1.3 绝对值 同步练习 2023-2024学年浙教版数学七年级上册 带解析

1.3绝对值—同步练习—>>>精品解析<<<一、选择题1、如图数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|［思路分析］根据绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值即可得出答案．［答案详解］解：∵a表示的点A到原点的距离最近，∴|a|最小，故选：A．［经验总结］本题考查了绝对值，数轴，掌握绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．2、如果|x|＝2，那么x＝（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或［思路分析］利用绝对值的意义，直接可得结论．［答案详解］解：∵|±2|＝2，∴x＝±2．故选：C．［经验总结］本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键．3、下列计算结果为5的是（）A．﹣（+5） B．+（﹣5） C．﹣（﹣5） D．﹣|﹣5|［思路分析］根据相反数判断A，B，C选项；根据绝对值判断D选项．［答案详解］解：A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝5，故该选项符合题意；D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；故选：C．［经验总结］本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．4、数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1［思路分析］一个数到原点的距离可以用绝对值表示，例如|x|表示数x表示的点到原点的距离．所以，表示数m和m+2的点到原点的距离相等可以表示为|m|＝|m+2|．然后，进行分类讨论，即可求出对应的m的值．［答案详解］解：由题意得：|m|＝|m+2|，∴m＝m+2或m＝﹣（m+2），∴m＝﹣1．故选：D．［经验总结］本题在根据绝对值的几何意义列出方程之后，在解方程的时候要注意分类讨论，除了同一个数的绝对值相等之外，相反数的绝对值也相等．并且，在解方程之后，会发现有一个方程是无解的．这是一个易错题．5、若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3［思路分析］根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．［答案详解］解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，a+b＝1+2＝3．故选：A．［经验总结］本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零0是解题关键．6、设x为一个有理数，则|x|＝x必定是（）A．负数 B．正数 C．非负数 D．零［思路分析］根据绝对值的性质，绝对值是非负数求解．［答案详解］解：∵|x|是一个非负数，即|x|≥0，当x≥0时，|x|﹣x＝0，当x＜0时，|x|﹣x＞0，∴|x|﹣x≥0．故选：C．［经验总结］本题主要考查绝对值的性质，需要熟练掌握并灵活运用．7、下列说法正确的是（）A．|x|＜x B．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0 C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y| D．若|x+1|≤0，则x＝﹣1［思路分析］根据绝对值的定义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项，即可得出结论．［答案详解］解：A、当x＝0时，|x|＝x，故此选项错误，不符合题意；B、∵|x﹣1|≥0，∴当x＝1时，|x﹣1|+2取最小值，故此选项错误，不符合题意；C、∵x＞1＞y＞﹣1，∴|x|＞1，|y|＜1，∴|x|＞|y|，故此选项错误，不符合题意；D、∵|x+1|≤0，|x+1|≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，故此选项正确，符合题意．故选：D．［经验总结］本题考查了绝对值，牢记绝对值的定义以及绝对值的非负性是解题的关键．8、若|x﹣1|+|y+3|＝0，则（x+1）（y+1）等于（）A．0 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣4［思路分析］先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入（x+1）（y+1）进行计算即可．［答案详解］解：∵|x﹣1|+|y+3|＝0，∴x﹣1＝0，y+3＝0，解得x＝1，y＝﹣3，∴原式＝（1+1）×（﹣3+1）＝﹣4．故选：D．［经验总结］本题考查的是非负数的性质，即任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．二、填空题9、代数式|x﹣1|﹣|x+2|，当x＜﹣2时，可化简为；若代数式的最大值为a与最小值为b，则ab的值．［思路分析］根据绝对值的定义确定x﹣1与x+2的符号，进而进行化简即可；确定a、b的值，再代入计算即可．［答案详解］解：当x＜﹣2时，x﹣1＜0，x+2＜0，所以|x﹣1|﹣|x+2|＝1﹣x﹣（﹣2﹣x）＝3，当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|的值最大，此时a＝3，当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|的值最小，此时b＝﹣3，所以ab＝﹣9，故答案为：3，﹣9．［经验总结］本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，确定a、b的值是得出正确答案的关键．10、若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝．［思路分析］根据绝对值的定义求出a、b的值，再代入计算即可．［答案详解］解：∵|a|＝2，∴a＝±2，当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在；当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3，所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3，即b＝1或b＝7，当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1；当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5，故答案为：﹣1或5．［经验总结］本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．11、有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足|b|＜a，所有满足条件的b的值之和是．［思路分析］绝对值小于a的有理数又无穷多个，但是注意到绝对值小于a的有理数都是成对出现的，就不难得出结果．［答案详解］解：若b满足|b|＜a，则﹣b也满足|﹣b|＜a，而b+（﹣b）＝0，故所有满足条件的有理数之和为0．故答案为：0．［经验总结］本题考查的绝对值的定义，解题的关键在于关注到互为相反数的两个数绝对值相等．12、若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣c|﹣|b+c|可化简为．［思路分析］此题可借助数轴用数形结合的方法求解．根据数轴的特点可知a＜0，b＜0，c＞0，则原式可求．［答案详解］解：∵a＜0，b＜0，c＞0，|c|＞|b|，∴|a﹣c|＝c﹣a，|b+c|＝b+c，∴原式＝c﹣a﹣b﹣c＝﹣a﹣b．［经验总结］主要考查了绝对值的运算，结合数轴先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号．13、已知|x﹣4|+|y+2|＝0，则2x+y的值为．［思路分析］根据绝对值的非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．［答案详解］解：∵|x﹣4|+|y+2|＝0，而|x﹣4|≥0，|y+2||≥0，∴x﹣4＝0，y+2＝0，解得x＝4，y＝﹣2，∴2x+y＝8﹣2＝6．故答案为：6．［经验总结］本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答此题关键．14、已知，|a﹣2|+|b+3|＝0，则ba＝．［思路分析］根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代ba中求解即可．［答案详解］解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，∴a＝2，b＝﹣3，则ba＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．［经验总结］本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．15、计算：|﹣5|＝．［思路分析］根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号即可．［答案详解］解：|﹣5|＝5．故答案为：5［经验总结］绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．16、若|x﹣3|与|2y+3|互为相反数，则x+y＝．［思路分析］根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相加计算即可得解．［答案详解］解：∵|x﹣3|与|2y+3|互为相反数，∴|x﹣3|+|2y+3|＝0，∴x﹣3＝0，2y+3＝0，解得x＝3，y＝﹣，所以，x+y＝3+（﹣）＝．故答案为：．［经验总结］本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．三、解答题17、某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，﹣30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？［思路分析］根据正数＞0＞负数，及正数的绝对值越大，正数的值越大，负数的绝对值越大，其值越小可作出判断．［答案详解］解：甲同学分数最高，丁同学分数最低，因为甲同学得分为正，且绝对值最大，所以分数最高，最高分比最低分高50﹣（﹣30）＝80（分）．［经验总结］本题考查绝对值的知识，比较简单，注意掌握正数的绝对值越大，正数的值越大，负数的绝对值越大，其值越小．18、（1）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b的值是．（2）当a＝时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是．（3）当x＝时，5﹣|2x﹣3|有最大值．［思路分析］（1）根据绝对值的非负性解决此题．（2）根据绝对值的非负性解决此题．（3）根据绝对值的非负性解决此题．［答案详解］解：（1）∵|a+2|≥0，|b﹣1|≥0，∴当|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+2＝0，b﹣1＝0．∴a＝﹣2，b＝1．∴a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．（2）∵|1﹣a|≥0，∴|1﹣a|+2≥2．∴当1﹣a＝0，即a＝1，此时|1﹣a|+2取得最小值2．故答案为：1，2．（3）∵|2x﹣3|≥0，∴﹣|2x﹣3|≤0．∴5+（﹣|2x﹣3|）＝5﹣|2x﹣3|≤5．∴当2x﹣3＝0，即x＝时，5﹣|2x﹣3|取得最大值5．故答案为：．［经验总结］本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．19、将下列各数填入相应的集合内：﹣，|﹣|，4，0，﹣27，0.36，+（﹣1.78），π．非负整数：{…}；分数：{…}；正数：{…}；负数：{…}．［思路分析］先把数进行化简，再根据有理数的分类求解．［答案详解］解：非负整数：{4，0…}；分数：{﹣，|﹣|，0.36，+（﹣1.78），…}；正数：{|﹣|，4，0.36，π…}；负数：{﹣，﹣27，+（﹣1.78）…}；故答案为：4，0；﹣，|﹣|，0.36，+（﹣1.78）；|﹣|，4，0.36，π；﹣，﹣27，+（﹣1.78）．［经验总结］本题考查了有理数的分类，把绝对值和多重符号化简是解题的关键．20、化简：．［思路分析］当x＞0、x＞0时，先利用绝对值的意义化简分子分母，再约分．［答案详解］解：当x＞0时，原式＝＝＝＝﹣；当x＜0时，原式＝＝＝＝．［经验总结］本题主要考查了绝对值的意义，掌握分类讨论的思想和绝对值的意义是解决本题的关键．21、阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab＞0时，求的值；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＞0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．［思路分析］（1）确定a、b的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可；（2）确定a、b、c三个数中负数的个数，再根据绝对值的性质进行计算即可；（3））根据a+b+c＝0，可得a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，进而得出＝﹣﹣﹣，再由abc＜0，确定a、b、c三个数中负数的个数，再根据绝对值的性质进行计算即可；［答案详解］解：（1）∵ab＞0，∴a、b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴＝1+1＝2或＝﹣1﹣1＝﹣2；（2）∵abc＞0，∴a、b、c中有3个正数或一正两负，当a、b、c都是正数时，＝1+1+1＝3；当a、b、c中有一正两负时，＝1﹣1﹣1＝﹣1；（3）∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，∴＝﹣﹣﹣，∵abc＜0，a+b+c＝0，∴a、b、c中一负两正，∴＝﹣﹣﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1；答：的值为﹣1．［经验总结］本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当a＞0，a＜0时的值是正确解答的关键．22、在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解：由题意得：a、b、c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a、b、c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：＝1+1+1＝3；（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3＝1，则＝1，（a≠0））②当a、b、c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1，∴的值为3或﹣1．（备注：一个非零数除以它的相反数等于﹣1，如：﹣3÷3＝﹣1，则＝﹣1，（b≠0））【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．［思路分析］（1）读懂题意，按照题目给的解题思路求解即可：（2）利用绝对值定义以及a与b的大小关系确定a、b的值，再求代数式的值．［答案详解］解：（1）∵abc＜0，∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则；②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则．因此的值为﹣3或1．（2）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，∴a＝﹣3，b＝1或1，则a+b＝﹣2或4．［经验总结］本题考查了非负数的知识探究，