高考数学一轮复习 讲义任意角和弧度制 教师

课题：任意角和弧度制

知识点：任意角和弧度制

1.任意角、角的分类：

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

③终边相同的角：终边与角a相同的角可写成a+》360。（％£Z）.

2.弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，闷=，，/是以角a作为圆心角时

所对圆弧的长，「为半径.

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值;与所取的「的大小无关，仅与角的大小有关.

3.弧度与角度的换算：360。=2九弧度；180。=冗弧度.

4.扇形的弧长及面积公式：

弧长公式：/=|a|r,扇形面积公式：S小形=；/r=产.

【注】

（1）对与角。终边相同的角的一般形式a+k360°aeZ）的理解；（1）（2）a任意角；（3）终边相

同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.

（2）利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,

然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角

（3）已知角a的终边位置，确定形如此＜,杜。等形式的角终边的方法：先表示角a的范围，再写出履、社a

等形式的角范围，然后就人的可能取值讨论所求角的终边位置

典型例题

例140°角的弧度数为（）

>7200

D.-----

兀

【答案】B

IT27r

【解析】依题意，40°=40x旃=§•.故答案为：B

例2下列各角中，与-600。终边相同的角为（）

A.120°B.160°C.240°D.360°

【答案】C

【解析】与600。终边相同角为公360。-600。（人2）,而左一1时,360°-240°--240°,其它选项都

不存在整数2,使之成立。故答案为：C.

例3320°用弧度制表示为（）

27cc8兀-16兀20兀

A.---B.---C.----

999

【答案】C

ir167r

【解析】-320=-320x—=--故答案为：C.

1809o

例4若a是第三象限的角，则乃是（）

2

A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角

C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角

【答案】B

例51130。角的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】因为1130=3x360+50,且50角的终边落在第一象限，所以1130。角的终边落在第

一象限.故答案为：A

例6以下各角中，是第二象限角的为（）

阮「77r

A.---B.----Dc.——5%

363

【答案】B

【解析】对于A选项，-丝=”-4万,三为第三象限角，则-三为第三象限角；

3333

对于B选项，一:〃=§1—2乃，—为第二象限角，则-为第二象限角；

6666

对于C选项，g为第三象限角；对于D选项，孚为第四象限角.故答案为：B.

63

例7已知sin9>0且cosOvO,则角。的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】依据题设及三角函数的定义可知角0终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二

象限，应选答案B.

例8一扇形的周长为20,半径为5,则该扇形的面积为（）

A.30B.25C.45D.50

【答窠】B

-x!0x5=25

【解析】因为扇形的周长为20,半径为5,所以扇形的弧长为10,故该扇形的面积为2。

故答案为：B

例10已知扇形的圆心角为150。，面积为g，则该扇形所在圆的半径为.

【答案】2

【解析】因为150。=学，所以扇形的面积为1ar=当产=巨，所以r=4,即r=2,答案为：2

62123

例11半径为2cm,中心角为30。的扇形的弧长为cm.

【答案】v

【解析】圆弧所对的中心角为30。即为今弧度，半径为2M弧长为/=|aP=^x2，（cM.故答案

为：y.

3

举一反三

1.弧度等于（）

6

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】因为Irad-（更，所以工=4x（竺2]-30°.故答案为：B.

\7TJ66V717

2.下列各角中，与60。角终边相同的角是（）

A.300°B.60°C.150°D.240°

【答案】A

【解析】根据终边相同角的表示，可得与60°角终边相同的角为0=60+kx360,keZ、

当％=-1时，可得0=-300,即300°角与60°角终边相同.故答案为：A.

3.若sinatanavO,且cosa则角。是（）

tana

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

4.已知扇形的周长是4cm,则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（)

A.2B.1C.2D.3

【答案】A

5.20200是（）

A.笫一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【解析】2020。=5x360。+220。，且180°<220°<270°,所以角2020°是第三象限角.

故答窠为：C.

6.若。为第一象限角，则三是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

【答案】D

【解析】因为。为第一象限角，

元Ct7E

所以2k兀<a<2k兀+—,ksZ,所以krc<——<k冗+—,ksZ,

224

当k=0时，sina=，j='|,属于第一象限角，排除B；

当k=l时，乃<三〈半，属于第三象限角，排除AC；

24

a

所以-是第一或第三象限角

2

故答案为：D

7.时针经过四个小时，转过了（）

2兀,2n.一5元」

A.——radB.---radC.—radD.-^rad

3366

【答案】B

【解析】时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为-2兀rad,

A27r

则时针经过四个小时，转过了立•（-2竹碗二一7碗。故答案为：B.

8.达•芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人

迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆

弧，在嘴角AC处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：

AB=6cm,BC=6cm,AC=\0.392cm(其中且^0.866).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽

2

莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()

71e兀c兀r2兀

A.-B.-C.-D.—

3423

【答案】A

【解析】依题意AB=3C=6,设NA3C=2。.则近汕=艮奥=0.866之3.「.0=',20=".

6233

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a.则a+28=­，。=].故答案为：A.

9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而

成，设扇形的面积为Si,圆面中剩余部分的面积为S2,当Si与S2的比值为近二1时，扇面看上去

2

形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()

A.(3->/5)7tB.(>/5-1)^C.(6+1)元D.(75-2)71

【答案】A

【解析】S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，

设S1与S?所在扇形圆心角分别为a,p,

a_\/5-1

2

则3,又a+B=2兀，解得a=(3-逐)兀故答案为：A

2冗

10.如果圆心角为彳的扇形所对的弦长为26，则扇形的面积为.

47r

【答案】I

3

【解析】如下图所示，作即，AC,已知AC=2j5,ZABC=y,则AF=百，ZABF=^t

AF_V3_

设扇形的半径为A,则一Hfi/ABF.兀，

sin—

3

因此，该扇形的面积为S=!X«X22=¥。故答案为：

2333

课后练习

1.930。=()

31TIc317r八31TI-31兀

A.——B.——C.——D.——

3456

【答案】D

【解析】'.故答案为：D

18006

2.与2020。角的终边相同的角可以表示为（）

A.200+Rx360（ZeZ）B.140+Ax360（攵EZ）

C.—220+左x360（kwZ）D.220+2x360（左cZ）

【答案】D

【解析】因为2020=5x360+220,所以2020与220终边相同,由此可得与2020角的

终边相同的角可以表示为220+Ax360（ZwZ）o故答案为：D.

Of

3.若a是第三象限的角，则乃-上是（）

2

A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角

C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角

【答案】B

4.2弧度的角的终边所在的象限是（）

A.笫一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答窠】B

TT

【解析】因为-<2<^-,故2弧度的角的终边所在的象限为第二象限，故答案为：B.

2

5.已知角a为锐角，则下列各角中为第四象限角的是（）

A.a+90。B.a+180°C.a—90。D.a-180°

【答案】C

【解析】因为角a为锐角，所以90。<。+90。v180。，。+90。为第二象限角;

180°<a+180°<270°,a+180°为第三象限角;

-90<a-900<0\a—90°为第四象限角;

—180va—180<—90,a—180为第二象限角.

故答窠为：C

6.已知角a=2022,则角a的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限