成都新高二数学试卷

成都新高二数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=2x^3-3x^2+4$在$x=1$处取得极值，则该极值点为（）

A.$x=1$

B.$x=-1$

C.$x=2$

D.$x=0$

2.已知函数$y=\frac{x^2-1}{x+1}$，求该函数的对称中心为（）

A.$(1,0)$

B.$(-1,0)$

C.$(0,1)$

D.$(0,-1)$

3.设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中恒成立的是（）

A.$a^2+b^2\geq2ab$

B.$a^2+b^2\leq2ab$

C.$a^2-b^2\geq2ab$

D.$a^2-b^2\leq2ab$

4.已知$\sinx+\cosx=\sqrt{2}$，则$\sinx\cosx$的值为（）

A.$0$

B.$\frac{1}{2}$

C.$1$

D.$-1$

5.设$a,b$是方程$x^2-2x+1=0$的两个根，则$a^2+b^2$的值为（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

6.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为（）

A.$(-3,2)$

B.$(-2,3)$

C.$(3,-2)$

D.$(2,-3)$

7.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\tan\alpha$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

B.$\frac{3}{\sqrt{3}}$

C.$\frac{1}{\sqrt{3}}$

D.$\sqrt{3}$

8.已知$a,b$是方程$x^2-4x+3=0$的两个根，则$a+b$的值为（）

A.$2$

B.$3$

C.$4$

D.$5$

9.若$\sin^2x+\cos^2x=1$，则$\tan^2x$的值为（）

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.$3$

10.在直角坐标系中，点$B(-2,3)$关于原点$O$的对称点为（）

A.$(2,-3)$

B.$(-2,-3)$

C.$(-2,3)$

D.$(2,3)$

二、判断题

1.函数$y=x^3$在定义域内是单调递增的。（）

2.若$a^2+b^2=c^2$，则$a,b,c$构成直角三角形。（）

3.在直角坐标系中，点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。（）

4.三角函数的周期性是指函数值在每隔一个周期内重复出现。（）

5.平面向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的点积为零的充分必要条件是$\vec{a}$与$\vec{b}$共线。（）

三、填空题

1.函数$y=3^x$的反函数为$y=\log_3x$，其中$x$的取值范围是________。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，则第$n$项$a_n$的通项公式为$a_n=\_\_\_\_\_\_\_。

3.若$x^2-5x+6=0$，则$x^2-2x-3$的值为________。

4.在直角三角形$ABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，则斜边$AB$的长度为________。

5.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，且$\alpha$的终边在第二象限，则$\cos\alpha$的值为________。

四、简答题

1.简述函数的奇偶性的定义及其性质。

2.给定一个等比数列$\{a_n\}$，若首项$a_1=1$，公比$q=-2$，求第$n$项$a_n$的值。

3.如何求一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标？

4.在直角坐标系中，如何证明两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$在同一直线上？

5.简述三角函数的基本关系式及其在解题中的应用。

五、计算题

1.计算下列极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{x^2}$。

2.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f'(x)$。

3.求解方程组$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$。

4.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx$。

5.若函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$在$x=-1$处可导，求$f'(-1)$。

六、案例分析题

1.案例分析：某校高一年级数学课上，教师在进行函数图像的教学时，通过展示函数$y=x^2$和$y=\sqrt{x}$的图像，引导学生观察两个函数图像的异同。以下是教学过程中发生的一些情况：

（1）教师提问：“同学们，请大家观察这两个函数的图像，它们有什么相同点和不同点？”

（2）学生甲回答：“它们都有一个顶点。”

（3）学生乙回答：“它们的图像都是关于$y$轴对称的。”

（4）教师接着提问：“很好，那么它们在哪些方面不同呢？”

（5）学生丙回答：“一个是上凸的，一个是下凸的。”

请分析上述教学过程中，教师如何引导学生进行有效的观察和比较，以及学生回答中反映出的学习效果。

2.案例分析：在一次数学测验中，某班学生甲在解答选择题时，遇到了以下题目：“若$a,b$是方程$x^2-5x+6=0$的两个根，则$a^2+b^2$的值为多少？”学生甲在草稿纸上画出了方程的图像，并尝试用图像来解决问题。以下是学生甲的解题步骤：

（1）画出方程$x^2-5x+6=0$的图像。

（2）找出图像与$x$轴的交点，即方程的根。

（3）利用图像，尝试找出$a^2+b^2$的值。

请分析学生甲的解题方法，并讨论这种方法在解决类似问题时可能存在的优点和局限性。

七、应用题

1.应用题：某商品的原价为$200$元，商家为了促销，先打$8$折，然后再按照原价的$90\%$出售。求该商品的实际售价。

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$3$米、$2$米和$4$米。现要将其切割成若干个相同的小长方体，每个小长方体的体积为$24$立方米。求切割后小长方体的个数。

3.应用题：某班级有$40$名学生，其中$30$名参加了数学竞赛，$25$名参加了物理竞赛，$20$名同时参加了数学和物理竞赛。求既没有参加数学竞赛也没有参加物理竞赛的学生人数。

4.应用题：一辆汽车以$60$公里/小时的速度行驶，从$A$地出发前往$B$地。行驶了$2$小时后，汽车的速度降低到$50$公里/小时，并保持这个速度行驶了$3$小时后到达$B$地。求$A$地到$B$地的总距离。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.B

3.A

4.A

5.B

6.A

7.C

8.A

9.B

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.$x>0$

2.$a_n=3n-1$

3.$-2$

4.$5$

5.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

四、简答题答案：

1.函数的奇偶性定义：如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。性质：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于$y$轴对称。

2.$a_n=1\cdot(-2)^{n-1}=(-2)^{n-1}$

3.顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

4.两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$在同一直线上，当且仅当斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$相等。

5.三角函数的基本关系式：$\sin^2x+\cos^2x=1$，$\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}$，$\cotx=\frac{\cosx}{\sinx}$，$\secx=\frac{1}{\cosx}$，$\cscx=\frac{1}{\sinx}$。应用：在解三角方程、证明三角恒等式、求解三角函数值等方面有广泛应用。

五、计算题答案：

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{3\cos3x-3}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{9\sin3x}{2}=\frac{9}{2}$

2.$f'(x)=3x^2-12x+9$

3.$x-y=1\Rightarrowy=x-1$

代入$2x+3y=8$得$2x+3(x-1)=8\Rightarrow5x=11\Rightarrowx=\frac{11}{5}$

$y=x-1=\frac{11}{5}-1=\frac{6}{5}$

解得$x=\frac{11}{5}$，$y=\frac{6}{5}$

4.$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx=\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}-1+2=\frac{3}{2}$

5.$f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$（当$x\neq-1$）

$f'(-1)=1$（因为$f(x)$在$x=-1$处可导）

六、案例分析题答案：

1.教师通过提问引导学生观察函数图像的异同，鼓励学生积极参与讨论，体现了启发式教学的原则。学生甲、乙的回答反映了学生对函数图像的基本特征有较好的理解，但学生丙的回答则显示出对函数图像的凹凸性质有更深入的认识。整体来看，教学过程中学生的观察和比较能力得到了锻炼。

2.学生甲的解题方法利用了图像直观地表示方程的根，并通过观察图像来解决问题。这种方法在解决类似问题时可能存在的优点是直观易懂，有助于学生建立数学模型。局限性在于，对于复杂的函数或不规则图形，图像法可能不够精确，且不适用于所有类型的数学问题。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的基础知识，包括函