《函数极值最值》课件

函数极值最值课程大纲函数极值的概念理解函数极值的概念，学习如何判断函数在某一点是否存在极值。函数的单调性掌握函数单调性的判定方法，并利用单调性求解函数的极值。求解极值的一般步骤学习求解函数极值的一般步骤，包括求导、求临界点、判断极值等。函数值最大最小问题了解函数值最大最小问题的定义，并学习如何求解函数的最大值和最小值。函数极值的概念极值函数在某个区间内取得的最大值或最小值称为极值。极值点是指函数取得极值时的自变量的值。极大值如果函数在某个区间内的某个点取得的最大值，则称该点为极大值点，该最大值为极大值。极小值如果函数在某个区间内的某个点取得的最小值，则称该点为极小值点，该最小值为极小值。函数的单调性单调递增当自变量增大时，函数值也随之增大。单调递减当自变量增大时，函数值随之减小。函数的临界点1导数为零在函数定义域内，导数为零的点称为函数的驻点。2导数不存在在函数定义域内，导数不存在的点也称为函数的临界点。3重要性临界点是函数极值点存在的必要条件，但不是充分条件。极大值和极小值极大值函数在某点处取得的**最大值**，称为该函数的极大值。极小值函数在某点处取得的**最小值**，称为该函数的极小值。函数图像与极值的关系函数图像上的极值点对应于函数图像的转折点。极大值点对应于函数图像的最高点，极小值点对应于函数图像的最低点。理解函数图像与极值的关系可以帮助我们更好地理解函数的性质，并利用图像来直观地判断函数的极值点。求解极值的一般步骤求导对函数求一阶导数，得到导函数.求驻点令导函数等于零，解方程，得到驻点.判别极值利用二阶导数或其他方法判定驻点处的极值类型，是极大值、极小值还是鞍点.求最值在极值点和定义域端点处比较函数值，确定最大值和最小值.一元二次函数的极值一元三次函数的极值1导数求导数，找到临界点。2符号分析导数符号变化，确定极值点。3验证代入原函数验证极值点的极值类型。多元函数的极值一元函数的极值多元函数的极值函数的导数为零或不存在的点函数的偏导数为零或不存在的点函数的单调性变化函数在不同方向上的单调性变化函数值最大最小问题求解最大值寻找函数在定义域内取得最大值的点。求解最小值寻找函数在定义域内取得最小值的点。最大最小值应用实例一求函数f(x)=x^2-2x+3在区间[0,2]上的最大值和最小值。首先，求函数的导数，得到f'(x)=2x-2。令f'(x)=0，解得x=1，此点为函数的唯一驻点。接着，比较函数在区间端点和驻点的函数值：f(0)=3，f(1)=2，f(2)=3。因此，函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为3，最小值为2。最大最小值应用实例二求函数y=x2-4x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。首先，求函数的导数：y'=2x-4。令导数为零，得到临界点x=2。比较函数在端点和临界点处的函数值：y(0)=3，y(2)=-1，y(3)=0。所以，函数在区间[0,3]上的最大值为3，最小值为-1。最大最小值应用实例三在实际生活中，我们经常遇到求函数最大值或最小值的问题。例如，在生产中，我们需要确定生产成本最低的生产方案；在投资中，我们需要确定收益最大的投资方案。最大最小值应用实例四屋顶设计假设我们要设计一个矩形屋顶，其面积为定值，求当屋顶周长最小时，屋顶的长和宽各是多少？三角形面积已知三角形两边长分别为a和b，求当第三边长为多少时，三角形的面积最大？圆形面积求圆形面积的最大值，其中圆的周长为定值。最大最小值应用实例五某公司生产一种产品，其成本函数为C(x)=x^2+2x+5，其中x表示产量，单位为千件。已知该产品的销售价格为每千件10元，求该公司的利润最大值。设该公司的利润函数为P(x)，则P(x)=R(x)-C(x)=10x-(x^2+2x+5)=-x^2+8x-5。求P(x)的最大值，即求函数P(x)在定义域上的最大值。最大最小值应用实例六在实际应用中，很多问题都可以转化为求函数的最大值或最小值问题，例如：求最大利润、最小成本、最优设计等。这些问题的求解需要运用函数的极值和最值知识，并结合实际情况进行分析和处理。最大最小值应用实例七在实际生活中，函数的极值问题与最大值、最小值问题有着广泛的应用，可以帮助我们解决很多实际问题。例如，我们可以利用函数的极值来求解某个特定条件下的最优解，比如最优生产计划、最优投资方案、最优设计参数等等。最大最小值应用实例八一个长方形的周长为20厘米，求其面积的最大值。设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则有2x+2y=20，即x+y=10。长方形的面积为S=xy，将y=10-x代入，得到S=x(10-x)=-x^2+10x。当x=5时，S取最大值25，此时长方形为正方形，面积最大。最大最小值应用实例九最短路径问题在旅行规划中，最大最小值可以用来计算最短路径，例如，在山区远足时，找到从起点到终点的最短路径。最优资源分配通过计算，我们可以找到最优的资源分配方案，以最大限度地利用资源，例如，在物流中，通过优化路线和车辆分配，可以最大程度地降低运输成本。最大最小值应用实例十在实际应用中，函数的极值和最值问题常常与优化问题息息相关。例如，在生产中，我们需要确定最佳的生产计划来最大化利润，最小化成本；在工程设计中，我们需要找到结构最优的方案，以确保最大承载能力，最小化材料消耗。复习与总结函数极值和最值本节课，我们学习了函数极值和最值的定义、性质、求解方法以及应用。关键概念函数极值、最值、单调性、临界点、求解步骤等概念。课后练习一课后练习一

本节课后练习分为以下几部分:1.函数极值概念的理解与应用2.函数单调性的判断与应用3.函数临界点的识别与分析4.极大值和极小值的求解与应用5.函数图像与极值关系的理解6.求解极值的一般步骤的掌握7.一元二次函数和一元三次函数的极值求解8.多元函数的极值概念与求解方法9.函数值最大最小问题的分析与求解课后练习二为了巩固本节课的知识，请同学们完成以下练习：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$在区间$[-1,2]$上的最大值和最小值。求函数$g(x)=\frac{x^2+1}{x}$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。求函数$h(x)=\sinx+\cosx$在区间$[0,2\pi]$上的最大值和最小值。课后练习三求函数的极值y=x³-3x²+2求函数的最大值y=sinx,0≤x≤2π求函数的最小值y=x²+2x+1,-1≤x≤1课后练习四请分别求解以下函数的极值：1.y=x^3-3x^2+22.y=x^4-2x