2025届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系创新教学案含解析新人教版

PAGE3-第2讲两条直线的位置关系[考纲解读]1.能用方程组的方法求出两条直线的交点坐标，依据两条直线的斜率能推断两条直线的平行或垂直．(重点)2．能够利用两点间距离公式、点到直线的距离公式解决相关的数学问题．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲内容很少独立命题．预料2024年高考会与其他学问结合考查两直线的位置关系、求直线方程(如与导数、圆锥曲线结合)、面积等问题．题型为客观题，试题难度一般不大，属中档题型.1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行eq\o(□,\s\up1(01))k1＝k2k1与k2都不存在垂直eq\o(□,\s\up1(02))k1·k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在2．三种距离三种距离条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\o(□,\s\up1(01))eq\r(x1－x22＋y1－y22)点到直线的距离P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为dd＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两平行线间的距离直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为dd＝eq\o(□,\s\up1(03))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))3．常用的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.1．概念辨析(1)当直线l1和l2斜率都存在时，肯定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)假如两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积肯定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为()A．7 B．0或7C．0 D．4答案B解析∵直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，∴m(m－1)＝3m×2，∴m(2)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是________．答案eq\r(5)解析原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝eq\f(|－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).(3)经过直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－1＝0的交点且垂直于直线2x＋y－3＝0的直线方程为________．答案x－2y＋1＝0解析联立直线l1与l2的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))所以直线l1与l2的交点坐标为(3,2)，设所求直线的方程为x－2y＋C＝0，将点(3,2)的坐标代入直线方程得3－2×2＋C＝0，解得C＝1，因此，所求的直线方程为x－2y＋1＝0.(4)已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为________．答案x＋y－4＝0解析∵直线PQ的斜率k1＝1，∴直线l的斜率k2＝－1，又线段PQ的中点坐标为(1,3)，∴直线l的方程为x＋y－4＝0.题型一两条直线的位置关系1．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．答案－9解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴点(1,2)满意方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.2．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满意下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)由已知，得l2的斜率存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝eq\f(4,3)(冲突)，∴此种状况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在且不为0.∵k2＝1－a，k1＝eq\f(a,b)，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq\f(a,b)(1－a)＝－1.①又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a，③又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq\f(4,b)＝b，④联立③④，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))∴a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.1．已知两直线的斜率存在，推断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)留意：在推断两直线位置关系时，比例式eq\f(A1,A2)与eq\f(B1,B2)，eq\f(C1,C2)的关系简单记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答.1．(2024·淮南模拟)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案A解析当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ·(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件．2．(2024·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程．解(1)kBC＝eq\f(－5－－1,6－8)＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2.∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)kAC＝eq\f(－5－7,6－－4)＝－eq\f(6,5).∵菱形的对角线相互垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝eq\f(5,6).∵AC的中点(1,1)，也是BD的中点，∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝eq\f(5,6)(x－1)，即5x－6y＋1＝0.题型二距离问题1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2A.eq\f(4\r(2),3) B．4eq\r(2)C.eq\f(8\r(2),3) D．2eq\r(2)答案C解析若l1∥l2，则1×3－a(a－2)＝0，解得a＝－1或3.经检验a＝3时，两条直线重合，舍去．所以a＝－1，此时有l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq\f(8\r(2),3).2．(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝eq\f(2x,x－1)在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2eq\r(5)，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0答案B解析y′＝eq\f(2x－1－2x,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，当x＝2时，y′＝－eq\f(2,2－12)＝－2，因此kl＝－2，则设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知eq\f(|2×2＋4－b|,\r(5))＝2eq\r(5)，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.3．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a答案eq\f(1,2)解析由题意，得|AB|＝eq\r(a＋1－52＋[a－4－2a－1]2)＝eq\r(a－42＋a＋32)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，所以当a＝eq\f(1,2)时，|AB|取得最小值．距离问题的常见题型及解题策略(1)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题．如举例说明1.(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定系数法(如举例说明2)，若待定系数是斜率，必需探讨斜率是否存在．(3)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来推断三角形的形态等．1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则点P的坐标为()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)答案C解析设P(x,5－3x)，则d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上随意一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)答案C解析易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋eq\f(5,2)＝0，则这两条平行线间的距离是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12－\f(5,2))),\r(32＋42))＝eq\f(29,10).题型三对称问题1．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．答案6x－y－6＝0解析设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，再由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设m与l的交点为N，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.解法二：设P(x，y)为l′上随意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.解法三：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)，∴由点到直线的距离公式得eq\f(|－2＋6＋c|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得c＝－9或c＝1(舍去)，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.1．中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点的对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．(2)直线关于点的对称问题的主要求解方法①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．如举例说明2(3)．②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．如举例说明1,2(1)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种状况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．解(1)解法一：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即eq\f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×eq\f(x′＋x,2)－eq\f(y′＋y,2)＋3＝0.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)，③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5).④))把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．解法二：设点P(4,5)关于l的对称点为M(m，n)．∵PM与l垂直，且PM的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋4,2)，\f(n＋5,2)))在直线l上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－5,m－4)×3＝－1，,3×\f(m＋4,2)－\f(n＋5,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝7，))∴点P(4,5)关于l的对称点为(－2,7)．(2)解法一：用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为eq\f(－4x＋3y－9,5)－eq\f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.解法二：设直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线为l′.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2)，))即两直线的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))，则点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))在直线l′上．取直线x－y－2＝0上一点Q(2,0)，则点Q(2,0)关于直线l的对称点Q′(a，b)在l′上．∵QQ′与l垂直，且QQ′的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))在l上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)×3＝－1，,3×\f(a＋2,2)－\f(b,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(17,5)，,b＝\f(9,5)，))∴Q′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))，∴l′的斜率为eq\f(\f(9,5)＋\f(9,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))＝－7，∴直线l′的方程为y＋eq\f(9,2)＝－7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，即7x＋y＋22＝0.(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，设关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，∴eq\f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq\f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．∵l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.组基础关1．已知过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行，则m的值为()A．－1 B．－2C．2 D．1答案B解析由题意得，kAB＝eq\f(m－0,－5－m＋1)＝eq\f(m,－6－m)，kCD＝eq\f(5－3,0－－4)＝eq\f(1,2).由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以eq\f(m,－6－m)＝eq\f(1,2)，所以m＝－2.2．若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与直线l2：3x－my＝0相互平行，则m的值等于()A．0或－1或3 B．0或3C．0或－1 D．－1或3答案D解析当m＝0时，两条直线方程分别化为－2x－y－1＝0,3x＝0，此时两条直线不平行；当m≠0时，由于l1∥l2，则eq\f(m－2,3)＝eq\f(1,m)，解得m＝－1或3，阅历证满意条件．综上，m＝－1或3.故选D.3．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案D解析解法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))可得两条直线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，又因为所求直线过原点，所以其斜率为－eq\f(3,19)，方程为y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.解法二：依据题意可设所求直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，λ＝－eq\f(4,5).所以x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，整理得3x＋19y＝0.4．(2024·南昌检测)直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0答案A解析在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.5．若直线l经过点(－1，－2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为()A．3x－4y－5＝0B．x＝－1C．3x－4y－5＝0或y＝－1D．3x－4y－5＝0或x＝－1答案D解析当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，满意原点到直线l的距离为1，∴x＝－1.当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由原点到直线l的距离为1，∴eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).从而得直线l的方程为y＋2＝eq\f(3,4)(x＋1)，即3x－4y－5＝0.综上可得，直线l的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.6．(2024·葫芦岛模拟)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，mA．3 B．0C．－1 D．1答案C解析直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·eq\f(2－1,3－2)＝m·1＝－1，m＝－1.7．已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为()A．3x－y＋5＝0 B．3x＋y＋1＝0C．x－3y＋7＝0 D．x＋3y－5＝0答案B解析设l与l1的交点坐标为A(a，y1)，l与l2的交点坐标为B(b，y2)，∴y1＝－4a－3，y2＝eq\f(3b,5)－1，由中点坐标公式得eq\f(a＋b,2)＝－1，eq\f(y1＋y2,2)＝2，即a＋b＝－2，(－4a－3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3b,5)－1))＝4，解得a＝－2，b＝0，∴A(－2,5)，B(0，－1)，∴l的方程为3x＋y＋1＝0.8．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．答案(0,3)解析设对称点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝3，))故所求对称点为(0,3)．9．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则实数c的值是________．答案2或－6解析直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x＋eq\f(a,2)y＋eq\f(c,2)＝0，由题意得eq\f(a,2)＝－2且eq\f(c,2)≠－1，解得a＝－4，c≠－2.依据两平行直线的距离为eq\f(2\r(13),13)，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(c,2))),\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，所以1＋eq\f(c,2)＝±2，解得c＝2或－6.10．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________．答案2x＋y－14＝0解析由A，B两点得kAB＝eq\f(1,2)，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.组实力关1．已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为()A．1 B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)答案B解析由已知两直线垂直，得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，∴ab＝b＋eq\f(1,b).由基本不等式得b＋eq\f(1,b)≥2eq\r(b·\f(1,b))＝2，当且仅当b＝1时等号成立，∴(ab)min＝2.故选B.2．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A．(5，＋∞) B．(0,5]C．(eq\r(34)，＋∞) D．(0，eq\r(34)]答案D解析当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为eq\r(－1－22＋[2－－3]2)＝eq\r(34)，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq\r(34)]．故选D.3．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(2,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))答案D解析设l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，易知l1与l2交于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))，l3过定点B(0，－1)．因为l1，l2，l3不能构成三角形，所以l1∥l3或l2∥l3或l3过点A.当l1∥l3时，m＝eq\f(2,3)；当l2∥l3时，m＝－eq\f(4,3)；当l3过点A时，m＝－eq\f(2,3)，所以实数m的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).故选D.4．(2024·保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为()A．2eq\r(10) B.eq\r(26)C．2eq\r(5) D.eq\r(10)答案A解析依据题意作出图象如下，设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，且|PB|＝|PB1|，由对称性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f