说明理由。

【变式演练】

LPgyo）（xo#±a）是双曲线及/一方=1（公>0,b>0）上一点，M、N分别是双曲线E的左、右

顶点，直线尸PN的斜率之积为偿.

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线上的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于4B两点,。为坐标原点，。为双曲线

上一点，满足OC=X0A+OB,求人的值.

22

2.已知椭圆x会+方v=1（。>8>0）的左、右焦点分别为月、尸2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边

三角形的三个顶点，直线/经过点尸2,倾斜角为45。，与椭圆交于4、B两点.

（1）若忻周二2夜，求椭圆方程；

（2）对（1）中椭圆，求八45大的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数2,〃，使得0M+试确定4,〃满足的等式关系.

3.过椭圆C：E+A=lW＞力＞°)的左焦点写作其长轴的垂线与。的一个交点为尸，右焦点为户门若

a'b"

3

lanNPRK=-.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)过点七(1,0)且斜率为g的直线/与椭圆C交于AB两点，若椭圆上存在点。使得0。=04-；。3,求

椭圆C的方程.

【题型二】定比分点型：a=2b

【典例分析】

设动点M(右y)到直线y=3的距离与它到点F(0,I)的距离之比为6，点M的轨迹为曲线E.

(I)求曲线E的方程：

(H)过点F作直线1与曲线E交于A,B两点，且4/=”用当时，求直线1斜率k的取

值范围・

【变式演练】

1.抛物线C/=4x,尸是C的焦点，过点F的直线/与C相交于AB两点，O为坐标原点.

(1)设/的斜率为1,求以Z3为直往的圆的方程；

(2)若叁=2茄，求直线/的方程.

2.在圆/+9=4上任取点尸，过点尸作彳轴的垂线P。，。是垂足，点M满足：0M=2OP(4＞0).

(1)求点M的轨迹方程；

(2)若a=(，过点网6,0)作与坐标轴不垂直的直线/与点M的轨迹交于A、8两点，点C是点A关于x

轴的对称点，试在x轴上找一定点N,使8、C、N三点共线，并求..AEV与.8尸N面积之比的取值范围.

3.已知点力，8的坐标分别是（0,-1）,（0,1）,直线4M,8M相交于点且它们的斜率之积为-g.

（1）求点M轨迹C的方程；

（2）若过点。（2,0）的直线，与（1）中的轨迹C交于不同的两点瓦产（上在。、尸之间），DE=ADF，试求

九的取值范围.

【题型三】点带入型：抛物线独有的代入方法

【典例分析】

已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为尸，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大

1.过点P作抛物线。的切线，设其斜率为环.

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线/：y="+b与抛物线C相交于不同的两点A,B（异于点P）,若直线4P与直线砂的斜率互为

相反数，证明：氏+%。=0.

【变式演练】

1.已知抛物线C：丁=2小过点A（l,2）.

（1）求抛物线。的方程；

（2）求过点夕（3,-2）的直线与抛物线C交于M、N两个不同的点（均与点A不重合）.设直线AM、AN的

斜率分别为勺、k2t求证：斜率为定值.

2.在平面直角坐标系X。中，设点尸（1,0）,直线/：x=T,点P在直线/上移动，R是线段尸尸与轴的交

点，RQ1FP,PQLI.

（1）求动点。的轨迹E的方程；

（2）过点尸作两条互相垂直的曲线E的弦A8、CD,设AB、。。的中点分双为M、N.求直线MN过定点O

的坐标.

3.已知点尸（1,0）为抛物线V=2pM〃>0）的焦点，设A（x，y）,8（b外）是抛物线上两个不同的动点，存在

动点尸（%，%）（%<。）使得直线刃，P8分别交抛物线的另一点M,N,且31PM=|M4|,3\PN\=\NB\.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：yl+y2=2y0.

（3）当点P在曲线）:=T2x（-2<x«-1）上运动时，求△处§面积的取值范围.

【题型四】非对称型：利用韦达定理构造“和积消去”型

【典例分析】

已知椭圆E的左、右焦点分别为6（Y,0），5（C,0）（C>0）.点用在E上，济的周长为6+4夜，

面积为:c.

（1）求E的方程.

⑵设E的左、右顶点分别为A8,过点停0）的宜线/与芯交于C,。两点，记直线4c的斜率为勺，直线8。

的斜率为网,则.（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）.

①求直线AC和BO交点的轨迹方程；

②是否存在实常数％,使得勺=九治恒成立；

③过点C作关于/轴的对称点C',连结仁。得到直线乙，试探究：直线4是否恒过定点.

【变式演练】

0

L已知满圆C:9J=1(4＞人＞0)的离心率为:A，4分别为椭圆。的左右顶点.

8为椭圆C的上项点，g为椭圆。的左焦点，且的面积为手.

(1)求椭圆C的方程；

(□)设过点。(1,0)的动直线/为椭圆于E、F两点(点E在x轴上方)，M,N分别为直线AE，4尸与V轴

的交点，0为坐标原点，来的值.

2.已知椭圆氏—+/=1(m＞l)的离心率为由，过点尸(1,0)的直线与柄圆E交于4,8不同的两点,

m2

直线垂直于直线x=4,垂足为4.

(□)求m的值；

(□)求证：直线力近恒过定点.

3.已知椭圆。:三+2=1(4＞方＞0)经过点E&，一)左顶点为。，右焦点为尸，已知点。(。,女)，且£＞，

P,E三点共线.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知经过点P的直线，与椭圆C交于A.6两点，过点8作直线y=3点的垂线，垂足为G,求证：直线AG

过定点.

【题型五】切线

【典例分析】

定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线C上一点M,且与曲线C在点”处的切线垂直的直线称为曲线C

在点M处的法线.设点”(%,%)(%＞。)为抛物线C：y2=2px(p＞0)上一点.

(1)求抛物线。在点M处的切线的方程(结果不含%);

(2)求抛物线C在点M处的法线被抛物线C截得的弦长IABI的最小值，并求此时点M的坐标.

【变式演练】

1.已知椭圆C：y+y2=l,经过圆。：/+尸=4上一动点尸作椭圆。的两条切线.切点分别记为4B,

直线为，P8分别与圆。相交于异于点尸的“，N两点.

(1)求证：M,O,N三点共线；

(2)求△。彳8面积的最大值.

2.把抛物线CJ/MZPMP〉。)沿y轴向下平移得到抛物线G：x2=2〃y+Mp>0,〃7>0).

(1)当P=1时，过抛物线G上一点P(2,2)作切线，交抛物线于A,8两点，求证：|网=|尸网；

(2)抛物线G上任意一点"(不，九)向抛物线G作两条切线，从左至右切点分别为C,O.直线8交G从左

至右分别为E,r两点.试判断与的大小关系，并证明.

2

3.如图，已知双曲线C:弓-V=],过P(l,l)向双曲线。作两条切线，切点分别为A(x”y),8(盯月),且

$<0,x2>0.

(1)证明:直线E4的方程为竽-yy=L

(2)设尸为双曲线C的左焦点，证明：NAFP+NBFP=n.

【题型六】暴力计算型：求根公式

【典例分析】

如图所示，椭圆C：5+g=l(a>b>0)的离心率为g,其右准线方程为x=4,A、8分别为椭圆的左、右

顶点，过点4、8作斜率分别为人、自，直线力用和直线8N分别与椭|员IC交于点M,N(其中M在x轴上

方，N在x轴下方）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线恒过椭圆的左焦点耳，求证：?为定值.

【变式演练】

1.在平面直角坐标系g中，已知直线一与椭圆/营=1（。>6>0）交于点48（4在X轴上方），且

43=亚々.设点力在x轴上的射影为N,三角形48N的面积为2（如图1）.

3

（1）求椭圆的方程;

（2）设平行于力8的直线与椭圆相交，其弦的中点为0.

①求证：直线。。的斜率为定值；

②设直线00与椭圆相交于两点C,D（。在x轴的上方），点尸为椭圆上异于4,B,C,O一点，直线为

交CD于点E,PC交AB于息F,如图2,求证：AQCE为定值.

2.已知椭圆£:鼻+方的右焦点为尸，点力，8分别为右顶点和二顶点，点0为坐标原点,

lie广

西f+网二两，的面积为近,其中e为E的离心率.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点。异于坐标轴的直线与E交于N两点，射线AM,AN分别与圆C:/+y2=4交于月，。两点，

记直线MN和直线R2的斜率分别为人，修，问与是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3.已知椭圆c：《+[=im>b>0）的左、石顶点分别为A8,点（1,9该椭圆上，且该椭圆的右焦点尸与抛

ab~I

物线丁=43的焦点重合.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，过点尸且斜率为2的直线/与椭圆交于M,N两点，记直线A"的斜率为卜,直线BN的斜率为

h，直线4N的斜率与，求证：.

在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明.

①直线AM与BN的交点在定直线x=4上；

②K；

③晒==.

【题型七】无韦达定理：点代入法

【典例分析】

22q

已知M为椭圆C：景卷=1上的动点，过点”作x轴的垂线段皿。为垂足，点〃满足=

（二）求动点P的轨迹E的方程；

（口）若A8两点分别为椭圆C的左右顶点，尸为椭圆C的左焦点，直线网与椭圆C交于点。，直线。£尸4

的斜率分别为句「女必，求义的取值范围.

【变式演练】

1.如图，在平面直角坐标系X。中，椭圆E：*■+的离心率为¥，上顶点A到右焦点的距

离为及.过点。（0,加）（m/0）作不垂直于T轴，丁轴的直线/,交椭圆E于尸，。两点，C为线段PQ的中点，

且ACJ_OC.

（1）求椭圆E的方程；

（2）求实数机的取值范围；

（3）延长AC交椭圆E于点b,记-AO8与△AOC的面积分别为4,邑，若兴=g,求直线/的方程.

221

2.在平面直角坐标系g中，已知椭圆。东+£=1（4>“0）的左焦点为尸（-6,0）,点4-75,；）在椭圆。

上.

（1）求椭圆。的方程；

（2）已知圆O：d+y2=/,连接用并延长交圆。于点民”为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点方

作椭圆长轴的垂线分别交椭圆C和圆。于点只。（P，Q均在X轴上方）.连接PAQB,记心的斜率为勺,

QB的斜率为网.

①求，的值；

②求证：直线尸AQB的交点在定直线上.

1（。＞人＞0）的离心率为孝

3.如图，在平面直角坐标系大厅中，椭圆S4,过原点。的直线交该椭圆于

A,6两点（点A在X轴上方），点E（4,0）.当直线A8垂直于X轴时，|A£|=26.

（1）求♦的值;

（2）设直线AE与椭圆的另一交点为C,直线比与椭圆的另一交点为D.

①若OC//BE,求A4跳:的面积；

②是否存在1轴.上的一定点T,使得直线8恒过点T?若存在，求出厂的坐标；若不存在，请说明理由.

【题型八】坐标运算

【典例分析】

已知双曲线C：=■-六=l（a＞0,b＞0）,A（2,0）,B—1,—,D（-l,0）,E（4,0）五点

中恰有三点在。上.

（1）求C的方程；

（2）设尸是。上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点Q（，几0）（机＜0）,使得NPQA+；/■吟若

存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式演练】

1.设抛物线。：炉=2〃)，(〃>0)的焦点为产，准线为/,AeC,已知以尸为圆心，

E4为半径的圆尸交/于氏。两点；

[1)若N8bO=90°,A48。的面积为4收；求p的值及圆尸的方程；

[2)若A8,尸三点在同一直线加上，直线〃与加平行，且相与。只有一个公共点,

求坐标原点到以〃距离的比值。

2.设直线/：丁=公+1与双曲线C：3/一'2=]相交于4,8两点，。为坐标原点.

(1)。为何值时，以A8为直径的圆过原点？

(2)是否存在实数“，使且&+d=共2,1)?若存在，求。的值，若不存在，说明理由.

3.已知椭圆：，看=l(a>QO)的长轴长为4,且过点砥，｛J.

⑴求椭圆的方程；(2)设4,B,M是椭圆上的三点.若说=浙+浙，点N为线段AB的中点,

《一半，0),从当，0)，求证：|阳+匹。=2w.

【题型九】综合题

【典例分析】

己知动直线I与椭圆C：,+，=1交于P(xi，刈)，0(x2，”)两不同点，且△OP。的面积Sa0p0=夸,

其中。为坐标原点.

(1)证明："+竟和"+比均为定值.

(2)设线段P0的中点为求|OM〃0的最大值.

(3)椭圆C上是否存在三点£>,E,G,使得SAODE=S4ODG=SaOEG=^"?若存在，判断

△OEG的形状；若不存在，请说明理由.

【变式演练】

1.已知椭圆E的中心在坐标原点0,焦点在工轴上，左、右焦点分别为「、K，离心率e=走，短轴长为2,.

2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设过用且斜率不为零的直线4与椭圆E交于加、N两点，过M作直线，2：工=2的垂线，垂足为“，证明:

直线M/恒过一定点，并求出该定点的坐标；

(3)过点T(0,2)做另一直线4,与椭圆分别交于尸、。两点，求相的取值范围.

2.已知椭圆C：小/”小°)的左右顶点分别为%右焦点为取2,点小目在椭圆上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/：丁=-％-4)代工0)与椭圆。交于加，N两点，已知直线AM与4N相交于点G,证明：点

G在定直线上，并求出此定直线的方程.

3.如图，在平面直角坐标系wy中，椭圆C：4+4=1(a>b>0)的离心率为立，点A,8分别为椭圆

a~b~2

C的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆C于。、E两点，交48于M点，其中点E在第一象限，

设直线。石的斜率为

(1)当a=；时，证明直线OE平分线段A8；

(2)已知点A(0,l),则：

=

①若SgDM6slM和，求A；

②求四边形AO3E面积的最大值.

【课后练习】

1.椭圆G：.+g=ig＞b＞0)的焦点K，尸2是等轴双曲线。2：=1的顶点，若椭圆C1与双曲线G

的一个交点是尸，△「"g的周长为4+2〃.⑴求椭圆G的标准方程；

(2)点时是双曲线。2上任意不同于其顶点的动点，设直线MK、M5的斜率分别为K，k2f求证K，网的乘

积为定值；

(3)过点。(T,o)任作一动直线/交椭圆G与4B两点、,记AQ=a28(&R),若在直线43上取一点H,使

得AR=(-/l)R8,试判断当直线/运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不

是，请说明理由.

J#1

2.如图，已知椭圆C:不+齐=13＞人＞0)的离心率为万，A,B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F,BF=L

过尸且斜率为左伏＞0)的直线/与椭圆C相交于M,N两点，M在x轴上方.

(1)求椭圆C的标准方程；

S3

(2)记”为W,八眄的面积分别为y,反,若苦=3,求女的值；

(3)设线段MN的中点为直线0。与直线x=4相交于点E,记直线AM,BN,FE的斜率分别为占，k”

网，求右曲-勺)的值.

3.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点”①，以。＞0)到直线/：“-)」3=0的距离为2夜，设〃为直线/上的

点，过点P作抛物线C的两条切线以，PB，其中A,B为切点.

（1）求抛物线C的方程;

（2）当点P在直线/上移动时,求IAFHB尸|的最小值.

4.已知椭圆C:£+£=l（a>力>0）的左、石焦点分别为兄（一1,0）,玛（1,0）,点叩目为椭圆C上一点.

a~b~I“

（I）求椭圆。的方程；

（2）过点6（-1,0）作动直线/与椭圆交于48两点，过点4作直线x=y的垂线，垂足为N,求证：直线

BN过定点.

5.已知椭圆C:£+£=1（〃>b>0）的离心率为乎，且过点A卜，孝J，过点放1，0）的直线（不与x轴重合）与

椭圆C相交于P、。两点，直线/：x=2与x轴相交于点N,过点尸作PM_L直线/,垂足为"

（1）求椭圆C的方程；

（2）求四边形OPM2（O为坐标原点）的面积的取值范围；

（3）证明：直线M。过定点。，且求出点。的坐标.

22

6.已知椭圆C:t+工=1的左、右顶点分别为A8,右焦点为尸，过尸的直线/与C交于8。两点.

43

（1）设“IP尸和45。尸的面积分别为际S”若$=35，求直线/的方程；

（2）当直线/绕厂点旋转时，求证：四边形AP8Q的对边AP与BQ所在直线的斜率的比值恒为常数.

7.已知双曲线C：，苴=l（a>0,6>0）的焦距为3卷其中一条渐近线的方程为l扬=0.以双曲线C

的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为£过原点。的动直线与椭圆后交于4B两点、.

(1)求椭圆后的方程;

⑵若点P为椭圆E的左顶点，PG=1GO,求|G4F+|G8|2的取值范围;

112

(3)若点尸满足|%|=|P8|,求证：西+研+研为定值・

8.如图1・7所示，已知双曲线C：:一