2025年外研衔接版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y=xαx∈[0；+∞）是增函数的概率为（）

A.

B.

C.

D.

2、下列程序语句不正确的是（）A.INPUT“MATH=”；a+b+cB.PRINT“MATH=”；a+b+cC.a=b+cD.a=b-c3、如右图所示，正三棱锥(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）A.30°B.90°C.60°D.随点的变化而变化.4、函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是()5、【题文】椭圆上有两个动点P、Q,E(3，0),EPEQ,则的最小值为（）A.6B.C.9D.6、【题文】在映射且则与A中的元素对应的中的元素为()A.B.C.D.7、【题文】若是实常数，则“”是“对任意有的A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.8、若二次函数f（x）=（m﹣1）x2+2mx+1是偶函数，则f（x）在区间（﹣∞，0]上是（）A.增函数B.先增后减函数C.减函数D.先减后增函数9、若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点用二分法计算；附近的函数值参考数据如表：

。f（1）=-2f（1.5）=0.625f（1.25）=-0.984f（1.375）=-0.260f（1.4375）=0.162f（1.40625）=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.25B.1.34C.1.4375D.1.5评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、元素-3与集合N之间的关系可以表示为____．11、已知a=20.6，b=0.62，则实数a、b的大小关系为____．12、【题文】函数的值域为____.（其中为自然底数）13、【题文】已知函数的定义域为R，且对任意都有

若则____.14、【题文】若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=则（1）是E的第____个子集；（2）E的第211个子集是____．15、已知函数f（x）=．若a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c），则（ab+2）c的取值范围是____．16、求值log345-log35=______．17、已知m∈R，函数f（x）=g（x）=x2-2x+2m2-1，若函数y=f（g（x））-m有6个零点则实数m的取值范围是______．18、在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，则圆C的方程为______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)19、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．21、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．22、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．23、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．24、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．25、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、作图题(共4题，共16分)26、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．27、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．28、作出下列函数图象：y=29、请画出如图几何体的三视图．

评卷人得分五、解答题(共4题，共32分)30、【题文】函数

①求函数的定义域；②求的值；（10分）31、【题文】（本小题满分12分）

已知圆C的圆心为原点O，且与直线x+y+=0相切.

（1）求圆C的方程；

（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B,求证：直线AB恒过定点.32、某校从参加市联考的甲；乙两班数学成绩110

分以上的同学中各随机抽取8

人；将这16

人的数学成绩编成如下茎叶图．

(

Ⅰ)

茎叶图中有一个数据污损不清(

用鈻�

表示)

若甲班抽出来的同学平均成绩为122

分，试推算这个污损的数据是多少？

(

Ⅱ)

现要从成绩在130

分以上的5

位同学中选2

位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率．33、(2)

如图，在鈻�ABC

中，D

是BC

的中点，AE鈫�=FD鈫�=14AD鈫�

(i)

若BA鈫�?CA鈫�=4BF鈫�?CF鈫�=鈭�1

求BE鈫�?CE鈫�

的值；

(ii)

若P

为AD

上任一点，且PA鈫�?PC鈫�鈮�EA鈫�?EC鈫�

恒成立，求证：2AC=BC

．评卷人得分六、综合题(共2题，共20分)34、如图；⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．

（1）求证：AM∥BN；

（2）求y关于x的关系式；

（3）求四边形ABCD的面积S．35、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A；B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

由框图可知A={3；0，-1，8，15}；

其中基本事件的总数为5；

设集合中满足“函数y=xα；x∈[0，+∞）是增函数”为事件E；

当函数y=xα；x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0

事件E包含基本事件为3；

则．

故选C．

【解析】【答案】先根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数y=xα；x∈[0，+∞）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．

2、A【分析】【解析】试题分析：输入语句要求输入的值只能是常数，不能是函数、变量或表达式，所以A不正确.考点：本小题主要考查算法语句的格式.【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】

连接BF，可证AC⊥平面VBF。DE∥AC，所以DE与PF所成的角的大小为90°【解析】【答案】B4、D【分析】试题分析：当时知图象经过定点排除不符合条件的选项，从而得出结论．考点：指数函数的图像变换．【解析】【答案】D5、A【分析】【解析】

试题分析：由数量积的定义可知=设==（），所以当时，有最小值为6.

考点：1、向量数量积的定义；2、函数的最值.【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】设则

故选A【解析】【答案】A7、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A8、A【分析】【解答】解：因为二次函数f（x）=（m﹣1）x2+2mx+1是偶函数；

所以（m﹣1）x2﹣2mx+1=（m﹣1）x2+2mx+1对任意实数x恒成立；

所以m=0，函数f（x）=﹣x2+1；为以y轴为对称轴，开口向下的抛物线；

所以此函数在（﹣∞；0]为增函数；

故选A．

【分析】首先根据函数的奇偶性求出m的值，然后借助于二次函数的图象分析单调区间．9、C【分析】解：∵f（1.4375）f（1.40625）＜0；

∴函数f（x）在区间（1.40625，1.4375）内有一个零点，且是最大的零点，故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1）为1.4；

故选C．

由表格找出最大的零点区间即可．

熟练掌握零点的判断方法是解题的关键．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

元素-3不是自然数；

集合N表示自然数集；

元素-3与集合N之间的关系应表示为：-3∉N

故答案为：-3∉N

【解析】【答案】集合N表示自然数集；-3不是自然数，故应该用不属于符号连接．

11、略

【分析】

根据指数函数的性质有。

∵20.6＞2=1，0.62＜0.6=1，∴a＞b

故答案为：a＞b

【解析】【答案】根据指数函数的性质，分别考查指数函数y=2x，y=0.6x；利用函数的单调性可以判断．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于可知。

可知函数在给定的定义域内先减后增，在x=1处取得最小值1，在x=e处取得最大值e-1，故答案为

考点：函数的值域。

点评：解决的关键是结合函数的单调性来求解值域，属于基础题。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】-514、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由题意新定义知，中故第一空应填5；

（2）因为所以E的第211个子集包含此时211-128=83；又因为所以E的第211个子集包含此时83-64=19；又因为所以E的第211个子集包含此时19-16=3；又因为所以E的第211个子集包含此时3-2=1；因为所以E的第211个子集包含故E的第211个子集是．故第二空应填．

考点：子集与真子集；新定义．【解析】【答案】（1）5；（2）．15、（27，81）【分析】【解答】解：由a＜b＜c；根据已知画出函数图象：

∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log3a=log3b=﹣c+4；

∴log3（ab）=0；0＜﹣c+4＜1；

解得ab=1；3＜c＜4；

∴（ab+2）c=3c∈（27；81）．

故答案为：（27；81）．

【分析】先画出图象，再根据条件即可求出其范围，利用f（a）=f（b）=f（c），可得﹣log3a=log3b=﹣c+4，由此通过指数函数的单调性，可确定（ab+2）c的取值范围．16、略

【分析】解：log345-log35=log39=2．

故答案为：2．

直接利用对数运算法则化简求解即可．

本题考查导数的运算法则的应用，是基础题．【解析】217、略

【分析】解：函数f（x）=的图象如图所示；

令g（x）=t；y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点；

当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3；

由于函数y=f（g（x））-m有6个零点，t=x2-2x+2m2-1；

则每一个t的值对应2个x的值；则t的值不能取最小值；

函数t=x2-2x+2m2-1的对称轴x=1，则t的最小值为1-2+2m2-1=2m2-2；

由图可知，2t1+1=-m，则

由于t1是交点横坐标中最小的，满足＞2m2-2①；

又0＜m＜3②；

联立①②得0＜m＜．

∴实数m的取值范围是（0，）．

故答案为：．

令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））-m有6个零点，则t=x2-2x+2m2-1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其大于2m2-2；结合0＜m＜3求得实数m的取值范围．

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属于有一定难度题目．【解析】18、略

【分析】解：由题意，设圆心坐标为（3，b）

令x=0，则y=1；令y=0，则x=3±2

∴（3-0）2+（b-1）2=（±2）2+b2；

∴b=1

∴（3-0）2+（b-1）2=9

∴圆C的方程为（x-3）2+（y-1）2=9

故答案为：（x-3）2+（y-1）2=9

设出圆心坐标，求出曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点；利用交点都在圆C上，即可求得圆C的方程．

本题考查圆的标准方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．【解析】（x-3）2+（y-1）2=9三、证明题(共7题，共14分)19、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．21、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=22、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．23、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．24、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．25、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、作图题(共4题，共16分)26、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．27、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．28、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．29、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．五、解答题(共4题，共32分)30、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了函数定义域和函数解析式的运用。

（1）若使f(x)有意义，得到结论。

（2）将已知中的变量代入解析式中可知函数值。

解1、若使f(x)有意义，

2、

【解析】【答案】1、

2、

31、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

32、略

【分析】

(I)

设出污损的数据；代入甲班平均成绩的计算公式，解方程可得污损的数据．

(II)

甲班130

分以上的有2

人；乙班130

分以上的有3

人，用树图法写出所以选法，找出不在同一班的选法，根据古典概型计算概率．

本题主要考查了茎叶图，古典概型求概率，本题解答的关键是读懂茎叶图．【解析】解：(

Ⅰ)

设污损的数据为x

则甲班抽出来的同学的平均成绩为18[(110隆脕3+120隆脕3+130隆脕2)+2+2+8+0+x+7+1+3]=122

解得x=3

所以这个污损的数据是3

(

Ⅱ)

依据题意；甲班130

分以上的有2

人，编号为AB

乙班130

分以上的有3

人，编号为cde

从5

位同学中任选2

人；

所有的情况列举如下：ABAcAdAeBcBdBecdcede

共10

种结果。

其中两位同学不在同一班的有AcAdAeBcBdBe

共6

种。

所以所求概率为610=35

．33、略

【分析】

(i)

建立坐标系，设C(a,0)A(m,n)

求出各向量的坐标，根据条件列出方程组解出a2

和m2+n2

从而可得BE鈫�?CE鈫�

的值；

(ii)

设P(娄脣m,娄脣n)

根据PA鈫�?PC鈫�鈮�EA鈫�?EC鈫�

恒成立得出关于娄脣

的不等式恒成立，利用二次函数的性质得出鈻�鈮�0

从而得出mn

和a

的关系，带入距离公式化简即可得出结论．

本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量在几何中的应用，建立坐标系将向量运算转化为坐标运算，属于中档题．【解析】解：(i)隆脽AE鈫�=FD鈫�=14AD鈫�隆脿EF

为AD

的四等分点．

以BC

为x

轴；以D

为原点建立平面直角坐标系；

设B(鈭�a,0)C(a,0)A(m,n)

则E(3m4,3n4)F(m4,n4)

隆脿BA鈫�=(m+a,n)CA鈫�=(m鈭�a,n)BF鈫�=(m4+a,n4)CF鈫�=(m4鈭�a,n4)BE鈫�=(3m4+a,3n4)CE鈫�=(3m4鈭�a,3n4)

隆脽BA鈫�?CA鈫�=4BF鈫�?CF鈫�=鈭�1

隆脿{m216鈭�a2+n216=鈭�1m2鈭�a2+n2=4

解得m2+n2=163a2=43

．

隆脿BE鈫�?CE鈫�=9m216鈭�a2+9n216=916(m2+n2)鈭�a2=53

．

(ii)隆脽P

为AD

上任一点，设P(娄脣m,娄脣n)

则PA鈫�=((1鈭�娄脣)m,(1鈭�娄脣)n)PC鈫�=(a鈭�娄脣m,鈭�娄脣n)

EA鈫�=(m4,n4)EC鈫�=(a鈭�3m4,鈭�3n4)

隆脿PA鈫�鈰�PC鈫�=(1鈭�娄脣)m(a鈭�娄脣m)鈭�(1鈭�娄脣)娄脣n2=(1鈭�娄脣)(ma鈭�娄脣m2鈭�娄脣n2)EA鈫�?EC鈫�=m4(a鈭�3m4)鈭�3n216=am4鈭�3m21