【初中数学】专项03-一元一次方程-常考应用题-十六大类型

一元一次方程-常考应用题-十六大类型【类型1：几何问题】1．如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则小长方形的面积为．2．如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为2，则这个长方形的面积为．3．如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中GH＝GK＝2cm，DC＝10cm，则长方形ABCD的面积为cm2．4．有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20分米，倒立时空余部分高度为5分米，问瓶内现有饮料多少立方分米？【类型2：配套问题】1．制作一张桌子，要用一个桌面和4条腿组成，1m3木材可制作300条桌腿或可制作15个桌面，现有30m3木材，应该用多少立方木材制作桌面，用多少立方木材制作桌腿，才能使桌腿和桌面配套？2．某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？3．小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．（1）若有11张白板纸．①请完成如表；x张白板纸裁成盒身张白板纸裁成盒盖盒身的个数0盒盖的个数0②求最多可做几个包装盒；（2）若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？（3）若有n张白板纸（70≤n≤80），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．【类型3：调配问题】1．列方程解应用题：某校七年级的合唱队与舞蹈队共有120人，其中合唱队人数比舞蹈队人数的4倍少5人．（1）求合唱队、舞蹈队各有多少人？（2）若从合唱队、舞蹈队两个队伍分别抽调队员，组成鼓号队，并使合唱队、舞蹈队、鼓号队三个队的人数比是13：4：7，那么合唱队、舞蹈队要分别抽调多少队员？2．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有14人，在乙处植树的有6人，现调70人去支援．（1）若要使在甲处植树的人数与在乙处植树的人数相等，应调往甲处人．（2）若要使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？（3）通过适当的调配支援人数，使在甲处植树的人数恰好是在乙处植树人数的n倍（n是大于1的正整数，不包括1．）则符合条件的n的值共有个．3．某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的A、B两地，现用甲、乙两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知甲种货车的载重量为15吨/辆，乙种货车的载重量为10吨/辆．（1）求这两种货车各用多少辆？（2）已知运往A地的运费为：甲种货车630元/辆，乙种货车420元/辆；运往B地的运费为：甲种货车750元/辆，乙种货车550元/辆．如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，总运费为11330元，请你设计出这两种货车的调配方案．4．某地A，B两仓库分别存有口罩16万箱和18万箱．为了响应疫情防控政策，现要往甲、乙两地运送口罩，其中甲地需要15万箱，乙地需要19万箱，从A仓库运1万箱口罩到甲地的运费为500元，到乙地的运费为300元；从B仓库运1万箱口罩到甲地的运费为200元，到乙地的运费为100元．（1）设从A仓库运往甲地x万箱，请把下表补充完整：终点/起点甲地乙地总计A仓库x万箱万箱16万箱B仓库万箱万箱18万箱总计15万箱19万箱34万箱（2）如果某种调动方案的运费是9100元，那么从A、B仓库分别运往甲，乙两地各多少万箱？【类型4：利润问题】1．某种商品的进价为120元，出售时标价为180元，后来由于商品积压，商店打折出售，打折后利润率为20%，则该商品打了折销售．2．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的八五折出售，将盈利10元，则该商品的原售价为元．3．一个商店把某件商品按进价提高20%作为定价，可是总卖不出去；后来按定价减价20%出售，很快卖掉，结果这次生意亏了4元．那么这件商品的进价是元．4．某商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果仍想获得8%的利润，则出售价需打折．5．春节将近，各服装店清仓大甩卖．一商店某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利50%，另一件亏损20%，卖这两件衣服的利润为元．6．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：（1）降价前每件衬衫的利润率为多少？（2）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？7．某商店对A、B两种商品在进价的基础上提高50%价为标价出售，元旦期间，该商店对A、B两种商品开展促销活动，活动方案如下：商品AB标价（元/件）150225元旦期间每件商品出售的价格按标价降10%按标价降价a%（1）A商品进价元，B商品进价元，商品B降价后的售价为元（用含有a的代数式表示）；（2）不考虑其他成本，在元旦期间卖出A种商品40件，B商品20件，获得的总利润2000元，试求a的值．[注：利润＝（售价﹣进价）×销售量]8．某超市第一次用5500元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品150件，乙种商品100件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为30元/件，乙种商品售价为35元/件．（注：获利＝售价﹣进价）（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少2元；甲种商品按原售价提价m%销售，乙种商品按原售价降价m%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多270元，那么m的值是多少？【类型5：行程问题】1．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）千米．A．30 B．36 C．44 D．482．如图，A、B两地相距90千米，从A到B依次经过60千米平直公路（AC段）、10千米上坡公路（CD段）和20千米平直公路（DB段）．甲从A地驾驶汽车前往B地，乙从B地骑摩托车前往A地，他们同时出发．已知在平直公路上汽车、摩托车的速度分别是120千米/时、60千米/时，汽车上坡速度为100千米/时，摩托车下坡速度为80千米/时，两人出发小时相遇．3．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，若他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；若以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，那么甲、乙两地的距离是千米．4．若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长米．5．周末，甲乙两人沿环形生态跑道散步，甲每分钟行80米，乙每分钟行120米，跑道一圈长400米．求：（1）若甲乙两人同时同地同向出发，多少分钟后他们第一次相遇？（2）若两人同时同地反向出发，多少分钟后他们第一次相距100米？6．列方程解应用题电瓶车的速度是30千米/时，摩托车的速度是50千米/时，两车相距240千米．（1）如果两车同时出发，同向而行（摩托车在后），那么经过几小时摩托车能追上电瓶车？（2）如果两车同时出发，相向而行，那么经过几小时两车相距80千米？7．甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．（1）乙车的行驶速度是多少千米/时？（2）相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？【类型6：工程问题】1．一件工程，甲独做18天可完，乙独做24天可完．现在两个人合作，但是中途乙因有事离开几天，从开工后12天两人把这件工程做完，则乙中途离开了天．2．一项工程，甲、乙两人合作需要8天完成任务，若甲单独做需要12天完成任务．（1）若甲、乙两人一起做6天，剩下的由甲单独做，还需要天完成；（2）若甲、乙两人一起做4天，剩下的由乙单独做，还需要天完成．3．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作．（1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？4．某工程交由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队单独完成需要60天，乙工程队单独完成需要40天．（1）若甲工程队先做20天，乙工程队再参加，两个工程队一起来完成剩余的工程，求共需多少天完成该工程任务？（2）若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的工作效率提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共工作了多少天？5．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服20件，乙工厂每天能加工这种校服25件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用12天．在加工过程中，学校每天需付甲厂费用100元、每天需付乙厂费用125元．（1）求这批校服共有多少件？（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高20%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多5天，求乙工厂共加工多少天？（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂按原生产速度单独完成；方案二：由乙厂原生产速度单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校每天为每个工程师提供10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．【类型7：古代算术问题】1．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．问这个物品的价格是多少元？答：元．2．《九章算术》书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，则可列关于x的方程为．3．程大位《直指算法统宗》中记载了这样一个问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个大小和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．则大和尚为人．4．《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一．原题是：今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”意思是：“一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗”？妇人回答：“家里来客人了”．津吏问：“有多少客人”？妇人回答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”问：“来了多少客人”？设共有x位客人，则可列方程为．5．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程；（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程．请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题：6．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”题目意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且两人的步长相等．若走路慢的人先走100步，求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？（注释：“步”是古代的一种计量单位）【类型8：储蓄、利息问题】1．小明到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是3.25%，若到期后取出的本息和是（本金•利息）为33825元，设小明存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x+3×3.25%x＝33825 B．3×3.25%x＝33825 C．x+3.25%x＝33825 D．3（x+3.25%）＝338252．小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年（年利率不变），到期后全部取出，正好是550元，则定期一年的利率是．3．已知某银行的贷款年基准利率是5%，老王和小张在这家银行贷款100万元，分别购买了一套新房，由于购入的时间不同，老王在年基准利率打七折时购入，小张在年基准利率上浮25%时购入．在各自贷款满一年后，这一年老王比小张少付万元利息．4．某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元．甲种存款的年利率为1.5%，乙种存款的年利率为2%．该公司一年共得利息0.36万元，求甲、乙两种存款各多少万元？5．小希准备在6年后考上大学时，用15000元给父母买一份礼物表示感谢，决定现在把零花钱存入银行．下面有两种储蓄方案：①直接存一个6年期．（6年期年利率为2.88%）②先存一个3年期，3年后本金与利息的和再自动转存一个3年期．（3年期年利率为2.70%）你认为按哪种储蓄方案开始存入的本金比较少？请通过计算说明理由．【类型9：比赛积分问题】1．在全国足球甲级A组的比赛中，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，积25分．已知胜一场得3分，平一场得1分，那么该队已胜场．2．上海男篮为了冲击季后赛，正努力提高自己的胜率．现在他们的胜率为45%，在接下来的8场客场比赛中，若能取得6场胜利，则可以将队伍的胜率提升到50%．那么到目前为止，他们在本赛季已经取得了场胜利．3．篮球运动是最流行的运动之一，深受青少年喜爱．某市举办春季校园篮球赛，共有八支队伍参赛，其中三支队伍的积分表如下．请根据表格信息解答下列问题：队名比赛场次胜场负场积分前进1410424光明149523远方1401414（1）请回答：胜一场得分，负一场得分；（2）若某队胜场总积分是负场总积分的2倍，求该队的胜场数；（3）若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，求该队的胜场数．4．在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题的答题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分”．（1）请直接写出每位同学所有可能的得分情况；（2）甲班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍；乙班的答题情况为：没有同学全部答错，答对一题人数的3倍和答对2题的人数之和等于全部答对的人数．①求甲班全部答对的人数；②请判断甲乙两班哪个班的得分更高，并说明理由．【类型10：数字问题】1．已知一个三位数，各个位数上的数字和是14，十位上的数字是个位上的数字的2倍，百位上的数字比个位上的数字多2，这个三位数是．2．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121，求这个两位数．设十位上的数字为x，则可列方程为．3．有一个三位数A，十位上的数字是个位上的数字的3倍，百位上的数字是个位上的数字的2倍，将A十位上的数字与个位上的数字进行对调得到一个新的三位数B，若A+B＝888，则这个三位数A为．4．有两个两位数的和为68，把较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数，这两个四位数的差为2178，则较小的两位数为．【类型11：年龄问题】1．哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，则爸爸的年龄是．2．今年小明的爸爸的年龄是小明的3倍，十三年后，小明的爸爸的年龄是小明的2倍，小明今年岁．3．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为．4．今年弟弟的年龄恰是哥哥年龄的12，而9年前弟弟的年龄只是哥哥年龄的15．父亲与女儿的年龄之和为91，当父亲的年龄是女儿现在的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的136．今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷年龄的三分之一．求小李爷爷今年的年龄．【类型12：幻方问题】1．如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中m的值为（）A．3 B．1 C．﹣8 D．﹣102．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是（）53p8mA．6 B．7 C．9 D．113．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．44．把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则xy的值为．5．若在一个3×3的方格中填写了9个不同的数字，且使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个3×3的方格为“幻方”．（1）图1是一个“幻方”，则a＝；b＝；c＝；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；（2）小明要将﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个小方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，小明经过研究，发现在“幻方”中，中间数m是上述9个数的平均数．①求中间数m的值；②请你帮小明将如图2所示的“幻方”的空白方格填满．【类型13：日历问题】1．小明在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（）A． B． C． D．2．如图，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日历中的五个数，如果这五个数最小的数为a，则这五个数的和是（）A．5a B．5a+7 C．5a+21 D．5a+353．如图是某年12月的日历，祥祥用平行四边形按如图所示的方式从中任意框出三个日期．若框出的这三个日期的和是48，则B处的日期为12月（）A．15日 B．16日 C．10日 D．23日4．某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图是2007年10月份日历．（1）用正方形圈出相邻的9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这9个数的和，结果为．（2）用平行四边形圈出相邻的四个数中存在这样的4个数使得a+b+c+d＝90，请写出这四个数中最大的数是．5．如图是2021年7月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是．6．在如表所示的某年12月份日历中，用长方形的方框圈出任意3×3个数．星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）如果圈出的9个数中，正中间的数为9，那么圈中的第一数是，最后一个数是．（2）如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为54，那么这9个数的和为，在这9个日期中，最后一天是号；（3）在这个月的日历中，用方框能否圈出“总和为207”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号；如果不能，请说明理由．【类型14：分段计费问题】1．某市出租车的收费标准是：起步价为8元，起步里程为3km（3km以内按起步价付费），3km后每千米收2元．某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元，则甲、乙两地的路程为km．2．节约用水，从点滴做起，小小的节水之举，彰显着整个城市的文明建设，郑州市为了号召全民节约用水，把水费收费标准调整为阶梯性收费，规定如表：用水量x/立方米0≤x≤180180＜x≤300每立方米的价格/元3.14.65第二阶梯每户每年用水量180～300立方米（含300），不超过180立方米的部分仍按每立方米3.1元计算，超过部分按每立方米按4.65元收费．若某用户去年交费651元，则该用户去年用水立方米．3．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月），例如：王女士家6月份用电420度，电费＝180×0.6+220×0.7+20×0.9＝280元阶梯电量电价一档0～180度0.6元/度二档181～400度0.7元度三档400度及以上0.9元/度实行“阶梯价格”收费以后，居民用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元．4．A市出租车收费标准如表：行程（千米）3千米以内满3千米但不超过8千米的部分8千米以上的部分收费标准（元）10元2.4元/千米3元/千米（1）若甲、乙两地相距6千米，乘出租车从甲地到乙地需要付款多少元？（2）某人从火车站乘出租车到旅馆，下车时计费表显示19.6元，请你帮忙算一算从火车站到旅馆的距离有多远？（3）小明乘飞机来到A市，小刚从旅馆乘出租车到机场去接小明，到达机场时计费表显示73元，接完小明，立即沿原路返回旅馆（接人时间忽略不计），请帮小刚算一下乘原车返回和换乘另外的出租车，哪种更便宜？5．为了节约水资源，某地区对居民用水实行阶梯水价制度，将居民全年用水量（取整数）划分为三档，标准如表：阶梯居民家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）水资源费（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0﹣180（含）52.071.571.36第二阶梯181﹣260（含）74.07第三阶梯260以上96.07如该地某户全年用水量为250立方米．则其应缴全年综合水费（含水费、水资源费、污水处理费）合计为180×5+（250﹣180）×7＝1390（元）．（1）如该地某户全年用水量为300立方米．则其应缴全年综合水费（含水费、水资源费、污水处理费）合计为多少元？（2）如该地某户缴纳全年综合水费（含水费、水资源费、污水处理费）1180元，求该户全年用水量是多少立方米？6．“若要电费缴得少，节约用电要做好”，某市居民生活用电试行“阶梯电价”收费，标准如下：居民月用电量x（千瓦时）单价（元）不超过210千瓦时a超过210千瓦时但不超过400千瓦时的部分0.6超过400千瓦时的部分0.9已知小丽家七月份用电200千瓦时，电费为110元．（1）则上表中a＝．（2）若小明家八月份用电240千瓦时，小亮家八月份用电410千瓦时，这两家八月份电费分别是多少元？（3）若小刚家八月份电费为247.5元，求小刚家八月份的用电量．【类型15：方案选择问题】1．某公园门票价格规定如下表：购票张数1～50张51～100张100张以上每张票的价格13元11元9元某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．（1）两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果（1）班单独组织去游园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？（直接回答）2．某综合实践活动园区的门票价为：成人票60元，学生票40元，为鼓励大家参与，园区开展了优惠促销活动，促销方案如下两种（两个方案不能同时参加）：方案一：成人票九折，学生票七折；方案二：参与人数少于100人没有优惠，达到或超过100人，全部八折．现成人有x人，学生的人数是成人人数的3倍多8人，他们准备进入园区参与活动，请回答以下问题：（1）当x＝23时，求出用方案二购买门票的费用；（2）用含x的代数式分别表示出方案一和方案二的购买门票费用；（3）若分别用两种方案购买门票的费用刚好相差516元，请问参与的学生人数是多少？3．2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（x≥30）．（1）若该户外俱乐部按方案A购买，需付款元（用含x的式子表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；（3）当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．4．春节期间，某超市对A，B两种商品开展促销活动，有如下两种活动方案（同一种商品不能同时参与两种活动）：项目方案商品AB标价（单元：元）100110方案一每件商品出售价格按标价打7折按标价打a折方案二若购买超过101件（A、B两种商品可累计），每件商品均按标价打8折后出售．（1）某单位购买A商品50件，B商品40件，共花费7240元，求a的值；（2）在（1）的条件下，若某单位购买A商品x件（x为正整数且x≥34），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多2件，请问该单位该选用何种方案更合算？请说明理由．5．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服20件，乙工厂每天能加工这种校服25件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用12天．在加工过程中，学校每天需付甲厂费用100元、每天需付乙厂费用125元．（1）求这批校服共有多少件？（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高20%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多5天，求乙工厂共加工多少天？（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂按原生产速度单独完成；方案二：由乙厂原生产速度单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校每天为每个工程师提供10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．【类型16：数轴动点问题】1．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；（2）数轴的原点右侧是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？2．如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．（1）求点A，B对应的数；（2）动点M，N分别同时从AC出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ=13CN，设运动时间为t（①求点P，Q对应的数（用含t的式子表示）；②t为何值时OP＝BQ．3．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数是．（2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为8，则x＝．（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则点P与数表示的点重合（用含x代数式表示）；（4）若点P从A点出发沿数轴的正方向移动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点P到点A距离等于点P到点B距离的2倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB＝BC＝20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v（v＞1）；运动时间为t．（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多少？（3）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值．5．如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点A到点B的方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，点P表示的有理数是，当点P与点B重合时，t的值是；（2）①在点P由点A到点B的运动过程中，P表示的有理数是（用含t的代数式表示）；②在点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是（用含t的代数式表示）．（3）若点P从点A出发的同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点B到点A的方向运动，当点P与点Q的距离是1个单位长度时，t的值是．6．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数；点P表示的数（用含t的代数式表示）（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是．（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？

一元一次方程-常考应用题-十六大类型（解析版）【类型1：几何问题】1．如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则小长方形的面积为20cm2．【解题过程】解：设小长方形的长为xcm，则宽为16−x3cm由图可得：16−x3×2+8＝x解得x＝10，∴16−x3∴小长方形的面积为：10×2＝20（cm2），故答案为：20cm2．2．如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为2，则这个长方形的面积为252．【解题过程】解：如图，设正方形A的边长为x，图题意可知正方形B、正方形C、正方形D的边长分别为x+2、x+4、x+6，根据长方形的对边相等得3x+x+2＝x+6+x+4，解得x＝4，∴3x+x+2＝18，x+6+x＝14，∴这个长方形的长为18，宽为14，18×14＝252，∴这个长方形的面积为252，故答案为：252．3．如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中GH＝GK＝2cm，DC＝10cm，则长方形ABCD的面积为140cm2．【解题过程】解：设BF＝xcm，则CM＝BF+GH＝x+2（cm），AE＝3x+2，AF＝3x+2，故DE＝DM＝x+2﹣2＝3x；∵DC+MC＝DC，DC＝10，∴3x+x+2＝10，解得x＝2．则AD＝AE+DE＝3x+2+3x＝6x+2＝14（cm），∴长方形ABCD的面积为14×10＝140（cm2），故答案为：140．4．有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20分米，倒立时空余部分高度为5分米，问瓶内现有饮料多少立方分米？【解题过程】解：设饮料瓶瓶底的面积为x平方分米，依题意得：20x＝30﹣5x，解得：x=6∴20x＝20×6答：瓶内现有饮料24立方分米．【类型2：配套问题】1．制作一张桌子，要用一个桌面和4条腿组成，1m3木材可制作300条桌腿或可制作15个桌面，现有30m3木材，应该用多少立方木材制作桌面，用多少立方木材制作桌腿，才能使桌腿和桌面配套？【解题过程】解：设用x立方木材制作桌面，用（30﹣x）立方木材制作桌腿，依题意得：15x=300(30−x)解得x＝25，则30﹣x＝5，答：应该用25立方木材制作桌面，用5立方木材制作桌腿．2．某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？【解题过程】解：设分配x人生产甲种零件，则共生产甲零件24x个和乙零件12（60﹣x），依题意得方程：24x=2解得x＝15，60﹣15＝45（人）．答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．3．小敏和小强到某厂参加社会实践，该厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸裁成盒身3个或者盒盖5个，且一个盒身和两个盒盖恰好能做成一个包装盒，设裁成盒身的白板纸有x张，回答下列问题．（1）若有11张白板纸．①请完成如表；x张白板纸裁成盒身（11﹣x）张白板纸裁成盒盖盒身的个数3x0盒盖的个数05（11﹣x）②求最多可做几个包装盒；（2）若仓库中已有4个盒身，3个盒盖和23张白板纸，现把白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，可做多少个包装盒？（3）若有n张白板纸（70≤n≤80），先把一张白板纸适当套裁出3个盒身和1个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分裁成盒身，一部分裁成盒盖．当盒身与盒盖全部配套用完时，求n的值．【解题过程】解：（1）①完成下表为：x张白板纸裁成盒身（11﹣x）张白板纸裁成盒盖盒身的个数3x0盒盖的个数05（11﹣x）故答案为：3x，（11﹣x），5（11﹣x）；②由题意可得：3x×2＝5（11﹣x），解得x＝5，∴有5张白板纸做盒身，∴最多可以做15个包装盒；（2）设裁成盒身用y张白板纸，则裁盒盖的白板纸有（23﹣y）张，由题意可得2×3y+2×4＝3+5（23﹣y），解得y＝10，∴10张白板纸能做30个盒身，∴可以做34个包装盒；（3）设用z张白板纸裁盒身，则裁盒盖的白板纸有（n﹣z﹣1）张，由题意可得3×2+2×3z＝5（n﹣z﹣1）+1，∴5n＝11z+10，∵70≤n≤80，∴350≤11z+10≤400，∴31≤z≤35，∴n的值为79．【类型3：调配问题】1．列方程解应用题：某校七年级的合唱队与舞蹈队共有120人，其中合唱队人数比舞蹈队人数的4倍少5人．（1）求合唱队、舞蹈队各有多少人？（2）若从合唱队、舞蹈队两个队伍分别抽调队员，组成鼓号队，并使合唱队、舞蹈队、鼓号队三个队的人数比是13：4：7，那么合唱队、舞蹈队要分别抽调多少队员？【解题过程】解：（1）设舞蹈队有x人，则合唱队有（4x﹣5）人，依题意得：x+（4x﹣5）＝120，解得：x＝25，∴4x﹣5＝95．答：合唱队有95人，舞蹈队有25人．（2）120×7设合唱队要抽调y名队员，则舞蹈队要抽调（35﹣y）名队员，依题意得：95−y13解得：y＝30，∴35﹣y＝5．答：合唱队要抽调30名队员，舞蹈队要抽调5名队员．2．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有14人，在乙处植树的有6人，现调70人去支援．（1）若要使在甲处植树的人数与在乙处植树的人数相等，应调往甲处31人．（2）若要使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？（3）通过适当的调配支援人数，使在甲处植树的人数恰好是在乙处植树人数的n倍（n是大于1的正整数，不包括1．）则符合条件的n的值共有6个．【解题过程】解：（1）设调往甲处y人，则调往乙处（70﹣y）人，由题意得：14+y＝6+（70﹣y），解得：y＝31，故答案为：31；（2）解：设调往甲处x人，则调往乙处（70﹣x）人，由题意得：14+x＝2（6+70﹣x），解得：x＝46成人数：70﹣46＝24（人），答：应调往甲处46人，乙处24人．（3）设调往甲处z人，则调往乙处（70﹣z）人，列方程得14+z＝n（6+70﹣z），14+z＝n（76﹣z），n=14+z解得：n=2z=46，n=4z=58，n=5z=61，n=8z=66，共6种，故答案为：6．3．某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的A、B两地，现用甲、乙两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知甲种货车的载重量为15吨/辆，乙种货车的载重量为10吨/辆．（1）求这两种货车各用多少辆？（2）已知运往A地的运费为：甲种货车630元/辆，乙种货车420元/辆；运往B地的运费为：甲种货车750元/辆，乙种货车550元/辆．如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，总运费为11330元，请你设计出这两种货车的调配方案．【解题过程】解：（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（20﹣x）辆．根据题意，得15x+10（20﹣x）＝240解得x＝8所以20﹣x＝20﹣8＝12（辆）答：甲种货车用8辆，乙种货车用12辆．（2）设调往A地的甲种货车为a辆，则乙种货车为（10﹣a）辆；调往B地的甲种货车为（8﹣a）辆，则乙种货车为（a+2）辆．根据题意可列方程630a+420（10﹣a）+750（8﹣a）+550（a+2）＝11330解得a＝3于是10﹣a＝10﹣3＝7（辆）8﹣a＝8﹣3＝5（辆）a+2＝3+2＝5（辆）答：调配方案是：安排甲种货车3辆和乙种货车7辆前往A地；安排甲种货车5辆和乙种货车5辆前往B地．4．某地A，B两仓库分别存有口罩16万箱和18万箱．为了响应疫情防控政策，现要往甲、乙两地运送口罩，其中甲地需要15万箱，乙地需要19万箱，从A仓库运1万箱口罩到甲地的运费为500元，到乙地的运费为300元；从B仓库运1万箱口罩到甲地的运费为200元，到乙地的运费为100元．（1）设从A仓库运往甲地x万箱，请把下表补充完整：终点/起点甲地乙地总计A仓库x万箱（16﹣x）万箱16万箱B仓库（15﹣x）万箱（3+x）万箱18万箱总计15万箱19万箱34万箱（2）如果某种调动方案的运费是9100元，那么从A、B仓库分别运往甲，乙两地各多少万箱？【解题过程】解：（1）设从A仓库运往甲地x万箱，则B仓库运往甲地（15﹣x）万箱，由题意得：从A仓库运往乙地（16﹣x）万箱，则B仓库运往乙地18﹣（15﹣x）＝（3+x）万箱，把表补充完整：终点/起点甲地乙地总计A仓库x万箱（16﹣x）万箱16万箱B仓库（15﹣x）万箱（3+x）万箱18万箱总计15万箱19万箱34万箱故答案为：（16﹣x），（15﹣x），（3+x）；（2）由题意得：500x+300（16﹣x）+200（15﹣x）+100（3+x）＝9100，整理得：100x+8100＝9100，解得：x＝10．∴15﹣10＝5，16﹣10＝6，3+10＝13，答：若总运费为9100元，则从A仓库运往甲地10万箱，则B仓库运往甲地5万箱，从A仓库运往乙地6万箱，则B仓库运往乙地13万箱．【类型4：利润问题】1．某种商品的进价为120元，出售时标价为180元，后来由于商品积压，商店打折出售，打折后利润率为20%，则该商品打了八折销售．【解题过程】解：设该商品打了x折销售，依题意得：180×x解得：x＝8，∴该商品打了八折销售．故答案为：八．2．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的八五折出售，将盈利10元，则该商品的原售价为350元．【解题过程】解：该商品的原售价为x元，由题意可得：0.75x+25＝0.85x﹣10，解得x＝350，即该商品的原售价为350元，故答案为：350．3．一个商店把某件商品按进价提高20%作为定价，可是总卖不出去；后来按定价减价20%出售，很快卖掉，结果这次生意亏了4元．那么这件商品的进价是100元．【解题过程】解：根据题意：设这件商品的进价为x元，可得：x（1+20%）（1﹣20%）＝x﹣4解得：x＝100．故答案为：100．4．某商品按进价增加20%出售，因积压需降价处理，如果仍想获得8%的利润，则出售价需打9折．【解题过程】解：设进价为a，出售价需打x折，根据题意可列方程：a(1+20%)x将方程两边的a约掉，可得x＝9．所以出售价需打9折．故答案为：9．5．春节将近，各服装店清仓大甩卖．一商店某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利50%，另一件亏损20%，卖这两件衣服的利润为10元．【解题过程】解：设盈利50%的那件衣服的进价是x元，根据进价与得润的和等于售价列得方程：x+0.5x＝120，解得：x＝80，类似地，设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是﹣20%y元，列方程y+（﹣20%y）＝120，解得：y＝150．那么这两件衣服的进价是x+y＝230元，而两件衣服的售价为240元．则240﹣230＝10（元）．故卖这两件衣服的利润为10元．故答案为：10．6．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：（1）降价前每件衬衫的利润率为多少？（2）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【解题过程】解：（1）（120﹣80）÷80×100%＝40÷80×100%＝50%．故降价前每件衬衫的利润率为50%；（2）设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，根据题意得：120×400+（120﹣x）×（500﹣400）﹣80×500＝80×500×45%，解得：x＝20．答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．7．某商店对A、B两种商品在进价的基础上提高50%价为标价出售，元旦期间，该商店对A、B两种商品开展促销活动，活动方案如下：商品AB标价（元/件）150225元旦期间每件商品出售的价格按标价降10%按标价降价a%（1）A商品进价100元，B商品进价150元，商品B降价后的售价为225（1﹣a%）元（用含有a的代数式表示）；（2）不考虑其他成本，在元旦期间卖出A种商品40件，B商品20件，获得的总利润2000元，试求a的值．[注：利润＝（售价﹣进价）×销售量]【解题过程】解：（1）∵A、B两种商品在进价的基础上提高50%价为标价，∴A商品进价为150÷（1+50%）＝100（元），B商品进价为225÷（1+50%）＝150（元），∵B商品标价是225元，出售价格按标价降低a%，∴降价后的标价是225（1﹣a%）元，故答案为：100，150，225（1﹣a%）；（2）由题意得：[150×（1﹣10%）﹣100]×40+[225（1﹣a%）﹣150]×20＝2000，解得：a＝20，答：a的值是20．8．某超市第一次用5500元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品150件，乙种商品100件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为30元/件，乙种商品售价为35元/件．（注：获利＝售价﹣进价）（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少2元；甲种商品按原售价提价m%销售，乙种商品按原售价降价m%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多270元，那么m的值是多少？【解题过程】解：（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价（x+5）元，由题意可得：150x+100（x+5）＝5500，解得：x＝20，x+5＝20+5＝25，答：该超市第一次购进甲种商品每件20元，乙种商品每件25元；（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润：150×（30﹣20）+100×（35﹣25）＝2500（元）．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得2500元的利润．（3）由题意150×[30（1+m%）﹣20]+100×[35（1﹣m%）﹣（25﹣2）]＝2500+270，解得m＝7．答：m的值是7．【类型5：行程问题】1．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（）千米．A．30 B．36 C．44 D．48【解题思路】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，由题意得：x+2＝2（x﹣2），解得：x＝6，则顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4千米/小时，设乙、丙两地相距y千米，由题意得：18+y8解得：y＝26，则y+18＝44，即甲、丙两港间的距离为44千米．故选：C．2．如图，A、B两地相距90千米，从A到B依次经过60千米平直公路（AC段）、10千米上坡公路（CD段）和20千米平直公路（DB段）．甲从A地驾驶汽车前往B地，乙从B地骑摩托车前往A地，他们同时出发．已知在平直公路上汽车、摩托车的速度分别是120千米/时、60千米/时，汽车上坡速度为100千米/时，摩托车下坡速度为80千米/时，两人出发3572【解题思路】解：甲行驶到C地所需时间为60÷120=1乙行驶到C地所需时间为20÷60+10÷80=11∵12∴甲、乙相遇在AC段．设两人出发x小时相遇，依题意得：120x+60（x−11解得：x=35故答案为：35723．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，若他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；若以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，那么甲、乙两地的距离是120千米．【解题思路】解：设两地的距离为x千米，根据题意列方程，得x50解得x＝120，故答案为：120．4．若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长248米．【解题思路】解：设这列火车长x米，由题意可得：310+x18解得x＝248，答：这列火车长248米，故答案为：248．5．周末，甲乙两人沿环形生态跑道散步，甲每分钟行80米，乙每分钟行120米，跑道一圈长400米．求：（1）若甲乙两人同时同地同向出发，多少分钟后他们第一次相遇？（2）若两人同时同地反向出发，多少分钟后他们第一次相距100米？【解题思路】解：（1）设甲乙两人同时同地同向出发，x分钟后他们第一次相遇，依题意，得：120x﹣80x＝400，解得：x＝10．答：甲乙两人同时同地同向出发，10分钟后他们第一次相遇．（2）设两人同时同地反向出发，m分钟后他们第一次相距100米，依题意，得：120m+80m＝100，解得：m=1答：两人同时同地反向出发，126．列方程解应用题电瓶车的速度是30千米/时，摩托车的速度是50千米/时，两车相距240千米．（1）如果两车同时出发，同向而行（摩托车在后），那么经过几小时摩托车能追上电瓶车？（2）如果两车同时出发，相向而行，那么经过几小时两车相距80千米？【解题思路】解：（1）经过x小时摩托车能追上电瓶车，由题意得，50x﹣30x＝240，解得x＝12，答：经过12小时摩托车能追上电瓶车；（2）经过y小时两车相距80千米，由题意得，相遇前，30y+50y+80＝240，解得y＝2；相遇后，30y+50y﹣80＝240，解得y＝4．答：经过2或4小时两车相距80千米．7．甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．（1）乙车的行驶速度是多少千米/时？（2）相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？【解题思路】解：（1）设乙车速度为x千米/时，依题意得：1.8x＝2x﹣20，解得x＝100．答：乙车速度为100千米/小时；（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时行驶的路程为（2×100﹣m）千米，则依题意得：m100解得m＝80．∴200﹣m＝120（千米）．答：甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米．【类型6：工程问题】1．一件工程，甲独做18天可完，乙独做24天可完．现在两个人合作，但是中途乙因有事离开几天，从开工后12天两人把这件工程做完，则乙中途离开了4天．【解题过程】解：设乙中途离开x天，由题意可得：118×12+1解得x＝4，答：乙中途离开4天，故答案为：4．2．一项工程，甲、乙两人合作需要8天完成任务，若甲单独做需要12天完成任务．（1）若甲、乙两人一起做6天，剩下的由甲单独做，还需要3天完成；（2）若甲、乙两人一起做4天，剩下的由乙单独做，还需要12天完成．【解题过程】解（1）设甲单独做还需要x天完成，依题意得：18×6+解得：x＝3．答：还需要3天完成．故答案为：3；（2）设乙单独做还需要y天．依题意得：18×4+（18解得：y＝12．答：还需要12天完成．故答案为：12．3．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作．（1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？【解题过程】解：（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成，根据题意得130（x+20）+1解得x＝6，答：甲、乙合作6天才能把该工程完成．（2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，若由甲队单独完成：3.5×30＝105（万元）；设由甲、乙全程合作完成需要m天，则130m+1解得m＝18，3.5×18+2×18＝99（万元），99万元＜105万元，答：由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱．4．某工程交由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队单独完成需要60天，乙工程队单独完成需要40天．（1）若甲工程队先做20天，乙工程队再参加，两个工程队一起来完成剩余的工程，求共需多少天完成该工程任务？（2）若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的工作效率提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共工作了多少天？【解题过程】解：（1）设共需x天完成该工程任务，依题意得：x60解得x＝36．答：共需36天完成该工程任务；（2）设甲工程队工作了m天，则乙工程队共工作了（2m+4）天，根据题意得：（160+140）m+1解得：m＝12，∴2m+4＝28，答：乙工程队共工作了28天．5．某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服20件，乙工厂每天能加工这种校服25件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用12天．在加工过程中，学校每天需付甲厂费用100元、每天需付乙厂费用125元．（1）求这批校服共有多少件？（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高20%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多5天，求乙工厂共加工多少天？（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂按原生产速度单独完成；方案二：由乙厂原生产速度单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校每天为每个工程师提供10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．【解题过程】解：（1）设这批校服共有x件，由题意得：x20解得：x＝1200，答：这批校服共有1200件；（2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+5）天，根据题意得：（20+25）a+25×（1+20%）（2a+5﹣a）＝1200，解得a＝14，∴2a+5＝2×14+5＝28+5＝33，答：乙工厂共加工33天；（3）①方案一：由甲厂单独加工时，耗时为1200÷20＝60天，需要费用为：60×（10+100）＝6600（元）；②方案二：由乙厂单独加工时，耗时为1200÷25＝48天，需要费用为：48×（125+10）＝6480（元）；③方案三：由两加工厂共同加工时，耗时为33天，需要费用为：14×（100+10）+33×（10+125）＝5995（元）．∴按方案三方式完成既省钱又省时间．【类型7：古代算术问题】1．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．问这个物品的价格是多少元？答：102元．【解题过程】解：设共有x人，依题意得：11x﹣8＝9x+12，解得x＝10，所以物品价格为11×10﹣8＝102（元），故答案为：102．2．《九章算术》书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，则可列关于x的方程为3（x﹣2）＝2x+9．【解题过程】解：依题意得：3（x﹣2）＝2x+9．故答案为：3（x﹣2）＝2x+9．3．程大位《直指算法统宗》中记载了这样一个问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个大小和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．则大和尚为25人．【解题过程】解：设大和尚有x人，则小和尚（100﹣x）人，由题意得：3x+13（100﹣解得x＝25，答：大和尚有25人．故答案为：25．4．《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一．原题是：今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”意思是：“一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗”？妇人回答：“家里来客人了”．津吏问：“有多少客人”？妇人回答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”问：“来了多少客人”？设共有x位客人，则可列方程为12x+13x+【解题过程】解：设共有x位客人，则共使用12x只饭碗，13只汤碗，依题意得：12x+13x故答案为：12x+13x5．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程13x﹣4=14（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程3（x+4）＝4（x+1）．请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题：【解题过程】解：（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程13x﹣4=1（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程3（x+4）＝4（x+1）．由3（x+4）＝4（x+1）解得x＝8．3（x+4）＝36．答：绳长和井深分别为36尺，8尺．6．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”题目意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，且两人的步长相等．若走路慢的人先走100步，求走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？（注释：“步”是古代的一种计量单位）【解题过程】解：设a分钟走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，则走路快的人的速度为100a步/分钟，走路慢的人的速度为60设走路快的人追上走路慢的人所用的时间为t分钟，由题意可得：（100a−60解得t=5a则走路快的人走的路程为100a•5a答：走路快的人走250步才能追上走路慢的人．【类型8：储蓄、利息问题】1．小明到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是3.25%，若到期后取出的本息和是（本金•利息）为33825元，设小明存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x+3×3.25%x＝33825 B．3×3.25%x＝33825 C．x+3.25%x＝33825 D．3（x+3.25%）＝33825【解题过程】解：根据题意得：x+3×3.25%x＝33825．故选：A．2．小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年（年利率不变），到期后全部取出，正好是550元，则定期一年的利率是10%．【解题过程】解：设定期一年的利率是x，根据题意得：一年时：1000+1000x＝1000（1+x），取出600后剩：1000（1+x）﹣600，同理两年后是[1000（1+x）﹣600]（1+x），即方程为[1000（1+x）﹣600]•（1+x）＝550，解得：x1＝10%，x2=−3故答案为：10%．3．已知某银行的贷款年基准利率是5%，老王和小张在这家银行贷款100万元，分别购买了一套新房，由于购入的时间不同，老王在年基准利率打七折时购入，小张在年基准利率上浮25%时购入．在各自贷款满一年后，这一年老王比小张少付2.75万元利息．【解题过程】解：设这一年老王比小张少付x万元利息，由题意，得100×5%×（1+25%）﹣x＝100×5%×0.7．解得x＝2.75即这一年老王比小张少付2.75万元利息．故答案为：2.75．4．某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元．甲种存款的年利率为1.5%，乙种存款的年利率为2%．该公司一年共得利息0.36万元，求甲、乙两种存款各多少万元？【解题过程】解：设甲种存款x万元，乙种存款（20﹣x）万元，依题意可得：1.5%x+2%（20﹣x）＝0.36，解得x＝8，20﹣x＝12．答：甲种存款8万元，乙种存款12万元．5．小希准备在6年后考上大学时，用15000元给父母买一份礼物表示感谢，决定现在把零花钱存入银行．下面有两种储蓄方案：①直接存一个6年期．（6年期年利率为2.88%）②先存一个3年期，3年后本金与利息的和再自动转存一个3年期．（3年期年利率为2.70%）你认为按哪种储蓄方案开始存入的本金比较少？请通过计算说明理由．【解题过程】解：设储蓄方案①所需本金x元，储蓄方案②所需本金y元．依题意，得：（1+2.88%×6）x＝15000，（1+2.70%×3）2y＝15000，解得：x≈12789.90，y≈12836.30，∵12789.90＜12836.30，∴按照储蓄方案①开始存入的本金比较少．【类型9：比赛积分问题】1．在全国足球甲级A组的比赛中，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，积25分．已知胜一场得3分，平一场得1分，那么该队已胜7场．【解题过程】解：设该队已胜x场，那么该队平场的场数为（11﹣x），根据题意得：3x+（11﹣x）＝25，解得x＝7．答：该队已胜7场．故答案为：7．2．上海男篮为了冲击季后赛，正努力提高自己的胜率．现在他们的胜率为45%，在接下来的8场客场比赛中，若能取得6场胜利，则可以将队伍的胜率提升到50%．那么到目前为止，他们在本赛季已经取得了18场胜利．【解题过程】解：设上海男篮在本赛季已经进行了x场比赛，由题意得：（x+8）×50%＝45%x+6，解得：x＝40，则45%x＝45%×40＝18，即上海男篮在本赛季已经取得了18场胜利，故答案为：18．3．篮球运动是最流行的运动之一，深受青少年喜爱．某市举办春季校园篮球赛，共有八支队伍参赛，其中三支队伍的积分表如下．请根据表格信息解答下列问题：队名比赛场次胜场负场积分前进1410424光明149523远方1401414（1）请回答：胜一场得2分，负一场得1分；（2）若某队胜场总积分是负场总积分的2倍，求该队的胜场数；（3）若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，求该队的胜场数．【解题过程】解：（1）设胜一场积x分，则负一场积24−10x4依题意得：9x+5×24−10x解得x＝2，此时24−10x4∴胜一场积2分，负一场积1分．故答案为：2，1；（2）答：能．理由如下：设胜场数是a，负场数是（14﹣a），依题意得：2a＝2（14﹣a），解得a＝7，1，4﹣a＝14﹣7＝7，答：该队胜7场；（3）设胜场数是a，负场数是（14﹣a），依题意得：14﹣a＝2ka，解得：a=14∵k是正整数，2k+1是奇数，∴符合题意的有：2k+1＝7，k＝3，a＝2．答：该队胜的场数是2场．4．在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题的答题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分”．（1）请直接写出每位同学所有可能的得分情况；（2）甲班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍；乙班的答题情况为：没有同学全部答错，答对一题人数的3倍和答对2题的人数之和等于全部答对的人数．①求甲班全部答对的人数；②请判断甲乙两班哪个班的得分更高，并说明理由．【解题过程】解：（1）若只答对1题，则不答或答错2题，得分为：1×10﹣2×10＝﹣10，若只答对2题，则不答或答错1题，得分为：2×10﹣1×10＝10，若只答对3题，得分为：3×10＝30，若不答或答错3题，得分为：0﹣3×10＝﹣30，答：每位同学所有可能的得分情况是﹣30分、﹣10分、10分和30分；（2）①设甲班答对1题的有x人，由题意得，2+（3x﹣6）+2x+x＝50，解得x＝9，3