第九章 时间序列分析

第九章时间序列分析第一节时间序列的基本问题第二节时间序列分解第三节长期趋势分析第四节季节变动分析第五节循环波动分析第九章时间序列分析第一节时间序列的基本问题一、时间序列的概念

时间序列是指反映客观现象的同一指标在不同时间上的数值，按时间先后顺序排列而形成的序列，它由两个基本要素组成：一个是现象的所属时间；另一个是反映该现象的同一指标在不同时间条件下的具体数值。第九章时间序列分析二、时间序列的水平分析（一）发展水平发展水平，是指时间序列中的每一项具体指标数值，反映的是现象在不同时间发展所达到的规模和水平。第九章时间序列分析根据各指标值在时间序列中所处的位置，把时间序列中第一项指标值称为最初水平，用

表示，最后一项指标值称为最末水平，用

表示。在对比时间序列中的两个发展水平时，把作为比较基础的数值称为基期发展水平，把要分析的那个时间上的指标数值称为报告期发展水平，如

，

，…，

就代表序列各期的发展水平。第九章时间序列分析（二）平均发展水平

平均发展水平是对时间序列中各个指标值加以平均所得到的平均数，又叫序时平均数，或叫动态平均数。

1．根据时期序列计算序时平均数。第九章时间序列分析2．根据时点序列计算序时平均数。由时点序列的特点，有连续间隔相等、连续间隔不等、不连续间隔相等和不连续间隔不等的时点序列。（1）由连续间隔相等的时点序列资料计算序时平均数。这种时点序列资料是连续时点（以日为间隔的资料）的数据，则用简单算术平均数计算序时平均数，即直接将各时点指标值相加求平均。第九章时间序列分析（2）由连续间隔不等的时点序列资料计算序时平均数。这种时点序列资料不是逐日变动，只在发生变动时进行登记，也就是说这种资料相邻两个指标值之间的时间间隔不尽相同，其序时平均数用时间间隔作权数计算加权算术平均数。其计算公式为：—各指标值之间的时间间隔。第九章时间序列分析例9-2某企业2012年5月份的产品库存变动资料如表，要求计算该企业2012年5月份平均库存量。表1某企业2012年5月份产品库存变动资料第九章时间序列分析利用公式计算得到该企业2012年5月份平均库存量：第九章时间序列分析（3）由不连续间隔相等的时点序列资料计算序时平均数。这种时点序列数据虽然不连续，但间隔相等，则可用首末折半法求序时平均数，计算公式为：第九章时间序列分析

例9-3就下表资料计算序时平均数。表2某地区人口资料第九章时间序列分析解：

即该地区2010年年平均人口数为101.375万人。第九章时间序列分析（4）由不连续间隔不等的时点序列资料计算序时平均数。如果掌握的时点资料不连续且间隔不相等，这时需要以间隔长度为权数加权来计算序时平均数。计算公式为：式中，

代表两个时点指标值

和

之间的时间间隔长度。第九章时间序列分析例9-4就表3资料计算序时平均数。表3某城市人口资料第九章时间序列分析解：即该城市2010年年平均人口数为86.32万人。第九章时间序列分析（三）增长水平

增长水平，简称增长量，是时间序列中两个不同时期发展水平之差，其计算公式为：增长量＝报告期发展水平－基期发展水平1.逐期增长量2.累积增长量3.平均增长量第九章时间序列分析三、时间序列的速度分析（一）发展速度发展速度是两个时期发展水平对比而得到的结果，表明现象发展的程度，说明报告期水平是基期水平的百分之几（或若干倍）。其计算公式为：

发展速度=分为环比发展速度和定基发展速度。第九章时间序列分析（二）增长速度增长速度是根据增减量与基期水平对比而求得的一种相对数，反映现象在一段时期内数量增减的方向和程度的动态分析指标。其计算公式为：增长速度==发展速度-1分为环比增长速度和定基增长速度。第九章时间序列分析（三）平均发展速度和平均增长速度平均发展速度是对各环比发展速度计算的一种序时平均数，反映现象在一个较长时期内速度变化的平均程度；平均增长速度是说明现象在一段时期内逐期平均增减程度的指标，从增长的角度看较长时期内现象的平均变动程度。第九章时间序列分析由于一段时期内发展的总速度等于各期环比发展速度的连乘积，所以通常采用几何平均法计算平均发展速度。设

为平均发展速度，其计算公式为平均增长速度可以通过平均发展速度来求得，即：平均增长速度=平均发展速度-100%第九章时间序列分析第二节

时间序列分解一、时间序列构成的因素

(一)长期趋势(二)季节变动

(三)循环波动(四)不规则变动第九章时间序列分析二、时间序列的分解模型（一）加法模型假设各构成部分对时间序列的影响是可加的，并且是相互独立的，这样就可以把时间序列Ｙ表示为：Ｙ＝Ｔ＋Ｓ＋Ｃ＋Ｉ（二）乘法模型假设四个因素变动之间存在某些相互影响的关系，则时间序列各期水平的数值就是四种因素相乘的乘积，其分解模型为：Ｙ＝Ｔ×Ｓ×Ｃ×Ｉ第九章时间序列分析第三节

长期趋势分析一、数学模型法（一）直线趋势模型

如果时间序列的逐期增减量相对稳定，即现象满足各逐期增减量大体相同的条件，可以用直线作为趋势线来描述趋势变化，据以进行分析和预测。设趋势直线方程为：第九章时间序列分析式中：

—时间序列的长期趋势值

—时间（指的时间序号）

—趋势直线的的截距，表示时的数值

—趋势直线的斜率，表示每变动一个单位时，平均增减的数量、是趋势直线方程中的两个待估参数，一般用最小平方法来求解。第九章时间序列分析

（二）二次抛物线模型如果时间序列满足二级增减量大体相同的条件，即时间序列逐期增长绝对量之差近似为一常量时，我们可以利用二次抛物线模型进行配合。其趋势方程为：第九章时间序列分析方程中有三个待估参数

、

、

。仍按最小平方法求解，建立三个标准方程:利用原序列计算出有关数据代入上述三个方程式，解三元一次方程组就可得出趋势方程所需要的

、

、

的估计值。第九章时间序列分析（三）指数曲线模型

如果时间序列满足环比发展速度大体相同的条件，那么可以配合指数曲线模型来反映现象发展变化的趋势。其趋势方程为：将上式转换为直线方程，取对数

，然后用最小平方法求解参数。第九章时间序列分析（四）修正指数曲线模型如果时间序列满足逐期增减量的环比发展速度大体相同的条件，则可配合修正指数曲线来描述现象的变化状态。其趋势方程为：第九章时间序列分析（五）龚伯兹曲线模型如果时间序列的对数的逐期增减量的环比速度大体相同，则可以配合龚伯兹曲线模型来描述该现象的变化状态。其趋势方程式为：第九章时间序列分析二、移动平均法移动平均法是通过扩大时距，对原有时间序列修匀来测定长期趋势，是一种简单实用的测定趋势值的一种方法。简单移动平均法在反映长期趋势直线时效果较佳，但当时间序列趋势为非直线时，简单移动平均容易产生误差；同时，由于移动平均法没有得到反映时间序列规律变化的模型，无法进行外推预测。这样就产生了指数平滑法。第九章时间序列分析三、一次指数平滑法由于移动平均法需要舍去首尾若干数据且又不能用于预测，于是产生了指数平滑法。指数平滑法是加权移动平均法的基础上产生的，但又不同于原来的移动平均法。

表示

期的预测值；α称为平滑系数，需综合考虑各方面合理选取；

为

期的预测值或修匀值。第九章时间序列分析第四节季节变动分析

由于季节气候和社会习惯等原因，客观现象普遍存在季节变动影响。测定季节变动的主要目的，一是在于掌握季节变动的规律；二是消除季节波动的影响，更清楚地反映其它因素的影响。测定季节变动的规律，主要在于测定季节指数，常用的测定季节指数的方法有简单平均法和移动平均趋势剔除法。第九章时间序列分析一、简单平均法简单平均法的思路是：首先求出历年（三年以上）各季的平均数；然后求出所有季度的总平均数；将各季平均数除以总平均数，得到的便是季节指数。如果是按月的时间序列，方法与上类似，将各月平均数除以总平均数即可。季节指数=同季平均数÷总季平均数第九章时间序列分析二、移动平均趋势剔除法移动平均趋势剔除法与简单平均法的区别在于，在计算季节指数之前先用移动平均法剔除长期趋势的影响，其计算步骤如下：1.根据历年的季度数据，计算步长为4季的移动平均数，得到趋势值T；2.将实际数据Y除以相应的趋势值T，得到已不包含趋势变动的数值Y/T；第九章时间序列分析3.将计算得到的Y/T值按时间顺序排列；4.根据简单平均法计算季节指数。如果是历年月度数据，方法与上类似，以12个月为步长移动平均，然后计算剔除趋势变动的Y/T值，最后再进行简单平均。第九章时间序列分析第五节循环波动分析按照时间序列分解模型，Ｙ＝Ｔ×Ｓ×Ｃ×Ｉ，因为长期趋势Ｔ和季节波动Ｓ都可以得到；那么，

Ｃ×Ｉ=得到剔除了趋势和季节因素影响的剩余，再对Ｃ×Ｉ进行移动平均，消除随机波动的影响，得到的就是循环波动Ｃ，这称之为剩余法。第九章时间序列分析第六节时间序列的自相关分析时间序列中的本期与不同滞后期的数据之间存在相关关系，可以用自相关系数表示。对于具有

个观测值的时间序列

，其滞后一期的数据所形成的序列表示为

，滞后二期的数据所形成的序列表示为

，滞后

期的数据所形成的序列表示为

，记自相关系数为

，其中

代表时滞，则相关系数

说明相差

个时期两项数据序列之间的相关程度，其计算公式为第九章时间序列分析式中，

是时间序列

的数据个数，

，是时间序列所有观测值的总平均值。本章小结一、时间序列的基本问题

时间序列是指反映客观现象的同一指标在不同时间上的数值，按时间先后顺序排列而形成的序列。时间序列分析的水平指标是以绝对数形式表示的动态分析指标，包括发展水平、平均发展水平、增长水平和平均增长水平等指标。时间序列的速度指标是以相对数形式表示的动态分析指标，包括发展速度、平均发展速度、增减速度以及平均增减速度等指标。二、时间序列分解时间序列的形成是各种不同的影响事物发展变化的因素共同作用的结果。影响时间序列的因素归纳起来有四类，即长期趋势、季节变动、循环波动和不规则变动。将构成时间序列的因素与时间序列的关系按照一定的假设，用一定的数学关系式表示，就形成了时间序列的分解模型。主要有两种假设，即有两种最基本的分解模型：加法模型和乘法模型。本章小结三、长期趋势分析测定长期趋势就是用一定的方法对时间序列进行修匀，以消除序列中季节变动、循环波动和不规则变动等因素的影响，以显示出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。测定长期趋势的方法主要有数学模型法、移动平均法