高考数学一轮复习高考大题专项四高考中的立体几何理北师大版

高考大题专项四高考中的立体几何

1.

如图，在三棱锥A-BCO中,£/分别为BC,⑺上的点,且初〃平面AEF.

⑴求证:所〃平面/如；

⑵若AEX.平面BCD,BDVCD,求证:平面/阮L平面ACD.

2.

在直三棱柱ABC-ABG中，N49小90。：BC28,点£在线段如上,且出ADtF,G分别为

Q,C尻G4的中点.

求证：(1)8M_L平面力切;

(2)平面EGF〃平面ABD.

3.

A

D

如图，几何体是圆柱的一部分,它是由矩形/I腼（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转120°得

到的,G是^的中点.

⑴设尸是c上的一点,且AP上BE,求/微0的大小；

⑵当AB^AD=2时，求二面角尺力Gf的大小.

4.

（2018山西晋中调研，18）如图，已知四棱锥P-ABCD,用平面ABCD,底面ABCD中,BC〃AD,ABLAD,M

PA=AD二ABNBC2M为力〃的中点.

⑴求证:平面凡ML平面PAD\

⑵问在棱加上是否存在点。使勿_1_平面6W,若存在,请求出二面角2-CW-Q的余弦值;若不存在,

请说明理由.

（2018河南郑州外国语学校调研，19）如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱ABC-ABQ中，AA^AB,

四边形4G8为矩形,过4。作与直线BG平行的平面A@交AB于点D.

⑴证明：⑦1仍；

⑵若直线力4与底面46G所成的角为60°,求二面角小力C-G的余弦值.

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面以2L平面ABCD,点M在线段PB上,外〃平面

MAC,PA=PD，ABN.

⑴求证:V为阳的中点；

⑵求二面角B-PD-A的大小；

⑶求直线，比'与平面8"所成角的正弦值.

8.（2018山西大同一模，18）如图，在四棱锥尸T%中，力〃〃阳/ABC=4

P的桃：PA=AB=BC2ADAM是核PB中点、且止叵

⑴求证:■〃平面PCD;

⑵设点N是线段如上一动点,且DN6DC、当直线劭V与平面目《所成的角最大时,求才的值.

9.

（2018山西晋城一模,20）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD=AD=2CD=2BC2且/ADC=/BCD秘。.

⑴当PB=2时，证明：平面四〃1平面ABCD-,

⑵当四楂锥PT时的体积为"且二面角人力力/为钝角时,求直线PA与平面所成角的正弦值.

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参考答案

高考大题专项四高考中的立体几何

L证明⑴/劭〃平面/牙;砥平面比〃平面8(刀n平面47HMr.BDi/EF.

又BI金平面AI3D,萌平面ABD,

,:哥'〃平面ABD.

(2):RLL平面加9,侬平面8。,,"£_L微由⑴可知8〃〃班又初；.EFLCD.

又AECEF=Et力底平面AEF,E建平面AEF,

・：6Z?_L平面AEF,又6ZS平面ACD、

.:平面力既1_平面ACD.

2.证明(1)以4为坐标原点,以,阳出所在的直线分别为x轴、/轴、z轴建立空间直角坐标系，如

图所示,则5(0,0,0),“(0,2,2),5(0,0,4),6；(0,2,4),

设BA=a,则A(a,0,0),所以一0,0),--(0,2,2),一F^二(。，2,一

•--->=0,-V**--->=0闺/0,即B山上BA,B\DLBD.又BACBD=B,B0平面ABD,砥平

面ABD,

所以笈〃1平面ABD.

(2)由(1)知,£(0,0,3),《？，1,4),AO,1,4),则

----->15，1,1)，-----^(0,1,1),-・-----'=Q-f2-2=0f~T~*•--->0+2-20,即&D1EG,B\DLEF.

又EGCEF二E,E保平面EGF,E坛平面笈苑所以台。_1_平面EGF.

结合（1）可知平面笈/〃平面ABD.

3.解⑴因为APA.BE,AB1.BE,ABt力任平面ABP,ABCAP=A,所以跖L平面ABP,又砥平面ABP,所

以肛1_"又/用7=120°.因此夕630°.

⑵（方法一）取一的中点〃连接以能组因为N班。二120”，

所以四边形阳切为菱形,所以AE=GE=AC=GC=y[^^V13.

取力G中点M,连接E礼af,EC、则网工AG,CMVAG,

所以必为所求二面角的平面角.

又加仁1,所以以人以仁应1=26.在△%T中，由于/破'=120°,由余弦定理得EC盘卷-

2X2X2Xcos120°=12,所以比2/3,因此为等边三角形，故所求的角为60°.

（方法二）以8为坐标原点,分别以BE,BP,胡所在的直线为x,匕z轴,建立如图所示的空间直角

坐标系.

由题意得4(0,0,3),M2,0,0),G(l,V3,3),(7(-1,瓜,0),故——(2,0,-

3),>=(1,V3,0),*=(2,0,3),设必=(汨,凶,Zi)是平面抽。的一个法向量.

取可得平面力拓的一个法向量m=（3,飞,2）.

设〃二（即,y2,Z2）是平面47G的一个法向量.

:二，可得2+62=0

叫,22+32=0

取Z2=-2,可得平面力CG的一个法向量〃=（3,-73,-2）.

所以cos<77,n>-^——力.因此所求的角为60°.

4.解以A为原点,射线AB,AD,"分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图.

PA=AD=AB=2BC=2t>4(0,0,0),8(2,0,0),61(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),---*=(0,2,0),---*=(0,

0,2),

二犷为49的中点，,:必(0,1,0),―,=(2,0,0).

(1):**•

/.CMA.PA,CMLAD.

用丘平面PAD,A厘平面PAD,且附0力。玄，・：0月_平面PAD.

:制g平面PCM,.：平面P6MJL平面PAD.

(2)存在点0使H?_L平面CMQ,在△必〃内，过"作,图1/力,垂足为Q

由(1)知以打_平面处〃磔平面玄〃.：以人也

MQRG仁M,.:如J_平面CMQ.

设平面尸£切的一个法向量为〃=(%%z),则n•"NxOnxR,

n•»=(x,ytz)•(0,1,-2)=y-2z=0^y=2z,

取〃:(0,2,1).

：7Y?_L平面CMQ,

・：-(0,2,-2)是平面以®的一个法向量.

由图形知二面角人以，-。的平面角〃是锐角，故cos0一•二一j暮

所以二面角余弦值为手.

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5.(1)证明如图，

连接AG交4。于点E,连接DE.

因为比〃平面A@,BC正平面ABG,平面ABQn平面A@=DE、

所以BC\〃DE.

又四边形力制4为平行四边形，

所以E为AG的中点,所以劭为△4G6的中位线,所以。为48的中点.

又△川笫为等边三角形,所以CDLAB.

⑵解过A作/0_L平面484,垂足为0,连接M设AB=2,则那WV5.

因为直线力A与底面45G所成的角为60。，所以乙44010°.

在RtAUO中，因为M=2V3,

所以

因为4aL平面45G,B幅平面A出0,所以力0_L5G,

因为四边形5G3为矩形,所以B&LBC,

因为阳〃44,所以8G_L/4.

因为441rlAO=A,AA^平面AA\O,A怎平面AA\O,

所以反G_L平面MO.

因为4底平面AM,所以5G_L40.△4AG为等边三角形,边笈G上的高为6,又4g/5,所以

。为5G的中点.

以。为坐标原点,分别以—；,―；—7KJ方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标

系,如图.

则4(V3,0,0),6；(0,-1,0),>4(0,0,3),Z?!(0,1,0).

因为一?=(75,1,0),

所以灰润1,3)"(呼$3),

因为"—j»=(N5,一1,0),

=-

所以C(~V3>-1>3),J_*-(~2y/3t],3),"""jj*-(0,-2,0),j*(-2-^3>1,3).

设平面以C的法向量为〃二(司y,z).

得卜2V5++3=0

令产/5,得z=2,

所以平面力C的一个法向量为〃二(8,0,2).

设平面AxCCx的法向量为m=(a,b,9),

由4■

得惮+=0>

(2V3+.3=0

令得b=-3,c=l,

所以平面4CG的一个法向量为次(心,-3,1).

所以/cos<n,m>!—―:---

IIII91

因为所求二面角为钝角,所以二面角B-A\C-C\的余弦值为等.

6.(1)证明设IC助交点为£连接.

因为加〃平面MAC,平面/CP平面PDB=ME,所以PD//ME.

因为力弦9是正方形,所以£为8少的中点.所以M为%的中点.

⑵解取力〃的中点0,连接OP,0E.

因为*二/力,所以OPLAD.

又因为平面为〃_L平面ABCD,且。百平面PAD,所以0RL平面ABCD.

因为0降平面相线所以0PV0E.

因为ABC。是正方形,所以OELAb.

如图建立空间直角坐标系0-xyz,则2(0,0,调)，〃(2,0,0),次-2,4,0)：--(4,-

4,0),-X2,0,-V2).

设平面8〃尸的法向量为n=(x,y,z),

4,4=0,

则

2.V2=0

令x=l,则y=\tZ=42.

于是〃=(1,1,V2),平面9的法向量为p=(0,1,0).

所以cos<7?,p>=~~:—弓.

I11I/

由题知二面角8-々T为锐角，所以它的大小为京

V

⑶解由题意知《」,2,乎),。(2,4,0),—阿3,2,

设直线必与平面质所成角为。，则sina=/cos<n>—D/」.二1邛•

IIII9

所以宜线」先与平面应火所成角的正弦值为竽.

7.(1)证明如图,取烟中点七连接AE,EH.

•••H为BQ中尽，・・・EH〃B\Q.

在平行四边形加心8中，P,£分别为AA},附的中点，•"£〃阳.

又EHCAE=EyPRCB\Q=8,

・：平面加〃平面5Q/2

二4位平面加，."勿平面B\PQ.

⑵解连接用"G,

丁四边形4G。为菱形，

/.AA\=AC=A\C\=/\..

又NG4小60。，

・：△力G4为正三角形.

:/为44的中点，•：阳_L/4.

:•平面4CG4_L平面ABRA,平面力笫4n平面4B&A尸曲,PC&平面幺少4,.：闺_L平面ABB4,

在平面力能4内过点尸作PRLAA衣眼于点、R.建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则

产(0,0,0),4(0,2,0)"(0,-2,0),G(0,0,273)"(0,W2g),

.：0(0,-2(久仪)，2754)，

・：--=(0,2(4"),2雷，I).

TAB=AB2/同4力与0°,

・：8(V5,1,0),Z；-(V3,1,0).

设平面PQ氏的法向量为m=(x,y,z),

令E则y=rB,z=——,

•:平面产。5的一个法向量为m=(1,75,—),

设平面的法向量为/产（1,0,0）,二面角的平面角为"，则cos

飞+3+（.上）2喟,:久日或"=一（舍），

•:-4-'，,：弥,3①

又MV3,-3,0）,Z-（V3,o,M）,•：/7"V3T3=V6.

连接BP,设点〃到平面BQB\的距离为h,则;将乂4乂g乂75日甘乂4*佃乂方,

・,・h吟即点尸到平面8期的距离为当

8.⑴证明如图，取用中点4连接物:仞

因为必为阳的中点，

所以MK//BC且M*BC=AD,

所以四边形和腐为平行四边形,

所以AM//DK,

又砥平面PDC,力祖平面PDC,

所以4M7平面PCD.

（2）解因为M为阳的中点，设PM二MB=X,在△以“中，ZPMA+/A.MB=TI,设/两例=，，则/4仍』-0,

所以cosNEJ%WosN4J/%),

由余弦定理得:+2-号:2__^巾,

解得X5,则小2施，

所以PR+AR二Pk

所以44_L4X

又PALAD,且ABCAD=A,

所以ALL平面ABCD,且N阴加/肪。90°.以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标

系A-xyz,则J(0,0,0),2)(1,0,0),8(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),X0,1,1),因为点"是线段系上

一点,可设―*=4-(1,2,0),故-----(1,0,0)总(1,2,0)=(1认2九0),

所以-'三~~-(1+九2九0)-(0,1,1)=(1+九24-1,-1).

又面处8的法向量为(1,0,0),

设劭V与平面外〃所成角为，，则

所以当白三时，即月4时,sin6取得最大值.

1+OO

9.(1)证明取4〃的中点0,连接PO、BO,

:•△阳〃为正三角形，.：少_14〃

•・・NADC=/BCD4Q：；.BC〃AD,

VBC^AD=1,.*.BC=ODt

・：四边形BCDO为矩形，.：OB=CD=1,在4POB中，PO=6,OB=\,PB吃,

・：N/W=