2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市青浦高级中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是(

)

A.45，56 B.46，45 C.47，45 D.45，472.空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是(

)A.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

B.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β

C.若α//β，m//α，n//β，则m//n

D.若α//β，m//α，m//n，则n//β3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5+aA.4 B.5 C.6 D.74.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足CD=2OC−xOA−yOB，且x>0，y>0A.34+22 B.32二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.直线y=3x−36.为了考察某区1万名高一年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是______．7.已知向量a=(x,0,3)，b=(1,y,2)，a⊥b，则x=8.a，b，c三个数成等比数列，其中a=7+43，c=7−43，则9.甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是______．10.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为______．11.已知直线l1：ax+3y−1=0与直线l2：2x+(a−1)y+1=0平行，则a=______．12.在空间直角坐标系中，点A(2,0,0)为平面α外一点，点B(0,1,1)为平面α内一点.若平面α的一个法向量为(1,1,−2)，则点A到平面α的距离是______．13.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为______．14.某车间的质检员利用随机数表对生产的60个零件进行抽样测试，先将60个零件进行编号，编号分别为01，02，…，60，从中选取5个个体组成样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90

57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10

若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是______．15.定义两个相交平面夹角为两个平面所组成的四个二面角的最小值.已知平面α与β所成的角为80°，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α，β所成的角都是30°，则这样的直线有______．16.已知正四面体ABCD的边长为1，P是空间一点，若PA2+PB2三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C经过直线l1：x−y+1=0，l2：2x+y+2=0的交点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线l：kx−y−2=0与圆C交于M，N两点，且|MN|=2618.(本小题13分)

为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人．

(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？

(2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如表所示(其中x<10，n是正整数)日均睡眠时间(小时)x8.599.510学生数量n3213114求该样本的第40百分位数．19.(本小题13分)

如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，∠AOP=120°，圆O的直径AB=4，圆柱的高OO1=3．

(1)求圆柱的表面积与体积；

(2)求直线A20.(本小题17分)

如图，已知A(6,63)，B(0,0)，C(12,0)，直线l：(k+3)x−y−2k=0．

(1)证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标；

(2)若直线l等分△ABC的面积，求直线l的一般式方程；

(3)若P(2,23)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC(反射点为K)、21.(本小题17分)

如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P−ABMND．

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；

(2)当四棱锥P−MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角Q−MN−P的平面角的余弦值为1010？若存在，试确定点Q参考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.60°

6.1500

7.−6

8.±1

9.0.56

10.2π

11.3

12.613.4314.09

15.4

16.617.解：(1)联立x−y+1=02x+y+2=0，

解得x=−1y=0，

故直线l1和l2的交点为D(−1,0)，

r=|CD|=(2+1)2+(1−0)2=10，

故圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=10；

(2)直线l：kx−y−2=0与圆C交于M18.解：(1)根据题意，在抽取的100名学生中，高三年级的人数为100−35−33=32，

设高中三个年级一共有M个学生，M∈N∗，

所以32512=100M，

解得M=1600，

所以高中三个年级一共有1600个学生；

(2)因为抽取100名学生的样本极差为2，x<10，

所以10−x=2，可得x=8，

因为n+32+13+11+4=100，

可得n=40，

因为100×40% =40，

19.解：(1)根据题意，因为AB是圆O的直径，则OB=2，

圆柱的表面积S=2π×OB2+π×AB×AA1=2π×22+π×4×3=20π，

圆柱的体积V=3×π×22=12π；

(2)根据题意，因为AB/​/A1B1，所以AB与A1P所成角即为A1B1与A1P所成角，

连结PB1.因为AB是圆O的直径，所以AP⊥PB.因为∠AOP=120°，

所以∠BAP=30°20.解：(1)直线l：(k+3)x−y−2k=0可化为k(x−2)+(3x−y)=0，

令x−2=03x−y=0，解得x=2y=23，故直线l经过的定点坐标为(2,23)；

(2)因为A(6,63)，B(0,0)，C(12,0)，所以|AB|=|AC|=|BC|=12，

由题意得直线AB方程为y=3x，

故直线l经过的定点M(2,23)在直线AB上，所以|AM|=(6−2)2+(63−23)2=8，

设直线l与AC交于点D，所以S△AMD=12S△ABC，

即12|AM||AD|sinA=12×12×|AB||AC|sinA，所以|AD|=34|AC|=9，

设D(x0,y0)，所以AD=34AC，即(x0−6,y0−63)=34(6,−63)，

所以x0=21221.(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，

证明：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴BD/​/MN，

又因为菱形ABCD中∠DAB=60°，∴△PMN是等边三角形，

∵G是MN的中点，∴MN⊥PG，

∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴MN⊥AC，

∵AC∩PG=G，AC⊂平面PAG，PG⊂平面PAG，

∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG．

(2)解：由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB=4，MN=2，O1G=3，

所以等腰梯形MNDB的面积S=(2+4)×32=33，

要使得四棱锥P−MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，

∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为3，

此时四棱锥P−MNDB体积的最大值为V=13×33×3=3，

连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG，

在Rt△PBG中，PG=3，BG=7，由勾股定理得：PB=PG2+BG2=10．

∴