2024-2025学年湖北省高二（上）期末联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省高二（上）期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=4x的焦点坐标为(

)A.(0,1) B.(0,2) C.(1,0) D.(2,0)2.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，且B⊆A，则P(AB)=(

)A.0.5 B.0.4 C.0.9 D.0.23.设数列{an}，bn都是等比数列，则在4个数列{an+bn}A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.直线l1的一个方向向量的坐标为(2,3)，直线l2过点(1,2)且与l1垂直，则l2A.2x+3y−8=0 B.3x−2y+1=0 C.3x+2y−7=0 D.2x−3y+4=05.已知{an}是等差数列，a1+a3+a5A.90 B.100 C.110 D.1206.已知正三棱柱ABC−A′B′C′的各条棱长均相等，棱CC′的中点为D，则直线A′C与直线BD所成的角的余弦值为(

)A.0 B.14 C.337.柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从6只鞋子中随机地取出3只，则取出的3只鞋子颜色均不相同的概率为(

)A.15 B.310 C.258.圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆;同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角α−l−β的大小为30∘，半平面α内的圆C在半平面β上的投影是椭圆C1，C1在半平面α上的投影是椭圆C2，则椭圆CA.34 B.12 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：E=“点数不大于2”;F=“点数大于2”; G=“点数大于5”;H=“点数为奇数”.则下列说法正确的有(

)A.F∪G=G B.E，F为对立事件

C.F与H互斥 D.GH=⌀10.已知m≠n，设两条直线l1:x−my+2=0，l2:x−ny−2=0交点的轨迹为曲线CA.当mn=−4时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在x轴上

B.当mn=−12时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在y轴上

C.当mn<0时，曲线C是椭圆的一部分

D.当mn>0时，曲线11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点P在面ABB1A1(包含边界)内运动，且PA+PB=25;点Q在面ABCD(包含边界)A.PQ⊥AB B.直线PQ不可能与平面ABCD垂直

C.Q的轨迹为抛物线的一部分 D.线段PQ长度的取值范围为[1,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知OA=(2,1,3)，OB=(−2,1,x)，且OA⊥OB，则|AB|=13.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以线段F14.数列an中a1=2，且满足an⋅an+1=12n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}满足an+1=2(1)求证：数列bn是等比数列(2)设cn=an+log2b16.(本小题15分)已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=4内有一点P0(1,2)，过(1)若弦AB被点P0平分，求直线AB(2)若|AB|=23，求直线AB17.(本小题15分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥DC，∠DCC1=60∘，平面CC(1)求证：AE//平面BDF;(2)求直线CD与平面BDF所成的角θ的正弦值．18.(本小题17分)已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点为A，焦点在x轴上且焦距为2，过右焦点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆于M，N两点，当直线l与x轴垂直时，|MN|=3．(1)求椭圆C的方程;(2)证明：直线MA，NA的斜率之积为定值．19.(本小题17分)已知A，B两个盒子里分别有a，b个小球，另有足够多的小球备用.重复进行n(a,b≥2n)次如下操作：每次从A，B中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这n次操作结果均相互独立．(1)若a=9，b=11，求第一次操作后，A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的概率;(2)求完成一次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和减少的概率p;(3)求重复进行n次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率．

参考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.A

7.C

8.D

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.213.4314.7−715.(1)证明：已知an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，

即有(2)解：由(1)知，bn=2n，则an=2n−1，

所以cn=

16.解：(1)已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=4，则圆心C2,1，半径r=2，

由圆的性质知，弦AB被点P0平分即为P0C⊥AB，

又P0(1,2)，则kP0C=1−22−1=−1，故kAB=1，

所以直线AB的方程为：y−2=x−1，即x−y+1=0．

(2) (i)当AB的斜率不存在时，直线为x=1，此时|AB|=23，符合题意，

(ii)当直线AB的斜率存在时，设AB: y−2=k(x−1)，变形为kx−y−k+2=0，

圆心到直线AB的距离d=|k+1|17.解：(1)证明如图，取AB的中点G，连接CG交BD于H，连接FH，C1G，

因为BG=12DC，BG//DC，所以CH=2HG，

又CF=2FC1，所以FH//C1G，

由于AG//EC1，AG=EC1，所以AE//GC1，从而有AE//HF，

又AE⊄平面BDF，FH⊂平面BDF，所以AE/​/平面BDF；

(2)设平行六面体各条棱长为6．

因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，且AD⊥DC，所以AD⊥平面CC1D1D，

由于∠C1CD=60∘，所以∠DD1E=60∘，DD1=6，D1E=3，由余弦定理DE=33，DE⊥D1E，

以D为原点，DA，DC，18.解：(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

|MN|=2b2a=3，

由c=1，a2−b2=1，解得a2=4，b2=3．

因此椭圆C的方程为x24+y23=1；

(2)证明：因为直线MN不与x轴重合，设lMN:x=my+1，

设点M(19.解：设第i次操作后A，B两个盒子里球的个数分别为ai，bi(i=1,2,⋯,n)，

(1)列举(a1,b1)所有8种可能的情形：(10,9)，(10,10)，(11,9)，(11,10)，(8,12)，(8,13)，(7,12)，(7,13)，

满足a1>b1的有3种情形，所以P(A)=38；

(2)设a0=a，b0=b，在第i(i=1,2,⋯,n)次