2025年北师大新版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，记事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A.A与DB.A与BC.B与CD.B与D2、函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为()A.x＝B.x＝C.x＝D.x＝3、设P、Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q={x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}．如果则P⊙Q=（）A.[0，1]∪（2，+∞）B.[0，1]∪[4，+∞）C.[1，4]D.（4，+∞）4、已知数列中，则的通项公式为（）A.B.C.D.5、定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），都有（x2-x1）•[f（x2）-f（x1）]＞0，则（）A.f（-2）＜f（1）＜f（3）B.f（1）＜f（-2）＜f（3）C.f（3）＜f（-2）＜f（1）D.f（3）＜f（1）＜f（-2）6、已知集合S={1,2}

设S

的真子集有m

个，则m=(

)

A.4

B.3

C.2

D.1

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、若数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则通项an=____．8、已知为第四象限角，则9、【题文】正方体中，是的中点，则四棱锥的体积为______________．10、已知函数f（x）=ax3﹣bx+1，若f（﹣2）=3，则f（2）=____．11、已知平面向量a鈫�

与b鈫�

的夹角为120鈭�

且|a鈫�|=2|b鈫�|=4

若(ma鈫�+b鈫�)隆脥a鈫�

则m=

______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)12、(本小题满分8分)已知函数（1）求证：函数在上为增函数；（2）当函数为奇函数时,求的值；（3）当函数为奇函数时,求函数在上的值域.13、建造一个容积为8立方米；深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米1百元，池底的造价为每平方米3百元，设总造价为y（百元），底面一边长为x（米）．

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）求出总造价y的最小值．

14、(本小题满分14分)已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数使得弦的垂直平分线过点若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．15、已知圆（Ⅰ）若过定点()的直线与圆相切，求直线的方程；（Ⅱ）若过定点()且倾斜角为的直线与圆相交于两点，求线段的中点的坐标；(Ⅲ)问是否存在斜率为的直线使被圆截得的弦为且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由。16、【题文】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，⊥底面

底面为正方形，分别是

的中点．

（1）求证：（2）设PD="AD=a,"求三棱锥B-EFC的体积.

17、心理学家发现；学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定．分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为x（单位：分），学生的接受能力为f（x）（f（x）值越大，表示接受能力越强）；

（1）开讲后多少分钟；学生的接受能力最强？能维持多少时间？

（2）试比较开讲后5分钟；20分钟、35分钟；学生的接受能力的大小；

（3）若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？18、已知向量与的夹角为||=3，记

（I）若求实数k的值；

（II）当时，求向量与的夹角θ．评卷人得分四、作图题(共2题，共10分)19、作出下列函数图象：y=20、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、证明题(共1题，共7分)21、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分六、综合题(共1题，共7分)22、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】试题分析：抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“向上的点数是2的倍数”，事件D为“2点或4点向上”．事件A、B既是互斥事件也是对立事件；所以B不正确．B与C是相同事件，不是互斥事件；所以C不正确．B与D不是互斥事件，所以D不正确．A与D是互斥事件，但不是对立事件，所以A正确．故选：A．考点：对立事件和互斥事件．【解析】【答案】A2、A【分析】【解答】对于函数的对称轴方程为则令解得函数的对称轴方程为当有所以正确答案为A.3、A【分析】【解答】因为P⊙Q={x|x∈P∪Q；且x∉P∩Q}．

由图形可知P⊙Q=[0；1]∪（2，+∞）

故先A

【分析】根据已知得到P、Q中的元素y，然后根据P⊙Q={x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}求出即可．4、C【分析】［分析］本题主要考查的是等差数列。由条件可知是以3为首项，-2为公差的等差数列。所以应选C。5、C【分析】解：∵对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），都有（x2-x1）•[f（x2）-f（x1）]＞0；

故f（x）在x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2）单调递增．

又∵f（x）是偶函数；

∴f（x）在[0；+∞）上单调递减；

且满足n∈N*时；f（-2）=f（2）；

由3＞2＞1＞0；

得f（3）＜f（-2）＜f（1）；

故选：C．

先根据对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），都有（x2-x1）•[f（x2）-f（x1）]＞0，可得函数f（x）在（-∞，0]（x1≠x2）单调递增．进而可推断f（x）在[0；+∞）上单调递减，进而可判断出f（3），f（-2）和f（1）的大小．

本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．【解析】【答案】C6、B【分析】解：隆脽

集合S={1,2}

隆脿S

的真子集的个数为：22鈭�1=3

．

故选：B

．

若集合A

有n

个元素；则集合A

有2n鈭�1

个真子集．

本题考查了求集合的真子集的应用问题，是基础题目．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

由an+1=2an+n，可得an+1+（n+2）=2（an+n+1）；

∴数列{an+n+1}是以a1+1+1=3为首项；2为公比的等比数列．

∴

得到．

故答案为3×2n-1-n-1．

【解析】【答案】由an+1=2an+n，变形为an+1+（n+2）=2（an+n+1）；再利用等比数列的通项公式即可得出．

8、略

【分析】为第四象限角，则【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、﹣1【分析】【解答】解：∵f（﹣2）=3；

∴﹣8a+2b+1=3，即﹣8a+2b=2；

则f（2）=8a﹣2b+1=﹣2+1=﹣1；

故答案为：﹣1

【分析】根据条件建立方程关系进行求解即可．11、略

【分析】解：隆脽

向量a鈫�

与b鈫�

的夹角为120鈭�

且|a鈫�|=2|b鈫�|=4

隆脿a鈫�鈰�b鈫�=|a鈫�||b鈫�|cos120鈭�=2隆脕4隆脕(鈭�12)=鈭�4

又(ma鈫�+b鈫�)隆脥a鈫�

隆脿(ma鈫�+b鈫�)?a鈫�=m|a鈫�|2+a鈫�鈰�b鈫�=4m鈭�4=0

解得m=1

．

故答案为：1

．

由已知求出a鈫�鈰�b鈫�

的值，再由(ma鈫�+b鈫�)隆脥a鈫�

得(ma鈫�+b鈫�)?a鈫�=0

展开后得答案．

本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题．【解析】1

三、解答题(共7题，共14分)12、略

【分析】【解析】试题分析：（1）任取则因为所以故所以在R上为增函数3分（2）因在x=0有意义，又为奇函数，则即5分（3）由x∈[-1，2]得8分考点：本题考查了函数的性质及值域的求法【解析】【答案】（1）任取则因为所以故所以在R上为增函数（2）（3）13、略

【分析】

（1）∵无盖长方体蓄水池容积为8立方米；深为2米，底面一边长为x米；

∴底面另一边长为米，底面积为平方米；

∴池壁的面积为2×2x+（平方米）；

∵池壁的造价为每平方米1百元；池底的造价为每平方米3百元；

∴总造价（x＞0）

（2）

令=0；得x=2，或x=-2（舍）

∵x＞0，在（0，2]上，＞0，在[2，+∞）上，＜0；

∴y=4x++12在（0；2]上递减，在[2，+∞）上递增。

∴x=2时，y有最小值．

【解析】【答案】1）mh无盖长方体蓄水池容积为8立方米，深为2米，底面一边长为x米，知底面另一边长为米，底面积为平方米，从而求出池壁的面积为2×2x+（平方米）；再由池壁的造价为每平方米1百元，池底的造价为每平方米3百元，能求出总造价．

（2）由知令=0，得x=2，或x=-2（舍），由y=4x++12在（0；2]上递减，在[2，+∞）上递增，知x=2时，y有最小值，由此能出总造价y的最小值．

14、略

【分析】

（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为所以即．因为为整数，故．故所求圆的方程为．4分（Ⅱ）把直线即．代入圆的方程，消去整理，得．由于直线交圆于两点，故．即由于解得．所以实数的取值范围是．9分（Ⅲ）设符合条件的实数存在，由于则直线的斜率为的方程为即．由于垂直平分弦故圆心必在上．所以解得．由于故存在实数使得过点的直线垂直平分弦．14分【解析】略【解析】【答案】22.(本小题满分14分)15、略

【分析】试题分析：（Ⅰ）求过定点直线方程，要注意斜率不存在情况是否满足题意，本题可分类讨论，也可从设法上考虑斜率不存在，即设直线的方程为：再利用圆心到直线距离等于半径即可求出直线方程，（Ⅱ）求圆中弦中点，一可利用几何条件，即圆心与弦中点连线与直线垂直，从而弦中点就为直线与连线的交点，二可利用韦达定理，根据中点坐标公式求解，（Ⅲ）以为直径的圆经过原点，这一条件如何用，是解题的关键一是利用向量垂直，二是利用圆系方程试题解析：（Ⅰ）根据题意，设直线的方程为：联立直线与圆的方程并整理得：2分所以从而，直线的方程为：4分（Ⅱ）根据题意，设直线的方程为：代入圆方程得：显然6分设则所以点的坐标为8分（Ⅲ）假设存在这样的直线联立圆的方程并整理得：当9分设则所以10分因为以为直径的圆经过原点，所以均满足所以直线的方程为：13分（Ⅲ）法二：可以设圆系方程则圆心坐标圆心在直线上，且该圆过原点。易得b的值。考点：直线与圆相切，弦中点，圆方程【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）、证明：四边形为正方形；

．

．

．

．6分。

（2）解：连接AC,DB相交于O,连接OF,

则OF⊥面ABCD,

∴12分17、略

【分析】

（1）求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值；方法是分别求出各段的最大值取其最大即可；

（2）比较5分钟；20分钟、35分钟学生的接受能力大小；方法是把x=5代入第一段函数中，而x=20要代入到第三段函数中，x=35代入第四段函数，比较大小即可。

（3）在每一段上解不等式f（x）≥56；求出满足条件的x，从而得到接受能力56及以上的时间，然后与12进行比较即可．

本题主要考查了函数模型的选择与应用，此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．【解析】解：（1）由题意可知：0＜x≤10

f（x）=-0.1（x-13）2+60.9

所以当x=10时；f（x）的最大值是60，（2分）

又10＜x≤15；f（x）=60（3分）

所以开讲后10分钟；学生的接受能力最强，并能维持5分钟．（4分）

（2）由题意可知：f（5）=54.5；f（20）=45，f（35）=30（5分）

所以开讲后5分钟；20分钟、35分钟的学生的接受能力从大小依次是。

开讲后5分钟；20分钟、35分钟的接受能力；（6分）

（3）由题意可知：

当0＜x≤10，f（x）=-0.1（x-13）2+60.9≥56

解得：6≤x≤10（7分）

当10＜x≤15时；f（x）=60＞56，满足要求；（8分）

当15＜x≤25时；-3x+105≥56

解得：15＜x≤16（9分）

因此接受能力56及以上的时间是10分钟小于12分钟．

所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题．（10分）18、略

【分析】

（I）若两个向量垂直的性质可得=0；由此求得实数k的值．

（II）解法一：当时，求的cos＜=1，从而求得向量与的夹角θ的值．

解法二：根据当时，=可得向量与的夹角θ的值．

本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，属于中档题．【解析】解：（I）由于又∵可得=（3-2）•（2+k）

=6+（3k-4）-2k=24-3（3k-4）-2k×9=36-27k=0，求得．

（II）

因为0≤θ≤π；∴θ=0．

解法二：当时，

所以同向，∴θ=0（12分）四、作图题(共2题，共10分)19、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．20、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、证明题(共1题，共7分)21、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．六、综合题(共1题，共7分)22、略