新人教版九年级数学讲义

义务教育课程标准人教版123456789第二十一章二次根式 1 3 5 7 9 第二十二章一元二次方程 第二十三章旋转 22.2中心对称图形，关于原点对称的点的坐标 第二十四章圆 第二十五章概率 25.2用列举法求概率(第三课时) 25.4课题学习键盘上字母的排列规律 重点难点多媒体1.理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义.2.会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用.3.会进行二次根式的平方运算，会对被开方数为平方数的二次根式进行化简.1.经历观察、比较、概括二次根式的定义.2.通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标2.23.通过探究(a)和a2所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质.2培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.教学教学2教学教学教学过程设计让学生了解本章的学习内容和本课的学习目标.算术平方根的意义是得出二次根础，复习算术平方根的意义便于理解定义、归纳性质.让学生理解二次根式是按形式定义的，并理解二次根式存在的条件和运算结果的非负性.通过例题分析和练习加深对二次根式“运算结果和被开方数双非一、复习引入导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质.二、探究新知(一)定义及非负性教师可指出算术平方根即正的平方根.教师可指出算术平方根即正的平方根.二次可简称)，也可读可由学生思考后进行最后师生共同归纳得师生共同分析归纳出使二次根式有意义的活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.(二)两个运算性质二次根式的位置.活动6、对(a)2中的运算顺序、运算结果进行分析出：一个非负数先开方再平方，结果不变.练习：课本例2活动7、完成课本探究2一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.练习：课本例3补充练习：1、化简：(π-4)2，(2-3)2；三、课堂训练完成课本中两个练习.1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.3、简单介绍代数式的概念.4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.五、作业设计要求学生会用算术平师生共同归纳得出性仍要求用算术平方根师生共同归纳出性质引导学生先观察、分由的反思习惯.正.听边作笔记.负”的理解.一可培养学生数感，二可有利于性质的得出，三可加深对性质的理解.对运算顺序的分析在于弄清两种运算的区别，从的要求不同，计异.补充练习在于强化二次根式的结也促使学生养成解题先观察的习非负”.这里只要求学生式”.多媒体重点难点1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质.2.通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法.培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.教学教学教学教学被开方数的最优分解因数或因式的方法.教学过程设计一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。二、探究新知(一)二次根式乘法法则活动2、给出二次根式的乘法法则②两个二次根式相乘其实就是不变，相乘归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化.(二)积的算术平方根性质活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质完成课本例2，在（12）之间补充48归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根师生行为点题，板书课题.找规律结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.学生板演利用它就可以将二次根式化简教师归纳总结，学生边听边作笔记.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式乘法的前提是二次根式有意义.乘法法则推广使学生初步掌握如何计算二次根式乘法.使学生学会化简二双向使用公式，熟练进行计算于解题速度与正号外.3分析1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根三、课堂训练完成课本练习.取最优解法.五、作业设计引导学生先观察、分由的反思习惯.结学生独立练习，巩固达成共识.师生共同归纳确率的深化理解公式及力.纳入知识系统1333.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积重点多媒体1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质.2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法.类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.双向运用ab进行二次根式除法运算.教学教学双向运用ab进行二次根式除法运算.教学教学能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算难点能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算教学过程设计一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算.二、探究新知(一)二次根式除法法则活动2、给出二次根式的除法法则②两个二次根式相除其实就是不变，相除练习：课本例4，在（12）之后补充（3）4归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.(二)商的算术平方根性质活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质完成课本例5归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.师生行为学生计算，观察对比，类比上节课知识找结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.学生板演并讲解解题过程及依据找学生说明解生先观察、分说明理由的反思习惯.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式除法的前提是二次根式有意义.使学生初步学会化简被开方式含有分数线的二次根式双向使用公式，熟教师总结学生观察刚做果，含根式的结果中根式的特点.教师及时肯定学生的结论并加以引导和整理汇总教师总结学生观察刚做果，含根式的结果中根式的特点.教师及时肯定学生的结论并加以引导和整理汇总.学生说解题方法，书写解题过程体会化简二次根式再实际问题中的应用学生独立完成巩固新知学生思考，讨论，阐述个人寻找并解释，能将不是的进行化简判断，将不成立的正确求解分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本掉分母中的根号.（三）最简二次根式概念活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是1.完成课本例7注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.三、课堂训练完成课本练习.==2.找出下列根式中的最简二次根式33.判断下列等式是否成立5592=2=22.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.3.最简二次根式概念五、作业设计练灵活进行计算形成运用技巧，以提高解题速度与正确率让学生通过结果的最终性初步感知最简二次根式的概念，继而理解概念，并为以后的计算和化简的结果设立标准强调被开方数是和式的二次根式的化简办法熟练计算和解题深化理解公式及运用使学生能判断最简二次根式正确化简二次根式纳入知识系统教教教教多媒体1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算.2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识.教学重点教学难点教学重点教学难点二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式教学过程设计一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根点题，板书课题.式的加减法运算.二、探究新知(一)二次根式加减法法则学生计算，观察活动1、类比计算，说明理由对比，类比整式让学生尝试经历5思考1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继为总结二次根式续使用？教师组织学生小的加减法法则做（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什组交流，进行讨铺垫活动2、给出二次根式的加减法法则结合探究内容师更好地理解和生总结运用法则分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.生总结运用法则开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.初步进行计算，并强化去括号1-8学生板演，并说明后的符号变化并强化去括号1-8学生板演，并说明后的符号变化2每一步的依据，然课本例2，之后补充后师生订正.，（例2的过渡。中补充括号前是负号的.(二)二次根式加减的应用分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较.分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确.三、课堂训练完成课本练习1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是()2-n2++92.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是1.进行二次根式加减运算的一般步骤.2.二次根式的熟练化简.2.二次根式加减的实际应用.五、作业设计计算:32-18-2x-75-2然后师生交流，学生进行计算.学生独立完成练习,巩固新知,师生分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.指导学生交流，教师总结感受二次根式加减的实际应用熟练计算和解题正确化简二次根式纳入知识系统重点难点多媒体1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.2.在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系.培养学生的类比运用意识教学教学教学教学灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便.教学过程设计一、复习引入导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算.二、探究新知(一)二次根式混合运算法则思考1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是（4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤.先去掉括号）.则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步.师生行为点题，板书课题.学生计算，观察对比，类比整式混合运算知识尝试计算教师组织学生小组交流，进行讨论.结合探究内容师生总结让学生尝试经历从感受式数通性.为总结二次根式的混合运算法则做铺垫更好地理解和运用初步进行计算 5)2 5)2学生板演，并说明每一步的依据，然后师生订正.课本例5，之后补充中补充完全平方公式应用.归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算.(二)二次根式混合运算的应用分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.学生独立完成练习,巩固新知,师生指导学生交流，教师总结分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.学生独立完成练习,巩固新知,师生指导学生交流，教师总结熟练计算和解题3.如图，四边形ABCD中，AB⊥BC,ADABCD的面积.熟练计算和解题纳入知识系统三、课堂训练完成课本练习纳入知识系统2S=p(p-a)(p-b)(p-c)1.进行二次根式混合运算的一般步骤.2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来简化运算.2.二次根式混合运算的应用.五、作业设计多媒体重点难点2.通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因.3.联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.1.从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力.2.经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题.培养数感和符号感，培养以联系和发展的观点学习数学的习惯教学教学教学教学进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性教学过程设计一、复习引入导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复习并总结本章知识.二、复习提升(一)基础巩固l解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱2.下列各式是最简二次根式的是()23.下列二次根式中，和32是同类二次根式的是()4.下列运算正确的是()++EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up11(9),5))归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次根式化简与运算.l解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现.2.下列各式中不是最简二次根式的是()3.下列二次根式中，和32不是同类二次根式的是()4.下列计算正确的是()师生行为点题，板书课题.学生计算，观察对比，运用本章知识独立计算教师组织学生小组交流，最后明确答案结合题目内容让学生说明各题所考查知识点，指出易错之处，错因以及解题技巧并让学生谈做题体会，以及新的发现.检验学生基本知搜集反馈信息为下一组题中更好地理解和运用基本知识做准备学生进一步运用基本知识解的综合训练奠定基础--33归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性.进一步理解知进一步理解知析能力.共同特点是非负补充分母有理化因式和分母有理化化简方为后续学习打好准备使学生系统感握各知识之间的内在联系纳入知识系统察、分析，小组讨论，再找学生解题后养成说明理由的反思习惯.生订正4-3m5-m2.能使xx成立的x的取值范围是.=x-3x-3ax的值是整数，则x的值是.7.以下结论正确的是.（填序号即可）式子a叫做二次根式一个数的平方根和它的绝对值都是非负数11.如图，有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西指导学生交流，谈收获，体会，师生总结让学生构建本章知识体系，教师展学生之间进行交流，肯定最优建构让学生阐述本节课有哪些收获，有指导学生交流，谈收获，体会，师生总结让学生构建本章知识体系，教师展学生之间进行交流，肯定最优建构让学生阐述本节课有哪些收获，有何体会，教师指导从考查知识，易错题目，典型题，解题技巧，思想方法等方面总结这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度，与实数，有理式，勾股定理等知识综合运用.(三)构建知识体系二次根式概念性质运算乘除运算加减运算混合运算三、小结归纳1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系.2.进一步理解本章知识，熟练解决相关问题.3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力.4.构建知识体系，纳入知识系统.多媒体教教学通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.教学重点教学重点教学难点的概念.教学过程设计从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.l探究课本问题21xl课本例题程.感知一元二次方程概念.师生分析概念和一般形式.点掌握概念作准备.念形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”尝试叙述高是性质符号负号，不是运算符号减号.一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念5.排球邀请赛问题中，所列方程x2-x=56的根1.课本练习2补充：指导，了解学生掌握情况，况1).在下列方程中，一元二次方程的个数是().x般形式，并正确指出其各项系数.选做：.P29：8、9多媒体1.理解一元二次方程“降次”的转化思想.全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想.教学重点教学难点教学难点教学过程设计l探究课本问题1可根据数的开方的知识解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.l解决课本思考为（x+m）2=n（n≥0）.l探究课本问题2据.学生观察所列方程特题的答案.平方法解一元二次方程.舍.步骤及注意事项:的形式.课本练习:1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实 . .笔记.多媒体经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.1.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神.2.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.3.温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.教学重点教学难点教学重点教学难点教学过程设计或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这次方程.4负数，则一元二次方程无解.般步骤.4无解.原方程无解.EQ\*jc3\*hps28\o\al(\s\up6(5),4)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up7(5),4)433．下列方程中，一定有实数解的是().方法，形成规律.练进行配方.2证明a2-b2+c2-2ac<0则一元二次方程无解.必做：P42：3（34）选做：P43：8、9体会，反思.并做出笔记.的知识体系.多媒体2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.教学重点教学难点教学重点教学难点教学过程设计6a222考.2结论的确定性.2)2a进行计算，最后写出方程的根.必做：P42：4、5选做：P43：11、12补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A体会，反思.并做出笔记.系.多媒体多媒体教学目标2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.教学重点教学难点会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因教学重点教学难点教学过程设计一种新的方法.个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.23个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，学生根据ab=0得到性.4提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次元二次方程.解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.x+y）2-y=0，求x+y的值.取公因式，体会整体思想的优越性.？（记.系.教教多媒体2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.学目教学重点教学重点教学难点教学难点教学过程设计x-x2x有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.到结论.字母系数；方程中含有两个字母系数时利用两个根均为负数的一元二次方程是().两根异号，且正根的绝对值较大的方程是()的绝对值较大.x2x2x1x必做：P43：7EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(α),β)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(β),α)结记.论的确定性.己的知识体系.教学目标教学目标多媒体1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.教学重点教学难点教学重点教学难点教学过程设计程来解决实际问题.l探究课本30页问题1l探究课本38页问题取舍.l课本46页探究2识.题，并强化运用.方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．三、课堂训练压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为().A1+25%1+70%）a元B．70%（1+25%）a元C1+25%1-70%）a元D1+25%+70%）a元的感染率为x，依题意列出的方程是().A．100（1+x）2=250B．100（1+x）+100（1+x）2=250C．100（1-x）2=250D．100（1+x）22.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题五、作业设计必做：P48：1、2、3一元选做：P49：9常见实际问题的补充作业：题的技巧多媒体通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.教学重点教学难点教学重点教学难点教学过程设计步骤及应注意的问题.l课本45页探究1期.教师提出的问题.弄清题确定问题的解.教师组织续传染别人.让学生掌握这一轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.题技巧.l课本47页探究3则原来的正方形铁片的面积是().谈一节课的收获和体会.记.况界的模型作用.第二十二章《一元二次方程》小结（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围.*（4）有理方程整式方程分式方程一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿=b2－4ac≥0时，将a、b、c代入求根公式就得到方程的根.（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。3、一元二次方程根的判别式（1）⊿=b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：①⊿=b2－4ac＞0<—方程有两个不相等实数根；②⊿=b2－4ac=0<—>方程有两个相等实数根；③⊿=b2－4ac＜0<—>方程没有实数根；④⊿=b2－4ac≥0<—方程有两个实数根。①不解方程，判别方程根的情况；②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；）；注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x,x，那么x+x=-,xx=a①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；④不解方程可以求某些关于x,x的对称式的值，通常利用到：x2+x2=(x+x)2-2xx(x-x)2=(x+x)2-4xx当⊿≥0且xx=1，两根互为倒数。（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：ax2+bx+c=a（x-x1x-x2）其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。5、实际问题与一元二次方程传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。1、在下列方程中，是一元二次方程的有个.5x2、当m时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是。6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是____.8、已知2和-1是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根，则m的值为，n的值为.9、已知方程32+2x-3=()的两根10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人.11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为.2（1）两根互为相反数2）两根互为倒数3）有一根为零，另一根不为零.BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.AP万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率50%）18、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件.？（②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案1250元）（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题.和教学学目标旋转及对应点的有关概念及其应用.从活生生的数学中抽出概念.旋转及对应点的有关概念及其应用.从活生生的数学中抽出概念.教师多媒体课件学生“五个一”（学生活动）请同学们完成下面各题.3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的（1）平移的有关概念及性质.（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质.二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究.1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心.如果从现在到下课时针转了度，分针转了度，秒针转了度.共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.下面我们来运用这些概念来解决一些问题.例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：解1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角.（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置.（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通（2）请画出旋转中心和旋转角.（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的2）画图略3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的.三、巩固练习教材P56练习1、2、3.例3．两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方1形中心重合，不难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固定不动，另一4说明理由.分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说解：面积不变.理由：设任转一角度，如图所示.在Rt△ODD′和Rt△OEE′中OD=OD1五、归纳小结（学生总结，老师点评）1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念.2．旋转的对应点及其它们的应用.思和教学目标理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质.从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识.图形的旋转的基本性质及其应用.运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.教师多媒体课件学生“五个一”（学生活动）老师口问，学生口答.3．请独立完成下面的题目.如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否（老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的.二、探索新知上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△老师点评1）距离相等2）夹角相等3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验.请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形 （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等.即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.综合以上的实验操作和刚才作的（3得出（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等.例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形.分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠=ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示.解1）连结CD（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD则B′即为所求的B的对应点.则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形.14ABF是△ADE的旋转图形.分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形.解1）旋转中心是A点.（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的∴∠DAB=90°就是旋转角DE=4∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE∴△EAF是等腰直角三角形.三、巩固练习教材P58练习1、2.使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系.分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的五、归纳小结（学生总结，老师点评）2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用.思教材P604、5.和教学目标理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案.复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案.让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情.用旋转的有关知识画图.根据需要设计美丽图案.教师多媒体课件学生“五个一”1学生活动）老师口问，学生口答.（2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋2．请同学独立完成下面的作图题.出△AOB旋转后的三角形.二、探索新知从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究.1．旋转中心不变，改变旋转角画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形.2．旋转角不变，改变旋转中心画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30°的旋转图形.因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案.90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案.分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可.解1）连结OA（2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°,得A.315°的A、A、A、A、A、A.（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶.那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形.面的点O′为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了.三、巩固练习教材P59练习.例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形.分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图案.=OA；（4）所作出的图案就是所求的图案.五、归纳小结（学生归纳，老师点评）1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等.思教材P60：综合运用7、8.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题.和教复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题.学目标让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.从一般旋转中导入中心对称.教师多媒体课件学生“五个一”请同学们独立完成下题.旋转后的三角形，并写出简要作法.然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可.作法1）连结OA、OB、OC、OD；（3）分别截取OE=OB，OF=OC；（4）依次连结DE、EF、FD；即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示.二、探索新知问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：与乙图重合，△OAB与△COD重合.像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案，写出作法并回答.（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由.（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点.分析1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心.（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点.解：作法1）延长AD，并且使得DA′=AD图23-44所示.答1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点.（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合.例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形.分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可.解1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′B点关于中心D的对称点为C（B′）则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示.三、巩固练习教材P64练习1.（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积.分析1）∵BC=4，AC=4∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1解1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC1（4-x1（4-x4-x）=x2-4x+82五、归纳小结（学生归纳，老师点评）2．关于中心的对称点的概念及其运用.教材P67：1.和教学目标理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用.复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质.让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣.中心对称的两条基本性质及其运用.让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质.教师多媒体课件学生“五个一”（老师口问，学生口答）3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论.（每组推荐一人上台陈述，老师点评）（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形.第一步，画出△ABC.C′，如图1和用2所示.分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段.下面，我们就以图2为例来证明这两个结论.OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′∴△AOB≌△A′OB′得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点.同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点.因此，我们就得到1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.2．关于中心对称的两个图形是全等图形.例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.分析：中心对称就是旋转180°,关于点O成中心对称就是绕O旋转180°,因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到.解1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示.（2）同样画出点B和点C的对称点E和F.二、巩固练习教材P64：练习2.三、应用拓展例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC.分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°,便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内.解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B的位置，则△AOC≌△AO′B.又∵∠OAO′=60°,∴△AO′O为等边三角形.1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用.作业必做P68：6、7和教学目标了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用.复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用.从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识.中心对称图形的有关概念及其它们的运用.区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形.教师多媒体课件学生“五个一”（老师口述关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.关于中心对称的两个图形是全等图形.（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示.AO（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示.AOB延长BO使OD=BO，则△COD为所求的，如图所示.二、探索新知从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°,因为OA=OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．AD∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠CODO因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形.老师点评：老师边提问学生边解答.老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳.例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形.O分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分.证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、BD是平行四边形.三、巩固练习教材P66练习.例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长.分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积.解：连接AF，∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC.∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°,又四边形ABCD为矩形，∠B=90°,AB=CD=3，AD=BC=4设CF=x，则AF=x，BF=4-x，∵∠FOC=90°88五、归纳小结（学生归纳，老师点评）2．应用中心对称图形解决有关问题.设计选做教材P68综合运用5理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用.和教学学目标复习平面直角坐标系的有关概念，通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题.教师多媒体课件学生“五个一”（学生活动）请同学们完成下面三题．lA2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°,画出旋转后的图形.3．如图△ABO，绕点O旋转180°,画出旋转后的图形.老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评略）二、探索新知中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：y4D-1-3老师点评：画法1）连结AO并延长AO同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标.（学生活动）分组讨论（每四人一组讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关提问几个同学口述上面的问题.老师点评1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形.y432xx-1A-3分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可.解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y因此，线段AB的两个端点A（0，-1B（3，0）关于原点的对称点分别为A′则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′.（学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2B（点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形.老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称三、巩固练习教材P67练习.y例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺y时针旋转90°得到直线A1B1．EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up9(4),3)（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．-4-3-2-1-1O123x（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条-2直线斜率k值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由.A1B1.k（2）先求出（2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=代入求k.（3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2