北海新高考一模数学试卷

北海新高考一模数学试卷一、选择题

1.下列各题中，若\(a>0,b<0\)，则下列结论正确的是（）

A.\(a^2>b^2\)

B.\(a^3<b^3\)

C.\(a^4<b^4\)

D.\(a^5>b^5\)

2.已知函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)，若\(f(x)\)的图像关于直线\(x=-\frac{b}{2a}\)对称，则\(b\)的值为（）

A.1

B.-1

C.0

D.2

3.下列各式中，正确的是（）

A.\(a^2>b^2\)，则\(a>b\)

B.\(a^2<b^2\)，则\(a<b\)

C.\(a^3<b^3\)，则\(a<b\)

D.\(a^4<b^4\)，则\(a<b\)

4.若函数\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-1\)的图像在\(x=1\)处取得极值，则该极值是（）

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

5.若函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x-6\)的图像在\(x=1\)处取得极值，则该极值是（）

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

6.下列函数中，图像与\(y=x^2\)的图像相同的是（）

A.\(y=(x-1)^2\)

B.\(y=(x+1)^2\)

C.\(y=(x-1)^3\)

D.\(y=(x+1)^3\)

7.若函数\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)在\(x=1\)处取得极值，则下列结论正确的是（）

A.\(a\neq0\)

B.\(b\neq0\)

C.\(c\neq0\)

D.\(d\neq0\)

8.若函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x-6\)在\(x=1\)处取得极值，则该极值是（）

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

9.下列函数中，图像与\(y=x^2\)的图像相同的是（）

A.\(y=(x-1)^2\)

B.\(y=(x+1)^2\)

C.\(y=(x-1)^3\)

D.\(y=(x+1)^3\)

10.若函数\(f(x)=2x^3-3x^2+4x-1\)的图像在\(x=1\)处取得极值，则该极值是（）

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

二、判断题

1.在一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)中，若\(a\neq0\)，则该方程一定有实数根。（）

2.函数\(f(x)=x^3\)在定义域内是增函数。（）

3.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，则\(a>0\)。（）

4.函数\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）在\(x\)轴上没有零点。（）

5.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x\)轴上有两个交点，则\(a\neq0\)。（）

三、填空题

1.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，且顶点坐标为\((h,k)\)，则\(h=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.解释函数的单调性和极值之间的关系，并举例说明。

3.如何判断一个函数在某个区间内是否具有最大值或最小值？

4.简述函数的图像变换规律，并举例说明。

5.请简述导数的概念及其几何意义，并解释如何利用导数判断函数的增减性。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：

\(f(x)=3x^4-2x^3+4x^2-7x+1\)

2.解下列一元二次方程，并求出方程的判别式：

\(2x^2-5x+3=0\)

3.已知函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x-1\)，求函数在\(x=2\)处的切线方程。

4.已知函数\(f(x)=\frac{2x-1}{x+3}\)，求函数的极值，并说明在极值点处的函数性质。

5.设函数\(f(x)=x^2\lnx\)，求\(f(x)\)的导数，并求\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程。

六、案例分析题

1.案例分析：某工厂生产一种产品，其成本函数为\(C(x)=1000+4x+0.1x^2\)，其中\(x\)为生产的件数。已知该产品的市场需求函数为\(D(x)=100-x\)，求：

a.求工厂的总收入函数\(R(x)\)和利润函数\(P(x)\)；

b.当\(x=50\)时，工厂的利润是多少？

c.求工厂的最大利润以及实现最大利润时的产量。

2.案例分析：某商店在销售一种商品时，发现其销售量与价格之间存在以下关系：\(Q(p)=-5p^2+20p-15\)，其中\(p\)为商品的价格，\(Q\)为销售量。已知该商品的成本为每件10元，求：

a.求该商品的销售收入函数\(S(p)\)；

b.若商店希望获得的最大利润为500元，应将商品的价格定为多少？

c.分析该商品的销售量与价格之间的关系，并讨论在何种价格区间内，商店的销售量会增加或减少。

七、应用题

1.应用题：某城市居民用电量与电费之间的关系可以近似表示为线性函数\(f(x)=mx+b\)，其中\(x\)为月用电量（千瓦时），\(f(x)\)为月电费（元）。已知当\(x=100\)时，\(f(x)=30\)；当\(x=200\)时，\(f(x)=70\)。求该线性函数的表达式，并计算当月用电量为150千瓦时时的电费。

2.应用题：某公司生产一种产品，其固定成本为10000元，每生产一件产品的可变成本为20元。该产品的销售价格为每件40元。求：

a.求该公司的总成本函数、收入函数和利润函数；

b.当生产量为多少时，公司开始盈利？

c.若公司希望利润至少为2000元，那么每月至少需要生产多少件产品？

3.应用题：某班学生参加数学竞赛，成绩分布近似符合正态分布，平均分为80分，标准差为10分。求：

a.该班成绩在60分至90分之间的学生所占的比例；

b.该班成绩低于70分的学生所占的比例；

c.若要选拔前5%的学生参加市赛，他们的最低成绩是多少？

4.应用题：某城市公交车票价与距离之间的关系可以表示为\(f(d)=2+0.5d\)，其中\(d\)为乘客乘坐的距离（千米）。若乘客乘坐10千米的距离，求：

a.乘客需要支付的车费；

b.若公交车票价上涨5%，求新的车费计算公式；

c.若乘客乘坐20千米的距离，根据新的车费计算公式，乘客需要支付的车费是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.A

9.A

10.A

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.\(h=-\frac{b}{2a}\)

2.\(k=-\frac{b^2-4ac}{4a}\)

3.\(h=-\frac{b}{2a}\)

4.\(k=-\frac{b^2-4ac}{4a}\)

5.\(h=-\frac{b}{2a}\)

四、简答题

1.一元二次方程的解法通常有配方法、公式法、因式分解法等。举例：解方程\(x^2-5x+6=0\)。

2.函数的单调性指函数在某区间内是递增还是递减。极值是函数在某个点附近的最大值或最小值。举例：函数\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)处取得极小值。

3.判断函数在某个区间内是否具有最大值或最小值，可以通过求导数的方法。若在某个点处导数为0，且该点两侧的导数符号不同，则该点为极值点。

4.函数的图像变换规律包括平移、伸缩、翻转等。举例：函数\(y=2x\)向上平移3个单位得到\(y=2x+3\)。

5.导数是函数在某点处的变化率。几何意义上，导数表示函数图像在该点切线的斜率。利用导数判断函数的增减性，可以通过判断导数的正负。

五、计算题

1.\(f'(x)=12x^3-6x^2+8x-7\)

2.\(x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{4}\)，即\(x=\frac{5\pm1}{4}\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{3}{2}\)，判别式\(\Delta=25-24=1\)

3.切线方程为\(y-5=2(x-2)\)

4.极大值为\(f(2)=3\)，极小值为\(f(0)=-1\)，在\(x=2\)处函数递减，在\(x=0\)处函数递增

5.\(f'(x)=2x\lnx+x\)，切线方程为\(y-0=(2\ln1+1)(x-1)\)

六、案例分析题

1.a.总收入函数\(R(x)=-5x^2+25x-15\)，利润函数\(P(x)=-5x^2+25x-15-1000-4x-0.1x^2=-5.1x^2+21x-1015\)

b.当\(x=50\)时，利润\(P(50)=-5.1\times50^2+21\times50-1015=1025\)元

c.利润函数的顶点为\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{21}{2\times(-5.1)}\approx2.04\)，最大利润约为\(P(2.04)\approx1030.5\)元，产量约为2件

2.a.销售收入函数\(S(p)=-5p^2+20p-15\)

b.利润函数\(P(p)=S(p)-10Q(p)=-5p^2+20p-15-10(-5p^2+20p-15)=50p^2-300p+300\)，当\(P(p)=500\)时，解得\(p=5\)元

c.销售量与价格的关系为\(Q(p)=-5p^2+20p-15\)，当\(p<2\)时，销售