【初中数学】专项04-角-重难点题型

角-重难点题型【知识点1角的概念】定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．【知识点2角的表示方法】表示方法A图例A记法适用范围用三个大写字母表示BOBOAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AAA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示111任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.用希腊字母表示【题型1角的定义及其表示方法】【例1】（成武县期末）下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【变式1-1】（成华区期中）如图，用适当的方法表示图中的角：锐角有，钝角有，直角有．【变式1-2】（潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【变式1-3】（宁阳县期末）如图，下列各个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一角的图形是（）A． B． C． D．【题型2角的度量】【例2】（延边州期末）用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（）A．B．C． D．【变式2-1】（石景山区二模）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【变式2-2】（长安区期末）如图，直线a，b相交于点O，将半圆形量角器的圆心与点O重合，发现表示60°的刻度与直线a重合，表示138°的刻度与直线b重合，则∠1＝°．【变式2-3】（通州区期末）射线OA，OB，OC，OD的位置如图所示，可以读出∠COB的度数为（）A．50° B．40° C．70° D．90°【题型3角的单位及其换算】【例3】计算：（1）90°﹣36°12′15″；（2）32°17′53″+42°42′7″；（3）53°÷8．【变式3-1】（溧水区期末）已知∠α＝25°15′，∠β＝25.15°，则∠α∠β．（填“＞”“＜”或“＝”号）【变式3-2】（崇川区期末）计算72°34′÷2+18°33′×4＝．【变式3-3】（南开区期末）如图1是一个14的圆（∠AOB＝90°），芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次由加了四条线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n（n＞1）次可将图1等分成份，当n＝5时，图1中的每份的角度是【知识点3钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【题型4钟面上角的特征】【例4】钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°？分别是几点几分？【变式4-1】（北碚区期末）钟表在7点55分时，它的时针和分针所构成的角（小于平角）的度数是（）A．122.5° B．117.5° C．87.5° D．92.5°【变式4-2】（静安区期末）早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（）A．8点23113分 B．8点25分 C．8点27311分【变式4-3】（武昌区期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（）A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟【知识点4方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【题型5方向角】【例5】（沂水县期末）如图，A地和B地都是海上观测站，B地在A地正东方向，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船C，同时，从B地发现船C在它的北偏东30°方向，此时在C船上观测A，B两地．下列说法正确的是（）A．A地在C船南偏西30°方向 B．A地在C船北偏西60°方向 C．B地在C船南偏西30°方向 D．B地在C船北偏西60°方向【变式5-1】（路南区三模）小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50° B．北偏西50° C．南偏西40° D．北偏西40°【变式5-2】（河东区期末）学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（）A．115° B．155° C．25° D．65°【变式5-3】（河北模拟）对于题目：“如图1，已知A，B为两个海岛，点B在点A的正东方向，若灯塔C在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，请画出灯塔C的位置．”甲、乙两人分别作出了如下解答：甲：先以A为参照点，作南偏东25°，再以B为参照点，作南偏西65°，画出图形如图2．乙：先以A为参照点，作东偏北25°，再以B为参照点，作西偏北55°，画出图形如图3．下列判断正确的是（）A．甲的说法和画图都正确 B．乙的说法正确，画图错误 C．乙的说法和画图都正确 D．甲乙的说法都错误【题型6角的计数问题】【例6】（莱山区期末）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（）A．190 B．380 C．231 D．462【变式6-1】（凤翔县期末）如图所示，小于平角的角有个．【变式6-2】（惠山区校级期中）如图，图中共有12个小于平角的角，其中以A为顶点的角共有个，它们分别是．【变式6-3】（腾冲县校级期末）如图所示，从一点O出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果n＝8时，检验你所得的结论是否正确．

角-重难点题型（解析版）【知识点1角的概念】定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．【知识点2角的表示方法】表示方法A图例A记法适用范围用三个大写字母表示BOBOAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AAA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示111任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.用希腊字母表示【题型1角的定义及其表示方法】【例1】（成武县期末）下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【解题思路】根据角的动态定义解答：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．【解答过程】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；B、根据A可得B错误；C、角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；D、据C可得D错误．故选：C．【变式1-1】（成华区期中）如图，用适当的方法表示图中的角：锐角有∠BAD，∠ADC，∠B，∠C，钝角有∠BAC，∠BDA，直角有∠DAC．【解题思路】图中每个角的顶端及两边都用大写英文字母表示，可以在每一个顶点处，找角，再按角的大小分类．【解答过程】解：可以用3个大写英文字母，或1个大写英文字母，表示各个角，锐角有∠BAD，∠ADC，∠B，∠C；钝角有∠BAC，∠BDA；直角有∠DAC．【变式1-2】（潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【解题思路】根据角的表示方法进行判断．【解答过程】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本选项说法正确；B、∠COB不能用∠O表示，本选项说法错误；C、∠2也可用∠OBC表示，本选项说法正确；D、∠CDB也可用∠1表示，本选项说法正确；故选：B．【变式1-3】（宁阳县期末）如图，下列各个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一角的图形是（）A． B． C． D．【解题思路】根据角的表示方法判断即可．【解答过程】解：A、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；B、图形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本选项符合题意；C、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；D、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；故选：B．【题型2角的度量】【例2】（延边州期末）用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（）A．B．C． D．【解题思路】根据量角器的使用方法解答．【解答过程】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【变式2-1】（石景山区二模）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【解题思路】根据平角的定义和角的和差即可得到结论．【解答过程】解：看内圈的数字可得：∠AOB＝120°，故选：C．【变式2-2】（长安区期末）如图，直线a，b相交于点O，将半圆形量角器的圆心与点O重合，发现表示60°的刻度与直线a重合，表示138°的刻度与直线b重合，则∠1＝°．【解题思路】由量角器的刻度显示即可得到张角的度数，再由对顶角相等可得答案．【解答过程】解：根据量角器的刻度显示及对顶角相等可得：∠1＝138°﹣60°＝78°．故答案为：78．【变式2-3】（通州区期末）射线OA，OB，OC，OD的位置如图所示，可以读出∠COB的度数为（）A．50° B．40° C．70° D．90°【解题思路】根据量角器可得∠AOC和∠AOB的度数，进而可得∠COB的度数．【解答过程】解：∠COB＝∠AOC﹣∠AOB＝140°﹣50°＝90°，故选：D．【题型3角的单位及其换算】【例3】计算：（1）90°﹣36°12′15″；（2）32°17′53″+42°42′7″；（3）53°÷8．【解题思路】（1）角度的相减，把度、分、秒分别相减，不够减时，借1゜当作60′，并入原数相减；（2）角度的相加，也要把度、分、秒分别相加，注意满60要进位；（3）角度的除法，先从度开始，余数由度化成分来除，重复上一步骤将除后余下的分化成秒来除；【解答过程】解：（1）90°﹣36°12′15″＝89°59′60″﹣36°12′15″＝53°47′45″．（2）32°17′53″+42°42′7″＝74°59′60″＝75°．（3）53°÷8＝6°37′30″．【变式3-1】（溧水区期末）已知∠α＝25°15′，∠β＝25.15°，则∠α＞∠β．（填“＞”“＜”或“＝”号）【解题思路】首先把：∠β＝25.15°化为25°9′，然后再比较即可．【解答过程】解：∠β＝25.15°＝25°9′，∵25°15′＞25°9′，∴∠α＞∠β，故答案为：＞．【变式3-2】（崇川区期末）计算72°34′÷2+18°33′×4＝110°29′．【解题思路】先算乘除法，再算减法即可求解．【解答过程】解：72°34′÷2+18°33′×4＝36°17′+74°12′＝110°29′．故答案为：110°29′．【变式3-3】（南开区期末）如图1是一个14的圆（∠AOB＝90°），芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次由加了四条线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n（n＞1）次可将图1等分成2n份，当n＝5时，图1中的每份的角度是2°48′45″【解题思路】从特殊到一般，探究规律后即可解决问题．【解答过程】解：第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分4＝22份，第三次由加了四条线，将图1等分成8＝23份，第四次又加了八条线，将图1等分成16＝24份，第n（n＞1）次可将图1等分成2n份．当n＝5时，图1中的每份的角度是90°×1故答案为2n，2°48′45″【知识点3钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【题型4钟面上角的特征】【例4】钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°？分别是几点几分？【解题思路】根据时针、分针转动的速度可知分针比时针每分钟转动的快5.5°，时针与分针的夹角为60°，依此列方程求解．【解答过程】解：第一次正好为两点整；第二次设为两点x分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5x＝60×2，解之得x＝21911第三次设为三点y分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5y＝90﹣60，解之得y＝5511第四次设为3点z分，时针与分针的夹角为60°，则5.5z＝90﹣60+60×2，解之得z＝27311故钟面上从2点到4点时针与分针的夹角为60°，分别是2点整，2点21911分，3点5511分，3点27【变式4-1】（北碚区期末）钟表在7点55分时，它的时针和分针所构成的角（小于平角）的度数是（）A．122.5° B．117.5° C．87.5° D．92.5°【解题思路】根据钟面平均分成12份，可得每份是30°．7点55分时，时针分针间隔（3+5【解答过程】解：7点55分时，时针与分针的夹角的度数是30°×（3+5故选：D．【变式4-2】（静安区期末）早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（）A．8点23113分 B．8点25分 C．8点27311分【解题思路】根据分针旋转的速度乘分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据秒针旋转的速度成秒针旋转的时间，可得秒针的旋转角，根据分针的旋转角减去秒针的旋转角，可得答案．【解答过程】解：设t分后时钟的分针和时针第一次垂直，依题意有6t﹣0.5t＝360﹣120﹣90，解得t＝27311故早晨8：00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是8点27311故选：C．【变式4-3】（武昌区期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（）A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟【解题思路】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，可列方程求解．【解答过程】解：设开始做作业时的时间是6点x分，∴6x﹣0.5x＝180﹣120，解得x≈11；再设做完作业后的时间是6点y分，∴6y﹣0.5y＝180+120，解得y≈55，∴此同学做作业大约用了55﹣11＝44分钟．故选：C．【知识点4方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【题型5方向角】【例5】（沂水县期末）如图，A地和B地都是海上观测站，B地在A地正东方向，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船C，同时，从B地发现船C在它的北偏东30°方向，此时在C船上观测A，B两地．下列说法正确的是（）A．A地在C船南偏西30°方向 B．A地在C船北偏西60°方向 C．B地在C船南偏西30°方向 D．B地在C船北偏西60°方向【解题思路】直接利用方向角的定义得出正确的语句．【解答过程】解：∵从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船C，∴A地在C船南偏西60°方向．∵从B地发现船C在它的北偏东30°方向，∴B地在C船南偏西30°方向．故选：C．【变式5-1】（路南区三模）小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50° B．北偏西50° C．南偏西40° D．北偏西40°【解题思路】根据方向角的定义和平行线的性质即可得到结论．【解答过程】解：如果小丽在小华北偏东40°的位置上，那么小华在小丽的南偏西40°，故选：C．【变式5-2】（河东区期末）学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（）A．115° B．155° C．25° D．65°【解题思路】根据方位角的概念，正确画出方位图表示出方位角，即可求解．【解答过程】解：从图中发现平面图上的∠CAB＝∠1+∠2＝115°．故选A．【变式5-3】（河北模拟）对于题目：“如图1，已知A，B为两个海岛，点B在点A的正东方向，若灯塔C在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，请画出灯塔C的位置．”甲、乙两人分别作出了如下解答：甲：先以A为参照点，作南偏东25°，再以B为参照点，作南偏西65°，画出图形如图2．乙：先以A为参照点，作东偏北25°，再以B为参照点，作西偏北55°，画出图形如图3．下列判断正确的是（）A．甲的说法和画图都正确 B．乙的说法正确，画图错误 C．乙的说法和画图都正确 D．甲乙的说法都错误【解题思路】根据方向角定义即可进行判断．【解答过程】解：根据方向角定义可知：灯塔C在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，画出灯塔C的位置如图3．故选：D．【题型6角的计数问题】【例6】（莱山区期末）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（）A．190 B．380 C．231 D．