七年级数学绝对值专项习题及答案

例1求下列各数的绝对值：(1)－38；(2)0.15；(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；(5)a－2(a＜2)；(6)a－b．例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：(1)｜－a｜＝｜a｜；()(2)－｜a｜＝｜－a｜；()(4)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；()(5)若a＝b，则｜a｜＝｜b｜；()(6)若｜a｜＞｜b｜，则a＞b；()(7)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜；()(8)若a＞b，则｜b－a｜＝a－b．()例3判断对错．(对的入“T”，错的入“F”)(1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0．()(2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0．()(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．()(4)如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．()(5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．()例4已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．例5填空：(1)若｜a｜＝6，则a＝______；(2)若｜－b｜＝0.87，则b＝______；(4)若x＋｜x｜＝0，则x是______数．例6判断对错：(对的入“T”，错的入“F”)(1)没有最大的自然数．()(2)有最小的偶数0．()(3)没有最小的正有理数．()(4)没有最小的正整数．()(5)有最大的负有理数．()(6)有最大的负整数－1．()(7)没有最小的有理数．()(8)有绝对值最小的有理数．()例7比较下列每组数的大小，在横线上填上适当的关系符号(“＜”“＝”“＞”)(1)｜－0.01｜______－｜100｜；(2)－(－3)______－｜－3｜；(3)－[－(－90)]_______0；(4)当a＜3时，a－3______0；｜3－a｜______a－3．例8在数轴上画出下列各题中x的范围：(1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．例9(1)求绝对值不大于2的整数；(2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x．例10解方程：已知｜14－x｜＝6，求x；*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．*例11化简｜a＋2｜－｜a－3｜1，解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15；(3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a；(4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b；(5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小题中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小题中取a＝5，b＝－5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：此题证明的依据是利用｜a｜的定义，化去绝对值符号即可．对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况．2，解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的．说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．3，解：(1)T．(2)F．－1的倒数也是它本身，0没有倒数．(3)F．正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和0．(4)T．任何一个数的绝对值都是正数或0，不可能是负数，所以这句话是错的．(5)F．0的绝对值是0，也可以认为是0的相反数，所以少了一个数0．说明：解判断题时应注意两点：(1)必须“紧扣”概念进行判断；(2)要注意检查特殊数，如0，1，－1等是否符合题意．分析：根据平方数与绝对值的性质，式中(a－1)2与｜b＋3｜都是非负数．因为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立，所以由已知条件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．4，解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0∴a－1＝0且b＋3＝0∴a＝1，b＝－3．说明：对于任意一个有理数x，x2≥0和｜x｜≥0这两条性质是十分重要的，在解题过程中经常用到．分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个，它们是互为相反数．5，解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6；(2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；(4)∵x＋｜x｜＝0，∴｜x｜＝－x．∵｜x｜≥0，∴－x≥0∴x≤0，x是非正数．说明：“绝对值”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念．对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：6，解：(1)T．(2)F．数的范围扩展后，偶数的范围也随之扩展．偶数包含正偶数，0，负偶数(－2，－4，…)，所以0不是最小的偶数，偶数没有最小的．(3)T．(4)F．有最小的正整数1．(5)F．没有最大的负有理数．(6)T．(7)T．(8)T．绝对值最小的有理数是0．分析：比较两个有理数的大小，需先将各数化简，然后根据法则进行比较．7，解：(1)｜－0.01｜＞－｜100｜；(2)－(－3)＞－｜－3｜；(3)－[－(－90)]＜0；(4)当a＜3时，a－3＜0，｜3－a｜＞a－3．说明：比较两个有理数大小的依据是：①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，正数大于0，大于一切负数，负数小于0，小于一切正数，两个负数，绝对值大的反而小．②两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同，则分子越大分数值越大；也可将分数化成小数来比较．分析：根据绝对值的几何意义画图．例如，｜x｜≥4的几何意义是：数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合；｜x｜＜3的几何意义是：数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合．8，解：(1)｜x｜≥4，即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4，如图1．∴当x＞0时，有x≥4；当x＜0时，有x≤－4．(2)｜x｜＜3，即数轴上x对应的点到原点的距离小于3，如图2．即有－3＜x＜3．(3)2＜｜x｜≤5，即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5，如图3．即－5≤x＜－2或2＜x≤5．说明：在数轴上表示含绝对值的不等式时，最容易错的是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件的点的范围．应当认真研究负数部分符合条件的点的范围的画法，并真正做到“理解”．分析：(1)求绝对值不大于2的整数，就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点．(2)因为2.5＜｜x｜＜7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数，所以，依绝对值定义应该是满足－7＜x＜－2.5，或2.5＜x＜7的所有整数．9，解：(1)先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的范围．由图看出，绝对值不大于2的整数是：－2，－1，0，1，2(2)符合2.5＜|x|＜7的所有整数，就是符合－7＜x＜－2.5或2.5＜x＜7的所有整数．由图看出，符合2.5＜｜x｜＜7的整数是：x＝±3，±4，±5，±6．说明：因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义，所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义．此题也可以用代数定义求解．根据绝对值的几何定义，用数形结合的思想，把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决，是经常采用的方法．分析：解简单的含有绝对值符号的方程，一般都根据绝对值的代数定义，先化去绝对值符号，然后求解．(2)题需把原方程转化为｜x＋1｜＝2x－4的形式后，才便于应用绝对值的代数定义．10，解：(1)∵｜14－x｜＝｜x－14｜＝6∴x－14＝±6当x－14＝6时，x＝20；当x－14＝－6时，x＝8．∴x＝20或8．(2)∵｜x＋1｜＋4＝2x∴｜x＋1｜＝2x－4∵｜x＋1｜≥0，∴2x－4≥0，x≥2．∵x≥2，∴x＋1＞0，｜x＋1｜＝x＋1．原方程变形为x＋1＋4＝2x∴x＝5．分析：要化简此式，关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内a＋2和a－3在a取不同数值时它们的符号情况，才能正确地转化为不含绝对值的式子．为了能达到此目的，首先应判定｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0时a的取值，即a＝－2和a＝3，由此可知，a的取值可分为三种情况：即a＜－2，－2≤a＜3，a≥3．这时｜a＋2｜和｜a－3｜就可依绝对值定义分别得到不同的去掉绝对值符号后的新形式了．11，解：由｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0得a＝－2或a＝3．－2和3把数轴分为三部分(如图)：当a＜－2时，原式＝－(a＋2)－[－(a－3)]＝－a－