第三章-一元函数的导数及其应用(测试)(解析版)

第三章一元函数的导数及其应用（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解析】由题意知,所以，解得，则，故．故选：B2．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（

）．A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由题意可知，若1不是函数的极值点，则，即，当时，，故当，当，因此是的极值点，1不是极值点，故满足题意，故选：D3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称【答案】D【解析】由，可知函数的图象关于直线对称；对求导，得，则函数的图象关于点对称，所以ABC错误，D正确.故选：D．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设切点坐标为，因为，所以，所以切线的斜率，解得，又，即，所以.故选：A.5．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知,因为函数存在减区间,则有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在单调递减,单调递增,所以,因为有解,所以,解得.故选:D.6．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，所以当时，，则，于是，即；当时，，则，所以，而，于是，即；综上：.故选：C7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（

）A．0.50 B． C． D．0.56【答案】B【解析】由三角恒等变换的公式，化简得，又由，可得，所以.故选：B.8．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，其中，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，又因为，故函数为奇函数，由可得，所以，，所以，，令，因为，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】的定义域为，，即直线的斜率，设与垂直的直线的斜率为，则，所以，．故选：AB．10．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】令，即，则为奇函数，当时，，则在区间上单调递增，故在区间上单调递增，则在R上单调递增，∵，即，∴，解得，故A、B正确，C、D错误.故选：AB．11．（2023·湖南永州·统考一模）对于函数，则（

）A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．函数与的图象有两个交点D．函数有两个零点【答案】AD【解析】，则，因为在恒成立.所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.故选：AD.12．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【解析】若恒成立，则恒成立，构建，则，∵，故，则有：当，即时，则当时恒成立，故在上单调递增，则，即符合题意，故满足条件的正整数为1或2；当，即时，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，则，构建，则当时恒成立，故在上单调递减，则，∵，故满足的整数；综上所述：符合条件的整数为1或2或3，A、B、C正确，D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·四川成都·成都七中校考一模）函数的图象在处的切线方程为________．【答案】【解析】因为，则，，则，所以切线方程为，整理得.故答案为：14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数______.①定义城为，②导函数；③值域为【答案】（答案不唯一）【解析】取，因为，解得，所以的定义城为，符合①；，符合②；因为，所以的值域为，符合③.故答案为：（答案不唯一）15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，若恰有两个极值点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】∵，为连续函数，为单调函数，所以在上无极值点；又在上至多有一个极值点，则的对称轴为，要使恰有两个极值点，∴和是必为的两个极值点，∴，解得：，所以是的极大值点，又在上单调递减，要使为的极值点，则在上单调递增，∴；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.16．（2023·河北·校联考三模）已知分别是函数图象上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】因为反解得，所以与互为反函数，关于对称，所以的最小值为点到直线的距离的最小值的2倍，当曲线在点处的切线与平行时，点到直线的距离有最小值，，令，解得，所以，则点到直线的距离,所以的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数，(1)求、的值；(2)求在上的最值．【解析】（1）因为，所以，取，则有，即；所以，取，则有，即．故，．（2）由（1）知，，则，所以、与，的关系如下表：0120单调递增极大值单调递减故，．18．（12分）（2023·北京西城·统考一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，证明：在上单调递增；(3)判断与的大小关系，并加以证明．【解析】（1）,所以，．

所以曲线在点处的切线方程为．（2）由题设，．所以．

当时，因为，所以．

所以在上单调递增．（3）．证明如下：

设．

则．

由（2）知在上单调递增，所以．

所以，即在上单调递增．

所以，即．19．（12分）（2023·全国·高三专题练习）为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【解析】（1）由题意，当时，；当时，.所以.（2）当时，，令，解得.易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.当时，，当且仅当，即时取等号.综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.20．（12分）（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；(2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.【解析】（1）依题设方程，即方程的两根分别为a、b∴∴因为，且，则，∴，∴当且时，，∴在区间，上单调递增.（2）由，得，∴，∴，时或，当x在上变化时，，的变化情况如下：00++0极小值极大值∴的大致图象如图,∴方程有两个不等根时，转化为直线与函数的图象有两交点，则.

21．（12分）（2023·广西南宁·统考一模），(1)讨论的单调性；(2)当时，证明；(3)证明对于任意正整数，都有.【解析】（1）的定义域为，①若，当时，，所以在上单调递增；②若，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即证.（3）由（2）知当且时，，对于任意正整数，令得，所以.即证：.22．（12分）（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数和函数，且有最大值为．(1)求实数a的值；(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横