《函数的单调性习题》课件

函数的单调性习题课程学习目标掌握函数单调性的概念理解函数单调性的定义，并能判断函数的单调性。熟练运用单调性判定方法掌握求函数单调区间的方法，并能运用这些方法解决实际问题。提高解题能力通过练习解题，提高对函数单调性的理解和运用能力。函数的单调性概述函数的单调性描述了函数值随自变量的变化趋势。当自变量增大时，函数值也随之增大，则函数称为单调递增函数；当自变量增大时，函数值随之减小，则函数称为单调递减函数。函数的单调性是函数性质的重要组成部分，在数学分析、微积分等领域中有着广泛的应用。函数单调性的判定依据单调递增若对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在该区间上单调递增。单调递减若对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在该区间上单调递减。函数单调性的求解方法1导数法利用导数判断函数的单调性2定义法根据单调性的定义直接判断3图像法通过函数图像观察函数的单调性示例1:求函数f(x)=3x^2-2x+5的单调性求导数首先求出函数f(x)的导数，即f'(x)=6x-2.确定导数的符号接下来，根据导数的符号，判断函数的单调性。f'(x)=6x-2=0时，x=1/3。当x<1/3时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>1/3时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增。总结因此，函数f(x)=3x^2-2x+5在x<1/3上单调递减，在x>1/3上单调递增。示例2:求函数g(x)=2sin(x)-3cos(x)的单调性1求导g'(x)=2cos(x)+3sin(x)2解不等式g'(x)>03求解区间求出g'(x)>0的解集4确定单调性根据解集确定函数的单调递增区间和单调递减区间示例3:求函数h(x)=(x^2+3)/(2x-1)的单调性1求导首先，求函数h(x)的导数：h'(x)=(2x^2-2x-6)/(2x-1)^2.2解不等式接着，解不等式h'(x)>0，得到x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).3结论因此，函数h(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增，在(-1,3)上单调递减。示例4:求函数f(x)=1/x的单调性1求导f'(x)=-1/x^22判断符号f'(x)<0,x≠03结论f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减示例5:求函数g(x)=(x^3+2)/(x^2-1)的单调性1.求导数g'(x)=[(x^2-1)(3x^2)-(x^3+2)(2x)]/(x^2-1)^22.化简g'(x)=(x^4-6x)/(x^2-1)^23.求解g'(x)=0x=0或x=±√64.讨论g'(x)的符号将x分割为若干区间，分别判断g'(x)的符号，得出函数的单调性习题1:求函数f(x)=(x^2+1)/(x-1)的单调性1求导首先，求函数f(x)的导数f'(x)=(x^2-2x-1)/(x-1)^22求解驻点令f'(x)=0,解得x=1±√2，它们是f(x)的驻点。3讨论单调性当x∈(-∞,1-√2)∪(1+√2,+∞)时，f'(x)>0,则f(x)单调递增；当x∈(1-√2,1)∪(1,1+√2)时，f'(x)<0,则f(x)单调递减。习题2:求函数g(x)=(x^3-2x+3)/(x^2+1)的单调性1求导先求出函数g(x)的导数2解不等式解出g'(x)>0和g'(x)<0的解集3确定单调区间根据解集确定函数的单调递增和单调递减区间习题3:求函数h(x)=(x^4+2x^2-1)/(2x^3-3x)的单调性11.定义域求函数h(x)的定义域22.求导数求函数h(x)的导数h'(x)33.单调性根据导数h'(x)的符号，判断函数h(x)的单调性习题4:求函数f(x)=(x^3-x^2-x+1)/(x-1)的单调性11.确定定义域函数的定义域为x≠1.22.求导数f'(x)=(2x^3-3x^2+1)/(x-1)^233.讨论导数的符号令f'(x)=0,得x=1或x=1/2.习题5:求函数g(x)=(2x^3-3x^2+5x-1)/(x^2+2x-3)的单调性分解因式首先，将分母因式分解，得到g(x)=(2x^3-3x^2+5x-1)/((x+3)(x-1)).求导数对函数g(x)求导，得到g'(x)=(4x^4+6x^3-14x^2+14x-4)/((x+3)^2(x-1)^2).求驻点令g'(x)=0，解方程得到x=-2或x=1/2.讨论单调性根据g'(x)的符号，确定g(x)在各个区间上的单调性。习题6:求函数h(x)=(x^4+2x^2-5)/(2x^3-3x)的单调性11.求导22.确定单调区间33.讨论函数单调性习题7:求函数f(x)=(2x^3-3x^2+5x-1)/(x^2+2x-3)的单调性1定义域2导函数3单调区间习题8:求函数g(x)=(x^4-2x^2+5)/(3x^3-2x)的单调性1求导数首先，我们需要计算函数g(x)的导数g'(x)。2求解临界点然后，我们需要找到g'(x)=0或g'(x)不存在的点，这些点称为临界点。3判断单调性最后，我们将g'(x)在每个临界点所在的区间进行分析，以确定函数的单调性。习题9:求函数h(x)=(x^5+2x^3-5x)/(x^2+3x-1)的单调性11.求导对函数h(x)求导，得到导函数h'(x)。22.确定单调区间找到导函数h'(x)的零点，将实数轴分成若干个区间。33.判断单调性在每个区间上，判断导函数h'(x)的正负性，从而确定函数h(x)的单调性。习题10:求函数f(x)=(3x^4-2x^3+5x^2-1)/(2x^3-3x)的单调性求导数首先，求函