2024届山东省乳山市某中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2024届山东省乳山市第一中学高三第二次诊断性检测数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设厂为抛物线工=4丁的焦点，A,B,C为抛物线上三点，若+=贝IIE4I+依l+|EC|=（）.

3

A.9B.6C.-D.—

816

2

2.设6分别是双线的左、右焦点，。为坐标原点，以耳居为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a"

线分别交于A3两点（位于y轴右侧），且四边形04死3为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x±v=0B.V3x±y=0C.x土道y=0D.3x±y=0

22

3.已知双曲线■-4=lS>a>0）的焦距为2c,若M的渐近线上存在点7,使得经过点T所作的圆

a~b~

U-c）2+y2=cr的两条切线互相垂直,则双曲线M的离心率的取值范围是（）

A.(1,V2]B.(0,6]C.(五，石]D.(省,6

4.若复数z满足iz—2=i,则⑸=()

A.y/2B.C.2D.加

5.过抛物线V=4x的焦点/的直线交该抛物线于A,8两点，。为坐标原点.若|4尸|=3,则直线A8的斜率为（）

A.±72B.-V2C.2五D・±272

6.将函数/（x）=底in2x-cos2x向左平移季个单位，得到g（x）的图象，则g（x）满足（）

（乃、（乃、

A.图象关于点—,0对称，在区间0,二上为增函数

B.函数最大值为2,图象关于点g,0对称

IJJ

C.图象关于直线x=5对称，在二，g上的最小值为1

6123

D.最小正周期为江，g(x)=l在0,(有两个根

7.下图为一个正四面体的侧面展开图，G为B尸的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为

()

8.若函数/*)=加+3/+/?在工=1处取得极值2,则。一〃=()

A.-3B.3C.-2D.2

9.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形A8CO,将平行四边形A8CO沿对角线8。折起，使平面

48。_1_平面8。。，则直线AC与3。所成角余弦值为()

D.

3

20B.一也

II

亍3一3

11.己知数列｛q｝为等差数列，S“为其前〃项和，4+%=4+4。，贝"2i=()

A.7B.14C.28D.84

12.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率4

组距1

0.161----------

o

o•10

0•8

o04

O•

0•02

17.52022.52527.5自习时间/小时

A.56B.60C.140D.120

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知直线不一），+4=0与圆心为。的圆f+）,2+2上一4），-4=0相交于48两点，且AC_L8C,则实数。的值

为.

14.已知角二十二的终边过点尸（一1,一2五），贝ijsina_.

6

15.正方形ABC。的边长为2,圆。内切于正方形ABC。，MN为圆。的一条动直径，点P为正方形ABCO边界上

任一点，则QV7.尸N的取值范围是.

16.已知复数zi=l-2i,Z2=a+2i（其中i是虚数单位，a£R）,若z产Z2是纯虚数，则。的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在①她="，②2=%,③55-S3=48这三个条件中任选一个，补充在下面问题中,若问题中的正整

数人存在，求〃的值；若不存在，说明理由.

设正数等比数列出｝的前〃项和为S“，｛q｝是等差数列，,4=。4,4=2,〃3+%+%=30,是否存

在正整数也｝,使得S*]=耳+4+32成立?

18.（12分）设点厂（1,0）,动圆尸经过点尸且和直线x=—l相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.

（1）求曲线W的方程；

（2）过点“（0,2）的直线/与曲线卬交于A、3两点，且直线/与/轴交于点C,设MA=aA。，MB=BBC,

求证：。十夕为定值.

19.（12分）已知函数人X）=8.2.AX（其中e为自然对数的底，A为常数）有一个极大值点和一个极小值点.

（1）求实数A的取值范围；

（2）证明：/U）的极大值不小于1.

八1

x=2/n-\-----

6m

20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以坐标点。为极点，工轴

、1

y=2m------

6m

的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为〃（。+?）=1.

（1）求直线，的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）已知点M（2,0）,若直线，与曲线C相交于尸、。两点，求总j+日岛的值.

21.（12分）在平面四边形AC8D（图①）中，AA3C与A/WQ均为直角三角形且有公共斜边A8,设A3=2,

NB4O=30。，N84C=45。，将A4BC沿A8折起，构成如图②所示的三棱锥C'一/W。，且使C7?=JL

（1）求证：平面C'A8_L平面D48；

（2）求二面角A—CO—5的余弦值.

22.（10分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保

护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理

科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4

人参加学校的环保知识竞赛.

（1）设事件A为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A发

生的概率；

（2）用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

_一_,3.一__.

设A0/）,6（%,必），。（七，%），由必+b8+£。=0可得玉+占+占=3,利用定义将|/»1+/必|+1"。|用

16

王，马，工3表示即可.

【详解】

设4$方），8（%,%），。（如必），由E4+FB+FC=0及F（4,0），

lo

得（内-J，X）+（占一］，%）+（占一4，%）=（°，°），故%+9+%3=2，

16Jo1616

所以|E4|+M|+|FC|=M+4+9+4+M+J="

lololoo

故选：c.

【点睛】

本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.

2、B

【解析】

由于四边形。4与3为菱形，且|。鸟|=（训，所以A4O6为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形04八8为菱形，|。图二|。4|=|。4，所以AAO外为等边三角形，NAO用=60,两渐近线的斜

率分别为退和-g.

故选：B

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

3、B

【解析】

由ja可得《>&；由过点了所作的圆的两条切线互相垂直可得|7F|=叵a，又焦点F（c,O）到双曲线渐近线的距离

为h，则|7万|=亿2。,进而求解.

【详解】

•.•〃＞。,所以离心率6=£=>72,

a

又圆（x-c）2+V=/是以尸（c,o）为圆心，半径r=a的圆.要使得经过点丁所作的圆的两条切线互相垂直，必有

\TF\=＞/2a9

而焦点F（c,0）到双曲线渐近线的距离为乩所以|丁川=JL?＞人,即1S五，

所以e=£=11+（斗W,所以双曲线/的离心率的取值范围是（五,6].

故选:B

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.

4、D

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.

【详解】

解：由题意知，iz=2+i,

2+j（2+z）z-1+2，,〜

••-2=—=—T^=^—=1-2^

22

/.|z|=|l-2i|=Jl+（-2）=^5f

故选：D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.

5、D

【解析】

根据抛物线的定义，结合IA尸1=3,求出A的坐标，然后求出A尸的斜率即可.

【详解】

解：抛物线的焦点厂。。)，准线方程为x=—l,

设A(x,y),贝ij|A/q=x+l=3,故工=2,此时)，=士2四，即A(2,±2近).

则直线AF的斜率k=丝也=±272.

2-1

故选：D.

【点睛】

本题考杳了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题.

6、C

【解析】

由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得g(x)的解析式，结合正弦函数的图象与性质即

可判断各选项.

【详解】

函数/(i)=\/3sin2x-cos2x,

/\

则/(x)=2sin2X」2，

I6)

/\

将/")=2sin2x-［向左平移5个单位，

2fx+-l--'|=2sinf2ji+-

可得g(/)=2sin

l6j6I6j

万7Tk7T

由正弦函数的性质可知，g(x)的对称中心满足2工+乙=&万次wZ,解得x=-二+一，,&wZ,所以A、B选项中

6122

的对称中心错误；

对于C,g(x)的对称轴满足2x+H+2gkeZ,解得x=1+br,让Z,所以图象关于直线”=［对称；当

6266

71冗71

时，21十三€—＞由正弦函数性质可知2sin2x+*1,2］,所以在gg上的最小值为L

112233636O6J/IN。

所以C正确;

7124

对于D,最小正周期为多="，当0,f2犬+—£，由正弦函数的图象与性质可知，2sin2/+9=1

7'T

246\6J

时仅有一个解为x=0,所以D错误；

综上可知，正确的为C,

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.

7、C

【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，产三点重合，记作。，取QC中点“，连接EG,£",G〃，/EGH即

为EG与直线所成的角，表示出三角形EG”的三条边长，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中人。,尸三点重合，记作。：

则G为8力中点，取。。中点H,连接EG,EH,GH,设正四面体的棱长均为

由中位线定理可得G/7//3C且

22

所以NEGH即为EG与直线所成的角,

EG=EH==—

N12J2

由余弦定理可得ssZEG”应蟋产

3-a2+-1«233

444

2怎L-6，

22

所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为正，

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

8、A

【解析】

fra)=o,

对函数/(x)求导，可得匕八、「，即可求出,进而可求出答案.

J(1)=2

【详解】

,、、，⑴=3。+6=0

因为f*)=便+3/+。,所以/⑺=3ad+6工，则，，，.，解得〃=-2力=1，则a-b=-3.

/⑴=a+3+Z?=2

故选:A.

【点睛】

本题考杳了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

9、C

【解析】

利用建系，假设A3长度，表示向量AC与3。，利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面平面8CO,ABLBD

平面ABDc平面3CQ=3O,ABI平面AAD

所以AB_L平面8c。，又。Cu平面BC。

所以AB_LOC,又DBIDC

所以作z轴〃AB，建立空间直角坐标系R-卬2

如图

A

设AB=1,所以8。=1,。。=1,8。=血

则A（O,L1）,5（OJO）,C（1,O,O）,D（O、O,O）

所以AC=（1,—L—1）,80（0,—1,0）

_L_且

所以cos（AC,8。）

3-T

ACBD\

故选：c

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.

10、B

【解析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.

【详解】

./\•2a

/.sin（乃+a）=_sina=----

本题正确选项：R

【点睛】

本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.

11、D

【解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到4=4,利用求和公式和等差中项的性质，即得解

【详解】

・・・4+%="+40，

/.4+q1—6d=67]।—5d+q1—d

解得知=4.

.%=21（q；-）=21%=84.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

12、C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16+0.08+0.（M）X2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C

考点：频率分布直方图及其应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0或6

【解析】

计算得到圆心。（一1,2）,半径r=3,根据4C_L8c得到d=孚，利用圆心到直线的距离公式解得答案.

【详解】

x2+y2+2x-4y-4=0,即（x+l[+（y—2了=9,圆心。（一1,2）,半径/'=3.

ACLBCt故圆心到直线的距离为4=辿，即4=蚱m=辿，故。=6或。=0.

2x/22

故答案为：。或6.

【点睛】

本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

1-2

14、限

6

【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得凯”值.

【详解】

解：・・,角a+£的终边过点。（一1,一2加）,

6

..(乃、-2722及71-1_1

••sinCLH———]一,COSOC4--1——-j-----------------

<6JJl+83I6)VT783'

7171.兀71sinJ一延11-2V6

:.sina=sina+—=sma+—cos---cosa+—

6J6\666j6326

故答案为：上建

6

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题.

15、[0,11

【解析】

根据向量关系表示PM-尸N=（2O十OM）•（2（9—OW）=PO2-OM2=0O.-1,只需求出的取值范围即可

得解.

【详解】

由题可得：QM+ON=（），］。0卜［1，&］

「知.川二仅0+0河）（尸0+0%）=仅0+0附.仅0-0例）

=PO=PO2-1G［（）J］

故答案为：［0川

【点睛】

此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.

16、-1

【解析】

a+4=0

由题意z/Z2=。+4+(2-2〃)i,令'即可得解.

2—2力0

【详解】

'.>21=1-2z,Z2=a+2it

/.Z)•z2=(1-2i)(a+2i)=a+4+(2-2a)i,

a+4=0

又zg是纯虚数，,仁c八，解得，。=・L

2-2"0

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、见解析

【解析】

根据等差数列性质及6=2、%+%+%=30,可求得等差数列｛q｝的通项公式，由伉=。4即可求得与的值；根据

等式几尸鼠+。+32,变形可得bi=4+32,分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检

验是否存在正整数k的值即可.

【详解】

•・•在等差数列｛4｝中，4+%+%=3%=30,

/.a5=10,

・•・公差二幺=2,

5-1

:.an=4-l)d=2〃,

**•4二W二8,

若存在正整数3使得％产54+4+32成立，即加产4+32成立，设正数等比数列的公比为例｝的公比为

若选①，•・•她二/6，

/?2=4,

:・q=;=乙，

b2

：,bn=2"，

二当Z=5时，满足力6=4+32成立.

若选②,64=〃12=24,

・。=4一3

••・bi”

・・・8・3”-2=8・3”-3+32,

，3"3=2方程无正整数解，

，不存在正整数〃使得".』="+32成立.

若选③，二55-S3=48,

.,./?4+/?5=48,

:.8q+际=48,

工/+”6=0,

，解得4=2或c/=-3(舍去)，

:•bn=2",

・•・当攵=5时，满足4=4+32成立.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后

求参数的值，属于中档题.

18、(1)y2=4x；(2)见解析.

【解析】

(1)已知夕点轨迹是以尸为焦点，直线工=-1为准线的抛物线，由此可得曲线W的方程；

2

(2)设直线方程为)，二丘+2,左。0,则。(一7,0),设A(x，y),B(x,,%),由直线方程与抛物线方程联立消元应

k

用韦达定理得芭+々，%工2,由MA=aAC，=用横坐标表示出。,万，然后计算。+小，并代入M+Z，

七X2可得结论・

【详解】

(1)设动圆圆心尸(X,)，)，由抛物线定义知：尸点轨迹是以产为焦点，直线x=-l为准线的抛物线，设其方程为

/=2p.r(p>0),则解得〃=2.

，曲线W的方程为〉，2=4x；

2

(2)证明：设直线方程为y=H+2,女工0,则。(一0),设44乂),设电,必),

y=kx+2.._

由，得《丁+（4左一4）工+4=0,①，

y=4x

4%—44

则％+E=----3—,不为二^?，②，

KK

由MA=aAC，=得

2八2

（X，y-2）=。（一内一二,一y）,（x,y--2）=p（-x--,-y）,

k.2'yk2

-kx.八一kx、

整理得。=7~~、，P=--二，

3+2kx-,+2

:.”0=的+*2于中2口（西+/）

=代入②得:

2

3+2kx2+2kx1x2+2Z（x+w）+4

,44k-4

—2k~x---'2kx（

a+pk~

,24.4k—4

kx—+2kx（------）+4

k2k2

【点睛】

本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方

法，即设交点坐标A(.%y),B(X2，%)，设直线方程)”依+〃2,直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次

方程，应用韦达定理得玉+电，x/2,代入题中其他条件所求式子中化简变形.

19、(1)^G(2-21n2,-H»).(2)见解析

【解析】

(1)求出/'(x)=，-2x-Z,记gCr)=/-2x,问题转化为方程晨力=2有两个不同解,求导，研究极值即可得

结果；

(2)由(1)知，/0)在区间(F/n2)上存在极大值点王，且攵=--2F，则可求出极大值/(5)=(1一凡)人+%2,

记/2(r)=(l-1)d+〃(/£(-8,ln2)),求导，求单调性，求出极值即可.

【详解】

(1)f\x)=ex-2x-k,由/(％)=0="-2>

记g(x)=e'-2x,g\x)=ex-2,

由g'(x)=0nx=ln2,且上vln2时,g'(x)vO,g(x)单调递减，g(x)e(2-21〉2,+<x)),

冗>ln2时,g^x)>0,g(x)单调递增，g(\)w(2-21n2,+oo),

由题意，方程g(x)=〃有两个不同解，所以丘(2-21n2,+co)；

(2)解法一：由(1)知，/。)在区间(-8,ln2)上存在极大值点再，且左二*一2司，

所以的极大值为/(%)=8―%2_卜"_2xjx|=(1—xje项+西2,

记/2(r)一(1一1)/十产Qe(-co,ln2)),则h\t)=一%’+2f=(2-3),

因为fw(-00,In2),所以2-->0，

所以/<0时，//(r)<0,/6)单调递减，0<，<ln2时，h\t)>0,/zQ)单调递增，

所以f(t)>/?(0)=1,即函数f(x)的极大值不小于1.

解法二：由(1)知，/")在区间(-8,ln2)上存在极大值点占，且上=e3-2*，

所以/。)的极大值为/($)=«*_2%)%=(1_玉)6演+X：,

A|

因为1一百>0,^>l+xr所以/(再)之(1一%)(1+式)+%2=1.

即函数/(X)的极大值不小于1.

【点睛】

本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.

20、⑴，--向-2=0,C方程为⑵的+而而=券

【解析】

(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.

【详解】

x=2Cm+——1

6：（帆为参数）,

⑴曲线C的参数方程为

y=2m------

6m

两式相加得到4〃?=x+），，进一步转换为-|y2=i.

44

直线/的极坐标方程为〃cos（0+—）=1,Jl!|p（cos^cos--sinsin—）=1

333

转换为直角坐标方程为x-J药一2=0.

x=2+——t

（2）将直线的方程转换为参数方程为12。为参数）,

1

33

代入厂「二得至⑸2+12疯+16=°（，由,2为八。对应的参数）,

16

所以/]+与’1=二T

3

|MP|十|MQ|/+4_3G

所以L+」

|MP|\M\Q\\MP\\MQ\\tit2\4

【点睛】

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

21、（1）证明见解析；（2）-'变

35

【解析】

（1）取48的中点0,连接CO,。。，证得COJLOO,从而证得C，O_L平面A3O,再结合面面垂直的判定定理,

即可证得平面C'AB平面DAB;

（2）以。为原点，ABfOC所在的直线为j轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面AC'。和平面BCZ＞的法向

量，利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

（1）取48的中点。，连接CO,DO,

在RS4C5和放△40〃中，A3=2,则（70=00=1,

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又CD=72，所以CO?+DO=CD,即CO±ODf

又且48no0=0,AB,OOu平面A8O,所以CO_L平面A8Q,

又C，Ou平面CA9,所以平面C/BJ■平面OAR

（2）以。为原点，AB,OC所在的直线为y