承德市高中一模数学试卷

承德市高中一模数学试卷一、选择题

1.下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是：

A.$f(x)=-2x+3$

B.$f(x)=x^2-4x+5$

C.$f(x)=\sqrt{x}$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_{10}=120$，$S_{20}=400$，则该等差数列的公差为：

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为：

A.$(-2,3)$

B.$(2,-3)$

C.$(-3,2)$

D.$(3,-2)$

4.已知$a>b>0$，则下列不等式中正确的是：

A.$\sqrt{a}>\sqrt{b}$

B.$a^2>b^2$

C.$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

D.$a+b>\sqrt{ab}$

5.下列复数中，属于纯虚数的是：

A.$2+3i$

B.$-2+4i$

C.$2-3i$

D.$-2-4i$

6.已知$log_2x+log_2(x-1)=3$，则$x$的值为：

A.2

B.3

C.4

D.6

7.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，则$\triangleABC$的面积$S$为：

A.14

B.21

C.28

D.35

8.下列函数中，在定义域内是奇函数的是：

A.$f(x)=|x|$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\frac{1}{x}$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

9.已知$log_3x-log_3(x-2)=1$，则$x$的值为：

A.3

B.4

C.5

D.6

10.下列数列中，是等比数列的是：

A.$\{2,4,8,16,\ldots\}$

B.$\{1,2,4,8,\ldots\}$

C.$\{1,3,9,27,\ldots\}$

D.$\{1,3,6,10,\ldots\}$

二、判断题

1.在直角坐标系中，若一个点同时满足$x=y$和$x=-y$，则该点位于原点。（）

2.在平面直角坐标系中，若一条直线与$x$轴和$y$轴的截距都是正数，则该直线必经过第一象限。（）

3.对于任意实数$a$和$b$，如果$a^2=b^2$，则$a=b$。（）

4.在等差数列中，如果公差是正数，则该数列一定是递增的。（）

5.在等比数列中，如果公比是正数，则该数列的每一项都大于0。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的图像与$x$轴的交点个数为______。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的表达式为______。

3.在直角坐标系中，点$P(3,-2)$到直线$2x-3y+6=0$的距离为______。

4.函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的定义域为______。

5.已知$log_2x+log_2(x-1)=3$，则$x$的值为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的判别式$\Delta=b^2-4ac$的意义，并说明当$\Delta>0$、$\Delta=0$和$\Delta<0$时，方程的根的性质。

2.解释函数$f(x)=\frac{1}{x}$的反函数$f^{-1}(x)$的求法，并给出$f^{-1}(x)$的表达式。

3.描述如何利用向量的数量积（点积）来判断两个向量的夹角关系，并给出相应的数学表达式。

4.简述在直角坐标系中，如何求一个点到直线的距离，并给出计算公式。

5.说明等差数列和等比数列的前$n$项和的公式，并解释公比$q$为$1$时等比数列前$n$项和的特殊情况。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x-5$在$x=2$处的导数值。

2.解一元二次方程$x^2-5x+6=0$，并写出其解的表达式。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-n$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

4.设向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec{b}=(4,-1)$，计算向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的数量积。

5.求函数$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$的导数$f'(x)$，并找出函数的极值点。

六、案例分析题

1.案例分析：某学校计划在校园内建设一个长方形花坛，其长比宽多$2$米。已知花坛的周长为$60$米，求花坛的长和宽。

解答思路：

（1）设花坛的宽为$x$米，则花坛的长为$x+2$米。

（2）根据周长公式，列出方程$2(x+x+2)=60$。

（3）解方程求出$x$的值，再计算花坛的长和宽。

2.案例分析：某商品的原价为$200$元，商家决定进行打折促销，折扣率为$20\%$。同时，商家还提供满$100$元减$10$元的优惠活动。请问消费者购买该商品的实际支付金额是多少？

解答思路：

（1）计算打折后的价格，即原价的$80\%$，得到$200\times0.8=160$元。

（2）判断打折后的价格是否满足满$100$元减$10$元的条件，由于$160>100$，满足条件。

（3）计算实际支付金额，即打折后的价格减去优惠金额，得到$160-10=150$元。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，如果每天生产$x$件，则$5$天可以完成。如果每天生产$x+10$件，则$4$天可以完成。求该工厂每天生产多少件产品。

解答思路：

（1）根据题意，可以列出方程$5x=4(x+10)$。

（2）解方程得到$x$的值，即每天生产的产品数量。

2.应用题：一个长方形的长是宽的$3$倍，长方形的周长是$48$厘米。求长方形的长和宽。

解答思路：

（1）设长方形的宽为$x$厘米，则长为$3x$厘米。

（2）根据周长公式，列出方程$2(3x+x)=48$。

（3）解方程求出$x$的值，再计算长和宽。

3.应用题：某班级有$40$名学生，其中有$20$名女生。如果从班级中随机选出$5$名学生参加比赛，求选出至少有$2$名女生的概率。

解答思路：

（1）计算总共有多少种选法，即从$40$名学生中选$5$名，使用组合公式$C_{40}^5$。

（2）计算没有女生的情况，即从$20$名男生中选$5$名，使用组合公式$C_{20}^5$。

（3）计算至少有$2$名女生的情况，即总选法减去没有女生的情况。

（4）使用概率公式计算概率。

4.应用题：某城市计划在市中心修建一座广场，广场的形状为正方形，边长为$100$米。为了美化环境，计划在广场四周种植树木，每棵树间隔$5$米。请问需要种植多少棵树？

解答思路：

（1）计算广场的周长，即$4\times100=400$米。

（2）计算树木的间隔数，即周长除以树之间的间隔，得到$400\div5=80$。

（3）由于四个角落各有一棵树，所以实际需要种植的树木数为间隔数减去$4$。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.C

3.C

4.D

5.D

6.B

7.C

8.C

9.C

10.A

二、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.3

2.$a_n=a_1+(n-1)d$

3.$\frac{3}{2}$

4.$\mathbb{R}-\{0\}$

5.$4$

四、简答题

1.判别式$\Delta=b^2-4ac$可以判断一元二次方程的根的性质：

-当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根。

-当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。

-当$\Delta<0$时，方程没有实数根。

2.函数$f(x)=\frac{1}{x}$的反函数$f^{-1}(x)$可以通过交换$x$和$y$的位置并解出$y$来求得，即$y=\frac{1}{x}$，因此$f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$。

3.向量的数量积（点积）可以用以下公式来计算两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角$\theta$：

-$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

-如果$\vec{a}\cdot\vec{b}>0$，则$\theta$在$0$到$\frac{\pi}{2}$之间，向量同向；

-如果$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\theta=\frac{\pi}{2}$，向量垂直；

-如果$\vec{a}\cdot\vec{b}<0$，则$\theta$在$\frac{\pi}{2}$到$\pi$之间，向量反向。

4.点$P(x_0,y_0)$到直线$Ax+By+C=0$的距离可以用以下公式计算：

-$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

5.等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，等比数列的前$n$项和公式为$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$，其中$q\neq1$。当$q=1$时，等比数列的前$n$项和为$S_n=na_1$。

五、计算题

1.$f'(x)=6x^2-18x+12$，在$x=2$处的导数值为$6\times2^2-18\times2+12=24-36+12=0$。

2.方程$x^2-5x+6=0$可以分解为$(x-2)(x-3)=0$，因此$x=2$或$x=3$。

3.由$S_n=3n^2-n$，得$a_1=S_1=3-1=2$，公差$d=\frac{S_2-S_1}{2-1}=\frac{12-2}{1}=10$。

4.向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=(2,3)\cdot(4,-1)=2\times4+3\times(-1)=8-3=5$。

5.$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。检查$x=0$和$x=2$时函数的值，发现$x=2$是极值点。

题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基础概念的理解和判断能力。

示例：判断函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的图像是否经过点$(1,-3)$。

-判断题：考