2025届高考数学一轮知能训练第二章函数导数及其应用第14讲函数模型及其应用含解析

PAGE5-第14讲函数模型及其应用1．(2024年北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，图X2­14­1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况．下列叙述中正确的是()图X2­14­1A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗10L汽油D．某城市机动车最高限速80km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2．(2024年浙江嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的平安传输，在传输过程中须要对文件加密，有一种隐私密钥密码系统(Private－KeyCryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“eq\f(1,256)”，解密后得到的明文是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．2D.eq\f(1,8)3．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分)满意的函数关系为p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图X2­14­2记录了三次试验的数据．依据所述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()图X2­14­2A．3.50分B．3.75分C．4.00分D．4.25分5．某商场在节日期间实行促销活动，规定：(1)若所购商品标价不超过200元，则不赐予实惠；(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分赐予9折实惠；(3)若所购商品标价超过500元，其500元内(含500元)的部分按第(2)条赐予实惠，超过500元的部分赐予8折实惠．某人来该商场购买一件家用电器共节约330元，则该件家电在商场标价为()A．1600元B．1800元C．2000元D．2200元6．某厂有很多形态为直角梯形的铁皮边角料，如图X2­14­3，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()图X2­14­3A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝147．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时，总费用最小．8．已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x之间满意关系y＝a·0.5x＋b，现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件，则该产品3月份的产量为________万件．9．(2024年四川)某公司为激励创新，安排逐年加大研发资金投入．若该公司2024年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金起先超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2024年B．2024年C．2024年D．2024年10．(2024年广东湛江模拟)一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个微小的小孔渐渐地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发觉容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有起先时的八分之一．11．(2024年江苏江阴模拟)对于一个声强为I(单位：W/m2)的声波，其声强级L(单位：dB)可由如下公式计算：L＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是能引起听觉的最弱声强)．设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I2时的声强级为60dB，则I1是I2的________倍．12．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采纳价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每户用量不超过最低限量a(m3)时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a(m3)时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量/m3水费/元1992151932233(1)请依据上表中的数据，求a，b，c的值；(2)写出某户在一个月中的水费y元与在这个月中的用水量x(m3)的函数关系式．

第14讲函数模型及其应用1．D2．A解析：由已知，可得当x＝4时，y＝2，∴2＝k·43，解得k＝eq\f(2,43)＝eq\f(1,32)，故y＝eq\f(1,32)x3.令y＝eq\f(1,32)x3＝eq\f(1,256)，即x3＝eq\f(1,8)，解得x＝eq\f(1,2).故选A.3．C4．B解析：由题中图形知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0.7，,16a＋4b＋c＝0.8，,25a＋5b＋c＝0.5.))解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16).∵t>0，∴当t＝eq\f(15,4)＝3.75时，p取最大值．故t＝3.75分为最佳加工时间．故选B.5．C解析：不超过200元，则不赐予实惠；200元至500元部分节约30元；超过500元的部分赐予8折实惠，节约了300元，则超过500元的部分为1500元，故该件家电在商场标价为2000元．6．A解析：由三角形相像，得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，则x＝eq\f(5,4)·(24－y)．∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180.∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.7．40解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96.又当v＝10时，k×102＝6.解得k＝0.06.∴每小时的总费用y＝0.06v2＋96.匀速行驶10海里所用的时间为eq\f(10,v)小时，故总费用为W＝eq\f(10,v)y＝eq\f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(0.6v×\f(960,v))＝48.当且仅当0.6v＝eq\f(960,v)，即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/时．8．1.75解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5a＋b＝1，,0.52a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))故当x＝3时，y＝－2×0.53＋2＝1.75.9．B解析：设从2024年后第n年该公司全年投入的研发资金起先超过200万元，由已知，得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>eq\f(200,130).两边取常用对数，得nlg1.12>lgeq\f(200,130).∴n>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.3－0.11,0.05)＝3.8.∴n≥4.故选B.10．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，故e－8b＝eq\f(1,2).当容器中的沙子只有起先时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，∴再经过16min容器中的沙子只有起先时的八分之一．11．10解析：依题意，可知70＝10lgeq\f(I1,I0)，60＝10lgeq\f(I2,I0)，∴70－60＝10lgeq\f(I1,I0)－10lgeq\f(I2,I0)，则1＝lgeq\f(I1,I2)，∴eq\f(I1,I2)＝10.12．解：(1)若a<9，依据题中所给表得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c＋9－ab＝9，,8＋c＋15－ab＝19，,8＋c＋22－ab＝33.))前两个式子相减得b＝eq\f(5,3)，后两个式子相减得b＝2，相互冲突，故a<9不行能．若9≤a<15，依据题中所给表得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c＝9，,8＋c＋15－ab＝19，,8＋c＋22－ab＝33，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝10，,b＝2，,c＝1.))若15≤a<22，依据题中所给表得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c＝