福建省南平市实验中学高三数学文下学期期末试卷含解析

福建省南平市实验中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A．

B．C．

D．

参考答案：D2.关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数参考答案：C【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．3.已知变量满足约束条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：A

考点：线性规划【方法点睛】线性规划问题常见的目标函数为截距型，但在学习中不能忽略一些特殊的目标函数，如距离型：，斜率型如：等.4.若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】观察已知角与所求角之间的关系得到α+=（+α）﹣（﹣），只要再求出另一个三角函数值，利用两角差的余弦公式解答．【解答】解：∵若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，∴sin（+α）=，sin（﹣）=，∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=）=；故选C．【点评】本题考查了三角函数求值中角的等价变换以及两角和与差的三角函数公式的运用，本题关键是发现α+=（+α）﹣（﹣）．5.若，则下列结论不正确的个数是（

）

①a2<b2

②ab<b2

③

④

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：A6.在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则?=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）?（+）=（）?（）=（+）?（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．7.若是纯虚数，则实数m的值为（A）

（B）0

（C）1

（D）参考答案：答案：C8.在中，角的对边分别为，若则（）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.已知，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：答案:B10.f（x）=3x+3x﹣8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.25≈3.9，31.5≈5.2．A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别求出f（1）、f（1.25）、f（1.5）、f（2），由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，能求出零点落在哪个区间．【解答】解：：因为f（1）=3+2﹣8=1＞0，f（1.25）=31.25+3×1.25﹣8≈3.9+3.75﹣8=﹣0.35＜0，f（1.5）=31.5+3×1.5﹣8≈5.2+4.5﹣8=1.7＞0，f（2）=32+3×2﹣8=7＞0，所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间（1.25，1.5）．故选：B．【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，是基础题，解题时要注意零点存在性定理的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若满足约束条件则

.参考答案：012.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是______．参考答案：604【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点．B11解析：y=x2与y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，但当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x=16无根即当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点，由f（x）+f（x+5）=16，即当x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]在x∈[0，4]函数有两个零点，在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点，在x∈（2004，2013]共有两个零点，综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604故答案为：604【思路点拨】根据y=x2与y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，f（x）=x2﹣2x=16无根，可得x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点，且x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点，进而分析出函数的周期性，分段讨论后，综合讨论结果可得答案．13.执行如图所示的程序框图，其输出结果是

参考答案：14.已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使|f（x）|≤|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“海宝”函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=sinx+cosx；③f（x）=；④f（x）=3x+1其中f（x）是“海宝”函数的序号为

．参考答案：③【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义．【分析】结合题中的新定义，取x=0时，可排除②④，对①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常数k，③中整理可得：≤k，只需求出的最大值即可．【解答】解：当x=0时，②中f（0）=1，④中f（0）=2显然不成立，故不是“海宝”函数；①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常数k，使对一切实数x均成立，故不是“海宝”函数；③中整理可得：≤k，对一切实数x均成立，∵x2+x+1≥，∴≤，∴k≥，故③正确．故答案为③【点评】考查新定义，需对新定义理解透彻，利用新定义逐一判断．15.在（2x2﹣）5的二项展开式中，x的系数为

．参考答案：﹣【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么．【解答】解：∵二项式（2x﹣）5展开式的通项公式是Tr+1=?（2x2）5﹣r?=（﹣1）r??25﹣r??x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3；∴T3+1=（﹣1）3??22??x；∴x的系数是﹣?22?=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目．16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第n次“扩展”后得到的数列为.并记，其中，，则数列{an}的通项公式an=________．参考答案：【分析】先由，结合题意得到，再设求出，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据，可得，设，即，可得，则数列是首项为，公比为的等比数列，故，所以.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.17.在△ABC中，已知,，BC边上的中线，则________．参考答案：【分析】根据图形，由中线长定理可得：，再利用余弦定理可得：解得的值，再次利用余弦定理求解出，根据同角三角函数关系解得．【详解】解：如图所示，由中线长定理可得：，由余弦定理得到：，即．联立成方程组，解得：，故由可得，．故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理的知识，方程思想是解决本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四面体ABOC中，

OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=20°，且OA=OB=OC=1．

（1）设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使

PQ⊥OA，并计算的值．

（2）求锐二面角O一AC—B的平面角的余弦值．

参考答案：略19.（本小题满分13分） 已知函数f（x）=21nx－x2－ax． （1）当a≥3时，讨论函数f（x）在上的单调性； （2）如果x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1是函数f（x）的导函数，用x1，x2表示a并证明：参考答案：【知识点】导数的应用B12（1）上函数单调递减.；（2）.由已知可得：，令得（负根舍去），故在上恒成立，所以在上函数单调递减.（2）是函数的两个零点，两式子相减可得：∴

令∴∴上单调递减，

∴

又【思路点拨】(1)求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．(2)由题意可得，代入可得l令，求导数可得单调性和求值范围，进而可得答案．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，P为椭圆上异于A1，A2的点，PA1和PA2的斜率之积为．以M（﹣3，2）为圆心，r为半径的圆与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；（3）若点A的坐标为（0，2），求△ABM的面积．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；函数思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意求出a=2，设P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由PA1和PA2的斜率之积为﹣，得到，再由P（x0，y0）在椭圆上，可得b2=4，则椭圆C的方程可求；（2）由A，B两点关于原点对称，可知O是AB的中点，结合垂径定理可知MO⊥AB，进一步得到直线MO的斜率，得到直线AB的斜率，则直线AB的方程可求，联立直线方程和椭圆方程，求出A的坐标由勾股定理得圆的半径，则圆M的方程可求；（3）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，求得B的坐标，进一步得线段AB的中点E的坐标，求得直线ME的斜率，结合题意列式求得AB的斜率，得到直线AB的方程为y=x+2，求出|AB|，由点到直线的距离公式求得点M到直线AB的距离，代入△ABM的面积公式得答案．解：（1）由题意可知2a=4，即a=2，设P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由题意可得，即12﹣，∴，又P（x0，y0）在椭圆上，故b2=4，即椭圆C的方程为；（2）∵A，B两点关于原点对称，∴O是AB的中点，由垂径定理可知MO⊥AB，又M（﹣3，2），∴直线MO的斜率为﹣，故直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y=x，联立，解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，∴圆M的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=；（3）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立，得（1+3k2）x2+12kx=0，则B（），线段AB的中点为E（），直线ME的斜率为，∵AB⊥ME，∴?k=﹣1，∴2k3﹣3k2+2k﹣1=0，即（k﹣1）（2k2﹣k+1）=0，解得k=1，∴直线AB的方程为y=x+2，又B（﹣3，﹣1），得|AB|=3，而点M到直线AB的距离为，故△ABM的面积为．点评：本题考查椭圆的简单性质，是直线与圆、圆锥曲线的综合题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，属有一定难度题目．21.（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前3项和＝9，且成等比数列.（1）求数列的通项公式和前n项和；（2）设为数列的前n项和，若对一切恒成立，求实数的最小值.参考答案：（1）设，由＝9得：①；……2分成等比数列得：②；联立①②得；……4分故………………6分（2）∵…………8分∴………………10分由得：令，可知f(