福建省南平市岚下中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析

福建省南平市岚下中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.纯虚数z满足，则z的共轭复数为（

）A.－2i

B.2i

C.－4i

D.4i参考答案：B设，由，知，即，可得，从而，于是的共轭复数，故选B.2.若函数在上的最大值为，则m的值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B

∵，∴由得，或．∵，∴，得．3.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三角形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．详解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c=a∴e=

4.设定义域为的单调递增函数满足：①，②，则的最小值是（

）A．2

B．1

C．

0

D．

3参考答案：D略5.已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）参考答案：A当P、B1重合时，主视图为选项B；当P到B点的距离比B1近时，主视图为选项C；当P到B点的距离比B1远时，主视图为选项D，因此答案为A.考点：组合体的三视图6.已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为(

) A．an= B．an= C．an=n+2 D．an=（n+2）3n参考答案：B考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答： 解：因为，且n∈N*）?，即，则数列{bn}为首项，公差为1的等差数列，所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．7.若曲线与曲线有四个不同的点，则实数的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：B由题易知表示的圆，圆心为，半径为；表示和两条直线，易知过定点，在平面直角坐标系中画出图像如图：∵直线与相交于和两个点，∴与圆相交即可．当与圆相切时，圆心到直线的距离，∴，，而时，直线为，不合题；∴，∴选择．8.复数z=i2(1+i)的虚部为（

）A.

1

B.

i

C.

-1

D.

–i参考答案：C略9.设函数，若实数a，b满足，则A.

B.C.

D.参考答案：B易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)10.已知函数(其中为常数，且，，)的部分图象如图所示，若，则的值为(

)A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为

．参考答案：70【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=9时不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=﹣2满足条件i＜8，执行循环体，i=3，S=7满足条件i＜8，执行循环体，i=5，S=22满足条件i＜8，执行循环体，i=7，S=43满足条件i＜8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．故答案为：70．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．12.内角的对边分别是，若，,则 .参考答案：略13.如图所示,C是半圆弧x2+y2=1(y≥0)上一点,连接AC并延长至D,使|CD|=|CB|,则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时,D点的轨迹是_______的一部分，D点所经过的路程为.参考答案：圆，解：设点（其中D点不与A、B两点重合），连接BD，设直线BD的倾斜角为，直线AD的倾斜角为。由题意得，。因为|CD|=|CB|,所以，则有，即，即由此化简得（其中D点不与A、B两点重合）．又因为D点在A、B点时也符合题意，因此点D的轨迹是以点（0，1）为圆心，为半径的半圆，点D所经过的路程．14.函数f(x)=的值域为___

______。参考答案：15.若则=

.参考答案：【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值.

C7【答案解析】

解析：因为所以.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.16.观察下列等式:照此规律,第n个等式可为_

_参考答案：17..若实数x，y满足则z=-x+5y的最小值为______．参考答案：12【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线由图像知当直线经过点时，直线截距最小此时最小，由得，得，则z的最小值为-3+5×3=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度(克/升）随着时间(天)变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.参考答案：（1）解：营养液有效则需满足，所以所以..............................................5分（2）设第二次投放营养液的持续时间为天，则第一次投放营养液的持续时间为天，且。水中营养液的浓度为在上恒成立，所以在上恒成立，.............................................7分令，则，又因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.............................................12分.19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，D为AA1的中点， 点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上.(1)求证：B1D⊥CBD；(2)若△CBD是正三角形，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.参考答案：(1)证明：设点在平面内的射影为，则，，且，因，所以.………2分在中，，，则，在中，，，则，故，故.……………4分因，故.……5分(2)法一、，……………6分由(1)得，故是三棱锥的高，………7分是正三角形，，，………8分，………9分，………11分故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为.…12分

法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，故，故，………8分由(1)得，故是四棱柱的高，………………9分故，…11分故，故三棱柱的体积为.…………12分法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分记到平面的距离为，由得，即，…………9分为的中点，故到平面的距离为，…10分.故三棱柱的体积为.…12分20.已知函数.（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，（2）结合三次函数图像确定的取值范围：当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数的满足的条件：，最后解不等式可得实数的取值范围.（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，故当或时，方程在上不可能有三个不等实根，所以,且.当,且时，方程在上有三个不等实根，只需满足即可.因为，且，因而，所以，即，综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是.21.（14分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（3）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）要使函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[﹣1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=﹣a或x=不在区间[﹣1，1]上；（2）a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，f（x）有三个互不相同的零点，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；（3）求导函数，来确定极值点，利用a的取值范围，求出f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值，再求满足f（x）≤1时m的取值范围．【解答】：解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0），∴f′（x）=3x2+2ax﹣a2，∵f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）=3x2+2ax﹣a2=0在[﹣1，1]上没有实数根，由△=4a2﹣12×（﹣a2）=16a2＞0，二次函数对称轴x=﹣＜0，当f′（x）=0时，即（3x﹣a）（x+a）=0，解得x=﹣a或x=，∴，或＜﹣1（a＜﹣3不合题意，舍去），解得a＞3，∴a的取值范围是{a|a＞3}；（2）当a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，∵f（x）有三个互不相同的零点，∴f（x）=x3+x2﹣x+m=0，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．令g（x）=﹣x3﹣x2+x，则g′（x）=﹣（3x﹣1）（x+1）令g′（x）＞0，解得﹣1＜x＜；令g′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（，+∞）上为减函数，在（﹣1，）上为增函数，∴g（x）极小=g（﹣1）=﹣1，g（x）极大=g（）=；∴m的取值范围是（﹣1，）；（3）∵f′（x）=0时，x=﹣a或x=，且a∈[3，6]时，∈[1，2]，﹣a∈（﹣∞，﹣3]；又x∈[﹣2，2]，∴f′（x）在[﹣2，）上小于0，f（x）是减函数；f′（x）在（，2]上大于0，f（x）是增函数；∴f（x）max=max{f（﹣2），f（2）}，而f（2）﹣f（﹣2）=16﹣4a2＜0，∴f（x）max=f（﹣2）=﹣8+4a+2a2+m，又∵f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立，∴f（x）max≤1，即﹣8+4a+2a2+m≤1，即m≤9﹣4a﹣2a2，在a∈[3，6]上恒成立∵9﹣4a﹣2a2在a∈[3，6]上是减函数，最小值为﹣87∴m≤﹣87，∴m的取值范围是{m|m≤﹣87}．【点评】：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、最值，以及不等式恒成立的问题，属于难题．22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：cm)满足关系：,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求的值及的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚