2024-2025学年吉林省四平市四平第三高级中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省四平第三高级中学高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−1iA.1−2i B.−1−2i C.−1+2i D.1+2i2.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2−x+b=0}，若A∩B={3}，则b=A.−6 B.6 C.5 D.−53.在等差数列{an}中，若a22+A.3 B.6 C.9 D.124.已知向量a，b都是单位向量，若|2a−b|=|a+b|A.π6 B.π3 C.2π35.函数f(x)=x2−12A. B.

C. D.6.一条光线从点P(−1,2)射出，经x轴反射后与圆C：(x−2)2+(y−3)2=1相切于点Q，则光线从PA.34 B.33 C.107.已知a>0，b>0，若不等式ma+b≤4a+9bab恒成立，则mA.25 B.169 C.5 D.68.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，P是C上支上的一点(不在y轴上)，PF2与x轴交于点A，A.(1,52) B.(5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos2x+sin2(x−π2)，将函数f(x)的图象先向右平移A.函数f(x)为偶函数

B.g(x)=cos(2x+π6)

C.g(x)=cos10.已知函数f(x)=x(ex−a)，则下列说法正确的是A.函数f(x)的图象经过坐标原点

B.当a>0时，函数f(x)有且仅有一个极小值点

C.若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，则a=e

D.“a≤−12”是“函数11.如图，在三棱锥A−BCD中，AB=BC=AC=CD=2，∠BCD=120°，二面角A−BC−D的大小为120°，则下列说法正确的是(

)A.直线AB与CD为异面直线

B.BD=23

C.三棱锥A−BCD的体积为22

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α∈(0,π2)，sinα=513.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，则|AF||BF|14.已知函数f(x)=(x+1)ex，过点M(1,t)可作2条与曲线y=f(x)相切的直线，则实数t的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在前n项和为Sn的等比数列{an}中，3a2=2a1+a3，S4=30，S2=38−a5．16.(本小题15分)

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA+sinB)(a−b)=c⋅(sinC−sinB)，a=27，且△ABC的面积为63．

(1)求A；

17.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AA1=AB=BC=1，CD=2，∠ABC=∠BCD=90°，M为A1D18.(本小题17分)

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x2a2+y2=1(1<a<5)上，该椭圆的左顶点A到直线x−y+5=0的距离为322．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若线段MN平行于y轴，满足(ON−2OM)⋅MN=019.(本小题17分)

已知函数f(x)=1+lnx−ax2．

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)证明：xf(x)<2e参考答案1.A

2.A

3.B

4.B

5.A

6.B

7.A

8.A

9.ACD

10.AB

11.ABD

12.3

13.514.(0,2e)∪{−615.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

由3a2=2a1+a3，得3a1q=2a1+a1q2，即q2−3q+2=0，解得q=2或q=1，

当q=1时，由S4=30，得4a1=30，解得a1=152，此时S2=2a1=15≠38−a516.解：(1)∵(sinA+sinB)(a−b)=c⋅(sinC−sinB)，

∴由正弦定理可得，(a+b)(a−b(=(c−b)c，化简可得，b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc=12，

∵0<A<π，

∴A=π3，

(2)∵a=27，A=π3，△ABC17.解：(1)证明：取CD中点E，则AB//CE，AB=CE，且AE=BC=EC=ED=1，即AE=12CD，

所以∠CAD=90°，且AC=AD=2，

因为MD1DD1=22=DD1AD，所以△ADD1∽△DD1M，所以∠D1AD=∠MDD1，

因为∠D1AD+∠AD1D=90°，所以∠MDD1+∠AD1D=90°，即AD1⊥MD，

因为CA⊥AD，CA⊥A1A，AD∩A1A=A，AD、A1A⊂平面ADD1A1，

所以CA⊥平面ADD1A1，所以CA⊥MD，

又CA∩AD1=A，CA、AD1⊂平面AD1C，

所以MD⊥平面AD1C18.解：(1)左顶点A的坐标为(−a,0)，

∵|−a+5|2=322，

∴|a−5|=3，

解得a=2或a=8(舍去)，

∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1，

证明：(2)由题意M(x0,y0)，N(x0,y1)，P(23,t)，则依题意可知y1≠y0，

由(ON−2OM)⋅MN=0可得19.解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，

f′(x)=1−2ax2x，

故a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，

当a>0时，令f′(x)=0，解