春季单招数学试卷

春季单招数学试卷一、选择题

1.在下列各数中，有理数是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt[3]{-8}$

2.下列各式中，正确的是（）

A.$(-a)^2=a^2$

B.$(-a)^3=a^3$

C.$(-a)^4=a^4$

D.$(-a)^5=a^5$

3.已知$a^2=9$，则$a$的值为（）

A.$3$

B.$-3$

C.$3$或$-3$

D.$9$或$-9$

4.下列函数中，一次函数是（）

A.$y=2x+3$

B.$y=3x^2-2$

C.$y=\frac{1}{x}$

D.$y=\sqrt{x}$

5.已知函数$y=2x-1$，当$x$取$3$时，$y$的值为（）

A.$5$

B.$6$

C.$7$

D.$8$

6.在下列各数中，无理数是（）

A.$\sqrt{3}$

B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$

C.$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

D.$\sqrt{2}-\sqrt{3}$

7.已知函数$y=\frac{1}{x}$，当$x$取$2$时，$y$的值为（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{4}$

C.$\frac{1}{8}$

D.$\frac{1}{16}$

8.在下列各式中，等式成立的是（）

A.$a^2=b^2$，则$a=b$

B.$a^2=b^2$，则$a=\pmb$

C.$a^2=b^2$，则$|a|=|b|$

D.$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$

9.已知函数$y=3x+2$，当$x$取$-1$时，$y$的值为（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

10.在下列各数中，整数是（）

A.$\sqrt{25}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\sqrt{2}$

D.$\pi$

二、判断题

1.二次函数的图像是一个圆（）

2.如果一个方程有两个相同的实数根，那么这个方程一定是完全平方公式（）

3.函数$y=\frac{1}{x}$的图像在第一象限内是单调递增的（）

4.对称轴垂直于坐标轴的二次函数的顶点坐标是$(h,k)$，其中$h$和$k$分别是顶点的横纵坐标（）

5.在平面直角坐标系中，点$(x,y)$到原点的距离可以用公式$\sqrt{x^2+y^2}$来计算（）

三、填空题

1.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$可以表示为$a_n=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.如何判断一个函数是否为一次函数？请给出一个一次函数的例子，并说明其特点。

3.简述二次函数的图像特点，并解释为什么二次函数的图像是抛物线形状。

4.请解释函数$y=\sqrt{x}$的定义域和值域，并说明为什么它的定义域是$x\geq0$。

5.简述等差数列和等比数列的定义，并举例说明。同时，解释等差数列和等比数列的通项公式是如何推导出来的。

五、计算题

1.解一元二次方程$2x^2-4x-6=0$，并写出解的步骤。

2.计算下列函数在指定点的值：$y=3x^2-2x+1$，当$x=2$时，求$y$的值。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，求第$10$项$a_{10}$的值。

4.求下列等比数列的前$5$项：首项$a_1=2$，公比$r=3$。

5.计算下列函数的极值点：$y=x^3-3x^2+4x+1$，并说明如何找到极值点。

六、案例分析题

1.案例背景：某工厂生产一批产品，每件产品的成本为$10$元，售价为$15$元。根据市场调查，如果售价降低$1$元，销量将增加$50$件。现在工厂希望确定一个售价，以使得利润最大化。

案例分析：

（1）建立利润函数$P(x)$，其中$x$为售价降低的次数（每次降低$1$元）。

（2）求出利润函数$P(x)$的表达式。

（3）求出使得利润最大化的售价，并计算最大利润。

2.案例背景：某班级有$30$名学生，平均成绩为$75$分。为了提高学生的成绩，班主任决定进行一次辅导课。根据以往经验，辅导课后学生的成绩平均提高$5$分。现在班主任希望确定辅导课的频率，以使得班级平均成绩提高最多。

案例分析：

（1）建立班级平均成绩的函数$A(t)$，其中$t$为辅导课的次数。

（2）求出班级平均成绩函数$A(t)$的表达式。

（3）求出使得班级平均成绩提高最多的辅导课频率，并计算最大平均成绩提高值。

七、应用题

1.应用题背景：某商店以$50$元的单价购进一批商品，若每件商品提价$5$元，则可以售出$200$件。现在商店想要提高利润，决定将提价改为每件商品提价$x$元，并希望售出$180$件。

（1）建立销售利润$P(x)$关于提价金额$x$的函数。

（2）求出利润最大化的提价金额$x$，并计算最大利润。

2.应用题背景：一辆汽车以$60$公里/小时的速度行驶了$3$小时，然后以$80$公里/小时的速度行驶了$2$小时。求这辆汽车在整个行驶过程中的平均速度。

（1）计算汽车在前$3$小时内行驶的距离。

（2）计算汽车在后$2$小时内行驶的距离。

（3）计算汽车行驶的总距离和总时间。

（4）求出汽车的平均速度。

3.应用题背景：一个长方体的长、宽、高分别为$8$厘米、$6$厘米和$5$厘米。现在要将这个长方体切割成若干个相同的小长方体，使得每个小长方体的体积尽可能大。

（1）求出小长方体的最大体积。

（2）计算需要切割成多少个小长方体。

4.应用题背景：某工厂生产一种产品，每生产一件产品的固定成本为$5$元，变动成本为$2$元。市场调查表明，如果产品售价提高$1$元，需求量将减少$10$件。现在工厂希望确定一个售价，使得总利润达到最大。

（1）建立总利润$L(x)$关于售价$x$的函数。

（2）求出使得总利润最大的售价$x$，并计算最大总利润。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.C

3.C

4.A

5.A

6.C

7.A

8.D

9.B

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.×

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.$a_n=a_1+(n-1)d$

2.$y=3x-2$

3.$a_{10}=3+(10-1)\times2=21$

4.$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$

5.$y=x^3-3x^2+4x+1$的极值点为$x=1$和$x=2$

四、简答题答案：

1.一元二次方程的解法