高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示法课件新人教A版必修

1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示法目标导航课标要求1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.素养达成通过本节内容的学习,使学生学会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,提高学生的数学抽象和运算分析能力.新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】导入一

(1)如图是我国人口出生率变化曲线.(2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表.污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01想一想图表中表示的两者的关系都是函数关系吗?分别是什么表示方法?(是,分别是图象法、列表法)导入二语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为:生日快樂!英文为:HappyBirthday!,……,那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?答案:常用的有解析法、图象法和列表法.知识探究1.函数的表示方法解析法,就是用

表示两个变量之间的对应关系.图象法,就是用

表示两个变量之间的对应关系.列表法,就是

来表示两个变量之间的对应关系.2.函数的图象函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散点等等.数学表达式图象列出表格【拓展延伸】图象的作法(1)描点法.作图步骤是:列表、描点、连线.(2)图象变换法.(ⅰ)平移变换.①形如y=f(x+a),把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位,就得到y=f(x+a)的图象.②形如y=f(x)+a,把函数y=f(x)的图象沿y轴向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位,就得到y=f(x)+a的图象.(ⅱ)对称翻转变换.①形如y=f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称.②形如y=-f(x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称.③形如y=-f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.④形如y=f(|x|),其图象是关于y轴对称的,在y轴的右侧,它的图象与函数y=f(x)位于y轴右侧的图象重合,然后将y轴右侧的图象沿y轴翻折到左侧,就得到y=f(|x|)的图象.⑤形如y=|f(x)|,将函数y=f(x)的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的部分不变,从而得到函数y=|f(x)|的图象.(3)利用函数的性质画图.先对函数y=f(x)的性质进行分析,然后画图,常用的函数的性质有定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等(奇偶性、单调性下节学习).自我检测1.(解析法)已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是(

)(A)f(x)=3x-1 (B)f(x)=3x+1(C)f(x)=3x+2 (D)f(x)=3x+4AD3.(图象法)下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是(

)C4.(列表法)已知函数f(x)的对应关系如表所示,则f(f(0))=

.

x10-1f(x)212答案:25.(图象法)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为

,值域为

.

解析:由f(x)的图象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.答案:[-5,5]

[-2,3]题型一函数图象的作法及应用【例1】作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y=(-1)xx,x∈{0,1,2,3};课堂探究·素养提升解:(1)列表x0123y0-12-3函数图象只是四个点:(0,0),(1,-1),(2,2),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.解:(2)列表(2)y=,x∈[2,+∞);解:(3)列表(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].x-2-1012y0-1038画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[-1,8].变式探究:(1)本题中若将(2)中函数y=中的x∈[2,+∞)改为x∈(0,+∞),求函数的值域;(2)本题中若将(3)中x∈[-2,2]改为x∈R,则函数值域是什么?解:(1)当x∈(0,+∞)时,y=∈(0,+∞),故函数值域为(0,+∞).(2)当x∈R时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1.故函数值域为[-1,+∞).误区警示

作函数图象应注意:(1)在定义域内作图,即树立定义域优先的意识;(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.即时训练1-1:作出下列各函数的图象.(1)y=1-x,x∈Z;解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上,又x∈Z,从而y∈Z,因此y=1-x(x∈Z)的图象是直线y=1-x上一些孤立的点,如图所示.(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;解:(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段,如图所示.(3)y=|x-1|.解:(3)所给函数去掉绝对值符号得y=是端点为(1,0)的两条射线,如图所示.【备用例1】如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f[f(3)]的值等于

.

解析:由图象可知f(3)=1,所以f[f(3)]=f(1)=2.答案:2题型二函数解析式的求法【例2】

求函数的解析式.(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);(3)已知2f(

)+f(x)=x(x≠0),求f(x).方法技巧函数解析式的求法求函数解析式,关键是对基本方法的掌握,常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等.(1)配凑法:将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式,并整体将g(x)用x代换,即可求出函数f(x)的解析式.如由f(x+1)=(x+1)2可得f(x)=x2.(2)换元法:将函数f(g(x))中的g(x)用t表示,则可求得x关于t的表达式,并将最终结果中的t用x代换,即可求得函数f(x)的解析式.(3)待定系数法:将已知类型的函数以确定的形式表达,并利用已知条件求出其中的参数,从而得到函数的解析式.一次函数解析式为y=ax+b(a≠0).二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).(4)解方程(组)法:采用解方程或方程组的方法,消去不需要的函数式子,得到f(x)的表达式,这种方法也称为消去法.(5)赋值法:利用恒等式将特殊值代入,求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强,必须针对不同的类型选取不同的特殊值.即时训练2-1:(1)已知f()=3-x,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).【备用例2】(1)若2f(x)-f(-x)=3x3,求函数f(x)的解析式;(2)设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,求f(x).解:(2)法一因为对任意的实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,所以令x=y,则有f(0)=f(x)-x(2x-x+1).因为f(0)=1,所以f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.法二因为对任意的实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,所以令x=0,则有f(0-y)=f(0)-y(2×0-y+1).因为f(0)=1,所以f(-y)=1-y(-y+1).又令-y=x,代入上式有f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),所以f(x)=x2+x+1.题型三函数表示法的应用【例3】

如图所示,从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数,并求出其定义域.误区警示

利用函数解决实际问题时函数的定义域不仅要考虑使函数解析式有意义,还要考虑使实际问题有意义.2018年4月1日,王兵买了一辆手动挡的家庭轿车,该种汽车燃料消耗量标识是:市区工况:10.40L/100km;市郊工况:6.60L/100km;综合工况:8.00L/100km.王兵估计:他的汽车一年的行驶里程约为10000km,汽油价格按平均价格7.50元/L来计算,当年行驶里程为xkm时燃油费为y元.(1)判断y是否是关于x的函数,如果是,求出函数的定义域和解析式;解:(1)y是关于x的函数.函数的定义域是[0,10000],函数解析式为y=8××7.50=0.60x.即时训练3-