2025届高考数学一轮知能训练专题七概率与统计含解析VIP

PAGE10-专题七概率与统计1.某中学为探讨学生的身体素养与课外体育熬炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育熬炼平均每天运动的时间(单位：分)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图Z7­1)，将日均课外体育熬炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.图Z7­1(1)请依据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算推断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？分类课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计(2)现依据“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参与体育学问问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.150.050.0250.0100.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828

2.某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成果中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图Z7­2.(1)求获得复赛资格应划定的最低分数线；(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人？(3)从(2)抽取的7人中，选出4人参与全市座谈沟通，设X表示得分在(110,130]中参与全市座谈沟通的人数，学校准备给这4人肯定的物质嘉奖，若该生分数在(110,130]赐予500元嘉奖，若该生分数在(130,150]赐予800元嘉奖，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望.图Z7­23.光伏发电是将光能干脆转变为电能的一种技术，具有资源的足够性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位.2024年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6个省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量/千瓦时(0,200](200，400](400，600](600，800](800，1000]户数/户7815137(1)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600千瓦时的户数为X，求X的数学期望；(2)在总结试点阅历的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若安排在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/千瓦时的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000千瓦时，试估计该机组每年所发电量除保证该村正常用电外还能为该村创建干脆收益多少元？4.某重点中学将全部高一新生分成A，B两个成果相当(成果的均值、方差都相同)的级部，A级部采纳传统形式的教学方式，B级部采纳新型的基于信息化的自主学习教学方式.期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成果进行统计，得到如下数据：A级部B级部图Z7­3记成果不低于130分者为“优秀”.(1)依据频率分布直方图(图Z7­3)，分别求出A，B两个级部的数学成果的中位数和众数的估计值(精确到0.01)，依据这些数据初步分析A，B两个级部的数学成果的优劣.(2)依据频率分布直方图(图Z7­3)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关？分类优秀不优秀合计A级部B级部合计(3)①现从所抽取的B级部的100人中利用分层抽样的方法再抽取25人，再从这25人中随机抽出2人去参与“信息化的自主学习”的学习体会座谈，求抽出的两人中至少有一个为“优秀”的概率；②将频率视为概率，从B级部全部学生中随机抽取25人去参与“信息化的自主学习”的学习体会座谈，记其中为“优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差.P(K2≥k)0.1000.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).5.PM2.5的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染状况，这个值越高，空气污染越严峻.下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动第一周至第七周，居民采纳“绿色出行”的人数与PM2.5值的一组数据：时间第一周其次周第三周第四周第五周第六周第七周“绿色出行”的人数x/万人1245689PM2.5的值y100805040352520(1)已知“绿色出行”的人数x和PM2.5值y有线性相关性，求y关于x的线性回来方程；(计算结果保留两位小数)(2)若第八周“绿色出行”的人数为10万人，请预料第八周该市PM2.5的值；(计算结果保留一位小数)(3)若PM2.5的值在(0,50]内空气质量为优，现从第一周至第七周中随意抽取三周，记所抽取的样本中空气质量为优的周数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.附：eq\o(b,\s\up6(^))＝＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).6.《山东省高考改革试点方案》规定：从2024年秋季中学入学的新生起先，不分文理科；2024年起先，高考总成果由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成果从高到低划分为A、B＋、B、C＋、C、D＋、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成果计入考生总成果时，将A至E等级内的考生原始成果，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成果.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科供应依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成果基本听从正态分布N(60,169).(Ⅰ)求物理原始成果在区间(47,86)的人数；(Ⅱ)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成果在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.[附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997]7.某水产品经销商销售某种鲜鱼，平均售价为每千克20元，平均成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.假如当天卖不出去，折价处理平均每千克损失3元.该经销商依据以往每天该种鲜鱼的销售状况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图Z7­4所示的频率分布直方图，视频率为概率.(1)求将来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350千克，而另一天日销售量低于350千克的概率；(2)在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.①求日需求量X的分布列；②依据阅历，该经销商安排每日进货300千克或400千克，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应当选择每日进货300千克还是400千克？图Z7­48.某市为了激励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了解居民的用电状况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图Z7­5所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的80%，求a，b的值；(3)在满意(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望.图Z7­5

专题七概率与统计1．解：(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，则“课外体育不达标”人数为150，∴列联表如下：分类课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200∴K2＝eq\f(200×60×20－30×902,90×110×150×50)＝eq\f(200,33)≈6.061<6.635.∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关．(2)由题意采纳分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：X的全部可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14).故X的分布列为X123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)故X的数学期望为E(X)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).2．解：(1)由题意知分数在(30,90]内的频率为：20×(0.0025＋0.0075＋0.0075)＝0.35，分数在(110,150]内的频率为：20×(0.0050＋0.0125)＝0.35，∴分数在(90,110]的频率为：1－0.35－0.35＝0.3，从而分数在(90,110]的eq\f(频率,组距)＝eq\f(0.3,20)＝0.015,假设最低分数线为x，由题意得0.35＋(x－90)×0.015＝0.5，解得x＝100.故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分．(2)在区间(110,130]与(130,150]的频率之比为0.0125∶0.0050＝5∶2,在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，应在区间(110,130]与(130,150]各抽取5人，2人．(3)X的可能取值为2,3,4，则：P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,2),C\o\al(4,7))＝eq\f(2,7)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,7)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5)C\o\al(0,2),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,7).从而Y的分布列为Y260023002000Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)∴E(Y)＝2600×eq\f(2,7)＋2300×eq\f(4,7)＋2000×eq\f(1,7)＝eq\f(16400,7)(元)．3．解：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600千瓦时为事务A，则P(A)＝eq\f(3,5).由已知可得从该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600千瓦时的户数为X，X听从二项分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(3,5)))，故E(X)＝10×eq\f(3,5)＝6.(2)设该县居民户年均用电量为E(Y)，由抽样可得E(Y)＝100×eq\f(7,50)＋300×eq\f(8,50)＋500×eq\f(15,50)＋700×eq\f(13,50)＋900×eq\f(7,50)＝520(千瓦时)，则该村年均用电量约156000千瓦时．又该村所装发电机组年预料发电量为300000千瓦时，故该机组每年所发电量除保证该村正常用电外还能剩余电量约144000千瓦时，能为该村创建干脆收益144000×0.8＝115200元．4．解：(1)设A级部的数学成果的中位数为x，则0.18＋0.23＋(x－110)×0.029＝0.5.解得x≈113.10.众数：eq\f(110＋120,2)＝115(分)．设B级部的数学成果的中位数为y，则0.08＋0.16＋0.24＋(y－120)×0.028＝0.5.解得y≈120.7.众数：eq\f(120＋130,2)＝125(分)．从A，B两个级部的数学成果的中位数和众数的估计值看，B级部的数学成果的两个数据都大于A级部的数据，故初步分析B级部的数学成果优于A级部的数学成果．(2)分类优秀不优秀合计A级部793100B级部2476100合计31169200由列联表可知K2的观测值＝eq\f(200×93×24－76×72,169×31×100×100)≈11.033＞6.635.∴有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关．(3)①依题意B级部的100个样本利用分层抽样的方法再抽取的25人中“优秀”的有6人，“不优秀”的有19人．则从这25人中随机抽出2人至少有一个为“优秀”的概率为p＝1－eq\f(C\o\al(2,19),C\o\al(2,25))＝eq\f(43,100)＝0.43.②由题意可知，随机变量X听从二项分布X～B(25,0.24)，则E(X)＝6；D(X)＝25×0.24×0.76＝4.56.5．解：(1)由题意知：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋4＋5＋6＋8＋9,7)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(100＋80＋50＋40＋35＋25＋20,7)＝50，iyi＝1250，eq\o\al(2,i)＝227，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(1250－7×5×50,227－7×52)＝－9.62，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝98.10，故y关于x的线性回来方程为：eq\o(y,\s\up6(^))＝－9.62x＋98.10.(2)当人数为10万人时，即x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－9.62×10＋98.10＝1.9，故人数为10万人时，PM2.5的值为1.9.(3)由题意可知，第一周到第七周内有五周空气质量为优．则随机变量X的可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(5,35)＝eq\f(1,7)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(20,35)＝eq\f(4,7)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(10,35)＝eq\f(2,7).∴X的分布列如下X123Peq\f(1,7)eq\f(4,7)eq\f(2,7)∴E(X)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(4,7)＋3×eq\f(2,7)＝eq\f(15,7).6．解：(Ⅰ)∵物理原始成果ξ～N(60,132)，则P(47<ξ<86)＝P(47<ξ<60)＋P(60≤ξ<86)＝eq\f(0.682,2)＋eq\f(0.954,2)＝0.818，∴物理原始成果在(47,86)的人数为2000×0.818＝1636(人)．(Ⅱ)随机抽取1人，其成果在区间[61,80]的概率为eq\f(2,5)，∴随机抽取3人，则X可取0,1,2,3，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(2,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2·eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)；P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125).∴X的分布列为X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)数学期望E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).7．解：(1)由频率等于概率，因此利用频率分布直方图结合频率＝组距×eq\f(频率,组距)，可求出各日需求量所在区间的概率；(2)先依据频率分布直方图计算出销售量不低于350千克和低于350千克的概率，结合相互独立事务公式求①；②分别计算出进货300千克和400千克时，利润的分布列，求出各期望值，通过期望值中的比较选择期望值较大的一个．(1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于350千克的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则将来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350千克，而另一天日销售量低于350千克的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192.(2)①X可取100,200,300,400,500，P(X＝100)＝0.0010×100＝0.1；P(X＝200)＝0.0020×100＝0.2；P(X＝300)＝0.0030×100＝0.3；P(X＝400)＝0.0025×100＝0.25；P(X＝500)＝0.0015×100＝0.15.∴X的分布列为X100200300400500P0.10.20.30.250.15②当每日进货300千克时，利润Y1可取－100,700,1500，此时Y1的分布列为Y1－1007001500P0.10.20.7此时利润的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180(元)；当每日进货400千克时，利润Y2可取－400,400,1200,2000，此