2025年统编版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年统编版高一数学上册阶段测试试卷795考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x，使得f（x）≥f（x），g（x）≥g（x）且f（x）=g（x），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）

A.

B.2

C.4

D.

2、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A.3B.－3C.2D.73、【题文】设是两条直线，是两个平面，下列能推出的是()A.B.C.D.4、【题文】函数的图像大致是（）

5、函数f（x）=sinx+cosx图象的一条对称轴方程是（）A.x=B.x=0C.x=﹣D.x=-6、已知集合A={﹣1，1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B（）A.{3，4}B.{﹣2，3}C.{﹣2，4}D.{﹣1，1，2}7、已知偶函数在区间上是增函数，且满足下列判断中错误的是（）A.B.函数在上单调递减C.函数的图像关于直线对称D.函数的周期是8、设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）9、不论m

为何值，直线(m鈭�2)x鈭�y+3m+2=0

恒过定点(

)

A.(3,8)

B.(8,3)

C.(鈭�3,8)

D.(鈭�8,3)

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、（2013•越秀区校级自主招生）已知正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为____个．11、已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，，xm满足0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|++|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为____12、设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q等于____．13、若则sinα+cosα=______．14、若2a=5b=10

则1a+1b=

______．15、关于x

的方程娄脨x=a+12鈭�a

只有正实数解，则a

的取值范围是______．评卷人得分三、解答题(共5题，共10分)16、求函数f（x）=lg（9-x2）的定义域；值域并指出其单调递增区间（不必证明）．

17、把函数f（x）的图象按=（--2）平移后得到函数y=cosx的图象．

（I）求函数f（x）的解析式；

（II）作函数的图象（一个周期）．

18、设an为等差数列，bn为等比数列，且a1=0，若cn=an+bn，且c1=1，c2=1，c3=2．

（1）求an的公差d和bn的公比q；（2）求数列cn的前10项和．

19、我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C；则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．

（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[﹣1，3]是否为“和谐函数”？答：____．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：____．（4分）

（2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，是其“和谐数”；

（3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．20、已知：β∈（0，），α∈（）且cos（﹣α）=sin（+β）=求：cosα，cos（α+β）评卷人得分四、计算题(共3题，共21分)21、解不等式组，求x的整数解．22、（2011•苍南县校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示；则下列式子：

ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有____个．23、已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．评卷人得分五、证明题(共1题，共5分)24、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)25、如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O2于点D；且OB：OD=1：3．

（1）求⊙O2半径的长；

（2）求线段AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=的值，若不存在，说明理由．26、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．27、如图；在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】

根据题意，

∵

∴函数g（x）在上单调减；在（1，2]上单调增。

∵x=时，g（）=x=2时，g（2）=

∴函数g（x）在上的最大值为

∴函数f（x）在区间上的最大值为

故选A．

【解析】【答案】先求函数g（x）在上单调减，在（1，2]上单调增，从而可得函数的最大值，进而可得函数f（x）在区间上的最大值．

2、C【分析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)=2+0=2，选C【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】

试题分析：∵∥且∴又∵∴选项C正确.

考点：线线垂直的判定.【解析】【答案】C4、B【分析】【解析】函数是偶函数，故它的图象关于直线对称；

的图象是的图象向右平移一个单位得到；

故的图象关于直线对称。

当时，在上单调递增；

结合选项可知，B正确。【解析】【答案】B5、A【分析】【解答】函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）．

令x+=kπ+k∈z，可得x=kπ+k∈z．

故选A．

【分析】化简函数f（x）的解析式为sin（x+），令x+=kπ+k∈z，可得x=kπ+k∈z就是函数的对称轴，由此。

得出结论。6、D【分析】【解答】解：∵A={﹣1；1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，1，2}；

故选：D．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．7、C【分析】【解答】对于A；令x=0代入题中等式，得f（1-0)+f（1+0)=0，∴f（1)=0，结合函数为偶函数得f（-1)=f（1)=0，再令x=2代入题中等式，得f（1-2)+f（1+2)=0，得f（3)=-f（-1)=0，结合函数为偶函数得f（-3)=f（3)=0，最后令x=4，f（1-4)+f（1+4)=0，得f（5)=-f（-3)=0，故A项正确；对于B，因为偶函数y=f（x)图象关于y轴对称，在区间[-1，0]上是增函数，所以y=f（x)在区间[0，1]上是减函数，设F（x)=f（1+x)，得F（-x)=f（1-x)，因为f（1-x)+f（1+x)=0，得f（1+x)=-f（1-x)，所以F（x)=f（1+x)是奇函数，图象关于原点对称．由此可得y=f（x)图象关于点（1，0)对称．∵区间[1，2]和区间[0，1]是关于点（1，0)对称的区间，且在对称的区间上函数的单调性一致，∴函数f（x)在[1，2]上单调递减，故B项正确；对于C，由B项的证明可知，y=f（x)图象关于点（1，0)对称，若f（x)的图象同时关于直线x=1对称，则f（x)=0恒成立，这样与“在区间[-1，0]上f（x)是增函数”矛盾，故C不正确；对于D，因为f（x)=f（1-（1-x))=-f（1+（1+x))=-f（x+2)，所以f（x+2)=-f（x+4)，可得f（x+4)=f（x)，函数f（x)的周期是T=4，D项正确，故选C

【分析】给出抽象函数，要我们在给出的几条性质中找出错误的一项，着重考查了抽象函数的性质和函数单调性、奇偶性等知识，属于中档题8、A【分析】解：令f（x）=x3-

∵f′（x）=3x2-ln=3x2+ln2＞0；

∴f（x）=x3-在R上单调递增；

又f（1）=1-=＞0；

f（0）=0-1=-1＜0；

∴f（x）=x3-的零点在（0；1）；

∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0）；

∴x0所在的区间是（0；1）．

故答案为：A．

构造函数f（x）=x3-利用零点存在定理判断即可．

本题考查零点存在定理，属于中档题．【解析】【答案】A9、C【分析】解：直线(m鈭�2)x鈭�y+3m+2=0

可为变为m(x+3)+(鈭�2x鈭�y+2)=0

令{鈭�2x鈭�y+2=0x+3=0

解得：{y=8x=鈭�3

故不论m

为何值；直线(m鈭�2)x鈭�y+3m+2=0

恒过定点(鈭�3,8)

故选；C

．

将直线的方程(m鈭�2)x鈭�y+3m+2=0

是过某两直线交点的直线系；故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．

正确理解直线系的性质是解题的关键．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】【分析】怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏，按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有4个．【解析】【解答】解：C点所有的情况如图所示：

即有6个点；

故答案为：6．11、8【分析】【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2；

要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1；2，3，，m）取得最高点；

考虑0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|++|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12；

按下图取值即可满足条件；

∴m的最小值为8．

故答案为：8．

【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．12、【分析】【解答】解：∵S1，2S2，3S3成等差数列；

∴所以4S2=S1+3S3；

∴4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2）；

解得q=

故答案为．

【分析】由S1，2S2，3S3成等差数列，可得4S2=S1+3S3，故有4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解方程求出公比的值．13、略

【分析】解：若则sinα+cosα=+=+

=+=+=

故答案为：．

由条件利用同角三角函数的基本关系；二倍角的三角公式，求得所给式子的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的三角公式的应用，属于基础题．【解析】14、略

【分析】解：因为2a=5b=10

故a=log210b=log510

1a+1b=log102+log105=log1010=1

故答案为1

．

首先分析题目已知2a=5b=10

求1a+1b

的值，故考虑到把a

和b

用对数的形式表达出来代入1a+1b

再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．

此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．【解析】1

15、略

【分析】解：隆脽

方程娄脨x=a+12鈭�a

只有正实数解；

隆脿a+12鈭�a>1

即a+12鈭�a鈭�1>0

整理得：2a鈭�1a鈭�2<0

．

解得：12<a<2

．

隆脿a

的取值范围为(12,2)

．

故答案为：(12,2)

．

把方程娄脨x=a+12鈭�a

只有正实数解转化为a+12鈭�a>1

然后求解分式不等式得答案．

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查指数函数的性质，是基础题．【解析】(12,2)

三、解答题(共5题，共10分)16、略

【分析】

∵9-x2＞0

∴-3＜x＜3

∴f（x）的定义域是（-3；3）

又∵0＜9-x2≤9

∴lg（9-x2）≤2lg3

∴f（x）的值域是（-∞；2lg3]

f（x）单调递增区间是（-3；0]（或（-3，0））

【解析】【答案】根据函数解析式的特征可知满足9-x2＞0的x的取值所构成的集合即为此函数的定义域，将9-x2看成一个整体求出其范围再根据y=lgx的单调性即可求出f（x）的值域；根据复合函数的单调性的判断法则再结合定义域即可求出其递增区间．

17、略

【分析】

由平移公式得：

代入y=cosx得：

即函数（3分）（5分）

。xπg（x）-11

【解析】【答案】（I）通过向量的平移只是确定f（x）的函数解析式．

（II）根据f（x）的解析式化简g（x）；在用五点作图法画出函数图象．

（本小题满分8分）

18、略

【分析】

（1）∵c1=1，a1=0，c1=a1+b1，∴b1=1（1′）

由c2=1，c3=2得（4′）

解得：或（舍）（6′）

∴an的公差为2，bn的公比为-1．（8′）

（2）S10=c1+c2+c3++c10═（a1+a2++a10）+（b1+b2++b10）（10′）

==978（14′）

【解析】【答案】（1）由题义及等差数列和等比数列定义；利用方程的思想建立公比q和公差d的方程，联立求解即可。

（2）由题义及数列的前n项和公式的定义；利用等差数列及等比数列的前n项和即可。

19、解：（1）∵对任意x1∈[﹣1，3]，令{#mathml#}fx1+fx22

{#/mathml#}=2，得x2=2﹣x1，∴x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得{#mathml#}fx1+fx22

{#/mathml#}=2，

故正确答案为是；2

（2）证明：①对任意x1∈[10，100]，令{#mathml#}g(x1)+g(x2)2=32

{#/mathml#}，即{#mathml#}lgx1+lgx22=32

{#/mathml#}，

得{#mathml#}x2=1000x1

{#/mathml#}．∵x1∈[10，100]，∴{#mathml#}x2=1000x1

{#/mathml#}∈[10,100]．

即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的{#mathml#}x2=1000x1

{#/mathml#}∈[10,100]，使得{#mathml#}g(x)+gx22=32

{#/mathml#}．

∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为{#mathml#}32

{#/mathml#}．

参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；

②对任意x1∈（1，3），令{#mathml#}hx1+hx22=5

{#/mathml#}，即{#mathml#}2x1+2x22=5

{#/mathml#}，得{#mathml#}2x2=10-2x1

{#/mathml#}，{#mathml#}x2=log210-2x1

{#/mathml#}．∵x1∈（1，3），∴{#mathml#}10-2x1

{#/mathml#}∈（2,8），{#mathml#}x2=log210-2x1

{#/mathml#}∈（1,3）．

即对任意x1∈（1，3），存在唯一的{#mathml#}x2=log210-2x1

{#/mathml#}∈（1,3），使得{#mathml#}hx1+hx22=5

{#/mathml#}．

∴h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”

（3）解：函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：

对任意的常数C，①若C≤0，则对于x1=1，显然不存在x2∈R，使得{#mathml#}x12+x222

{#/mathml#}={#mathml#}1+x222

{#/mathml#}=C成立，

所以C（C≤0）不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数；

②若C＞0，则对于{#mathml#}x1=4C

{#/mathml#}，由{#mathml#}x12+x222

{#/mathml#}={#mathml#}4C+x222

{#/mathml#}得，x22=﹣2C＜0，

即不存在x2∈R，使{#mathml#}x12+x222

{#/mathml#}=C成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数．

综上所述，函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”．【分析】【分析】（1）根据题目対“和谐函数”的定义，对任意x1∈[﹣1，3]，令=2，得x2=2﹣x1，而x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2；即可得正确结果。

（2）参照上述证明过程，对任意x1∈（1，3），令得∈（1,3）∈（1，3），即可证明函数h（x）=2x；x∈（1，3）为“和谐函数”

（3）分c＜0和c≥0两种情况讨论，对任意的x1∈R，不存在唯一的x2∈R，使=C成立，所以函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”20、解：∵{#mathml#}π4

{#/mathml#}＜α＜{#mathml#}3π4

{#/mathml#}，∴﹣{#mathml#}π2

{#/mathml#}＜{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α＜0．∵cos（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）={#mathml#}45

{#/mathml#}，∴sin（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）=﹣{#mathml#}35

{#/mathml#}，

∴cosα=cos[{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）]

=cos{#mathml#}π4

{#/mathml#}•cos（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）+cos{#mathml#}π4

{#/mathml#}•sin（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）

={#mathml#}22

{#/mathml#}•{#mathml#}45

{#/mathml#}+{#mathml#}22

{#/mathml#}•（﹣{#mathml#}35

{#/mathml#}）

={#mathml#}210

{#/mathml#}．

又∵0＜β＜{#mathml#}π4

{#/mathml#}，∴{#mathml#}3π4

{#/mathml#}＜{#mathml#}3π4

{#/mathml#}+β＜π．

∵sin（{#mathml#}3π4

{#/mathml#}+β）={#mathml#}513

{#/mathml#}，∴cos（{#mathml#}3π4

{#/mathml#}+β）={#mathml#}−1213

{#/mathml#}Z，

∴cos（α+β）=sin[{#mathml#}π2

{#/mathml#}+（α+β）]=sin[（{#mathml#}3π4

{#/mathml#}+β）﹣（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）]

=sin（{#mathml#}3π4

{#/mathml#}+β）•cos（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）﹣cos（{#mathml#}3π4

{#/mathml#}+β）•sin（{#mathml#}π4

{#/mathml#}﹣α）

={#mathml#}513

{#/mathml#}•{#mathml#}45

{#/mathml#}﹣（﹣{#mathml#}1213

{#/mathml#}）•（﹣{#mathml#}35

{#/mathml#}）

=﹣{#mathml#}1665

{#/mathml#}．【分析】【分析】根据两角和与差的正弦余弦函数同角三角函数间的基本关系即可求出．四、计算题(共3题，共21分)21、略

【分析】【分析】解第一个不等式得，x＜1；解第二个不等式得，x＞-7，然后根据“大于小的小于大的取中间”即可得到不等式组的解集．【解析】【解答】解：解第一个不等式得；x＜1；

解第二个不等式得；x＞-7；

∴-7＜x＜1；

∴x的整数解为：-6，-5，-4，-3，-2，-1，0．22、略

【分析】【分析】由函数图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，令y=0，方程有两正实根，根据以上信息，判断六个代数式的正负．【解析】【解答】解：从函数图象上可以看到，a＜0，b＞0；c＜0，令y=0，方程有两正实根；

则①ab＜0；

②ac＞0；

③当x=1时，a+b+c＞0；

④当x=-1时，a-b+c＜0；

⑤对称轴x=-=1，2a+b=0；

⑥对称轴x=-=1，b＞0，2a-b＜0．

故答案为2．23、解：∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8

g'（x）=﹣4x3+4x

当g'（x）＞0时，﹣1＜x＜0或x＞1

当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1

故函数g（x）的增区间为：（﹣1；0）和（1，+∞）

减区间为：（﹣∞；﹣1）和（0，1）

【分析】【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．五、证明题(共1题，共5分)24、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．六、综合题(共3题，共12分)25、略

【分析】【分析】（1）连接BO1，DO2，O2A作O1N⊥O2A于N，连接OA，根据切线长定理求出AB的长，设O1B为r，根据勾股定理得到方程（4r）2-（2r）2=42；求出方程的解即可；

（2）求出∠CMO=∠NO1O2=30°，求出OM，设AB的解析式是y=kx+b；把C；M的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；

（3）①∠MO2P=30°，过B作BQ⊥OM于Q，求出MQ，BQ，过P'作P'W⊥X轴于W，根据相似三角形的性质求出PW即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可；②∠MO2P=120°，过P作PZ⊥X轴于Z，根据含30度角的直角三角形性质求出PZ，即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可．【解析】【解答】解：（1）连接BO1，O2A作O1N⊥O2A于N，连接OA，

∵直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A；交y轴于点C（0，2）；

∴CA=CB；CA=CO（切线长定理）；

∴CA=CB=CO；

∴AB=2OC=4；

设O1B为r，由O1O22-O2N2=O1N2得（4r）2-（2r）