第六章 空间力系的平衡

主讲老师：王培兴第六章空间力系的平衡第六章空间力系的平衡【学习目标】1.理解空间一力在空间直角坐标轴上的投影；2.掌握空间汇交力系平衡方程及其应用；3.理解力对轴之矩的概念及计算；4.掌握空间一般力系的平衡方程及其应用。第六章空间力系的平衡【引言】

作用在刚体上的力系，通常其各力的作用线可以在空间任意分布，这样的力系称为空间任意力系，简称空间力系。空间力系是力系的最一般形式。前面所讨论的平面汇交力系、平面一般力系等，都是空间力系的特例。本章简单介绍空间汇交力系和空间一般力系的平衡问题。6.1空间汇交力系力的作用线汇交于一点的空间力系称为空间汇交力系。空间汇交力系在一般情况下将合成为一个合力,合力的作用线通过原力系的汇交点,合力矢量等于各分力矢量的矢量和，即R=∑Fi

(6-1)6.1空间汇交力系一般讲，汇交力系的合成可以归结为力矢量求和的问题，而汇交力系的平衡可以归结为求解力矢量和等于零的条件。由于空间几何作图和度量比较困难，一般不用几何法求解空间问题，本节讨论在空间直角坐标系中用解析法求解空间汇交力系的平衡问题。6.1空间汇交力系一、力在空间直角坐标轴上的投影确定力在轴上的投影可以有两种方法1．一次投影法如图所示一力F，需求其在三条坐标轴x、y、z轴上的投影。为此，建立坐标系如图，图中虚线是以力F为对角线，边与三个坐标平面xoy平面、yoz平面及zox平面平行画长方体。6.1空间汇交力系如果力F与三条坐标轴的夹角分别为α、β、γ，根据力在坐标轴上投影的定义,显然力在x、y、z坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz的大小分别为6.1空间汇交力系上面式中cosα、cosβ、cosγ称为力矢量F的方向余弦。所以力在某轴上的投影等于力矢量与该轴正方向之间的夹角的余弦与力的大小的乘积。由此可知：力在任意两个同向平行轴上的投影相等。大小相等、方向相同的两个力在同一轴上的投影相等。6.1空间汇交力系对于夹角α、β、γ，它们满足：cos2α+cos2β+cos2γ=1显然当力矢量F的大小和方向确定时，力在空间直角坐标系三个轴上的投影由(6-2)式唯一确定6.1空间汇交力系反过来，当力在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz确定时，力矢量F的大小和方向也唯一确定，此时

F2=F2（cos2α+cos2β+cos2γ）

=Fx2+Fy2+Fz26.1空间汇交力系而力矢量的方向可由方向余弦确定：6.1空间汇交力系2．二次投影法如图所示，若已知力F与z轴的夹角γ，以及力F在平面xoy上的投影Fxy与x轴得夹角

，则可先将力F投影到z轴和xy坐标平面上，分别得到投影Fz

和矢量Fxy，即有Fz

＝Fcos

Fxy＝Fsin

6.1空间汇交力系然后再将Fxy向x、y轴投影，得在这里，我们要强调，力F在xOy坐标平面上的投影Fxy，定义为矢量，而前面力在坐标轴上的投影，定义为代数量。6.1空间汇交力系二、空间汇交力系平衡根据平面汇交力系平衡的解析条件，同理可得，空间汇交力系平衡的充分与必要条件是合力等于零，或者空间汇交力系的各分力在空间直角坐标系三个坐标轴上的投影的代数和都等于零。其表达式为6.1空间汇交力系例6-1如图所示，重为W的物体用三根连杆支承，求每根连杆所受的力。6.1空间汇交力系解：（1）取结点A为研究对象，汇交于A点的力有悬挂重物的绳索拉力（等于重力W）和三根连杆作用于A点的力F1、F2、F3。假设F1、F2、F3都是压力，方向指向A点。6.1空间汇交力系（2）建立坐标系如图所示。在这里F1、F2、F3与各坐标轴的夹角（锐角）的余弦，可由各有关边长的比例求得，而各力在坐标轴上的投影也可按边长比例计算，对于投影的正负号可以直接判定。6.1空间汇交力系根据平衡条件，建立平衡方程并求解6.1空间汇交力系6.1空间汇交力系6.2空间一般力系一、力对轴之矩在生活和生产实际中，经常会遇到物体绕定轴转动的问题。门的开启和关闭即是最常见的例子。如图所示的门，设力F作用于门上的A点，为了研究力F使门绕z轴转动的效应，可将它分解为一个与转轴z平行的分力Fz和一个通过A点且垂直于z轴的平面上的分力Fxy。6.2空间一般力系由经验可知，与转轴z平行的分力Fz，无论大小如何，均不能使门绕z轴转动；因此，能使门转动的只是分力Fxy。所以力F使门绕z轴转动的效应等于其分力Fxy使门绕z轴转动的效应。6.2空间一般力系而分力Fxy使门绕z轴转动的效应可用分力Fxy对O点之矩来表示（O点是分力Fxy所在平面和z轴的交点）。6.2空间一般力系由此可见，力使物体绕某轴转动的效应可用此力在垂直于该轴的平面上的分力对此平面与该轴的交点之矩来度量。我们将该力矩称为力对轴之矩。如将力F对z轴之矩表示为Mz(F)或简记为Mz，则有Mz=

Fxyd

(6-7)6.2空间一般力系力对轴之矩Mz=

Fxyd

式中：d——分力Fxy所在的平面与z轴的交点O到力Fxy作用线的垂直距离。6.2空间一般力系Mz=

Fxyd正负号表示力使物体绕z轴转动的方向，按右手螺旋法则确定。将右手四指与力F的方向一致，再弯曲右手四指握住z轴，若大拇指的指向如与z轴的正向相同时，力对z轴之矩取正；反之取负。6.2空间一般力系力对轴之矩的单位是N

m或kN·m。显然，在下面两种情况下：1.当力F与z轴平行（此时Fxy=0）2.力F与z轴相交（此时d=0）时力F对z轴之矩为零。6.2空间一般力系二、空间力系的合力矩定理力对轴之矩可以根据定义直接进行计算，但是当根据定义直接进行计算有困难时，还常常利用合力矩定理进行计算。即空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，其表达式为Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）=∑Mz（F）（6-8）上式即是空间力系的合力矩定理（证明从略）。6.2空间一般力系例6-2如图所示，正方形板ABCD用球铰A和铰链B与墙壁连接，并用绳索CE拉住使其维持水平位置。已知绳索的拉力F=200N，试求分别力F对x、y、z轴之矩。6.2空间一般力系解：先计算力F对x、y轴之矩利用合力矩定理。将力F分解为两个分力Fxy和Fz

其中：Fz=Fz×sin30°

=200×sin30°=100N6.2空间一般力系因分力Fxy与x、y轴都相交，它对x、y轴之矩都为零，因此Mx（F）

=Mx（Fxy）+Mx（Fz）

=Mx（Fz）

=100×2=200N·m6.2空间一般力系My（F）

=My（Fxy）+My（Fz）

=My（Fz）

=－100×2

=－200N·m力F与z轴相交，它对z轴之矩等于零Mz（F）=06.2空间一般力系三、空间一般力系的平衡参照平面一般力系的平衡条件和平衡方程，同理可得，空间一般力系的平衡条件是空间一般力系的各分力在空间直角坐标系三个坐标轴上的投影的代数和都等于零，以及空间一般力系的各分力对空间直角坐标系三个坐标轴x、y、z之矩的代数和都等于零。其平衡方程表达式为6.2空间一般力系上式称为空间一般力系的平衡方程，是方程的一般式。此方程包含六个独立的代数方程，利用空间汇交力系的平衡条件，可以求解六个未知力或平衡问题的六个未知量。与平面一般力系的平衡方程相似，空间一般力系的平衡方程也可以有其他形式，但无论怎样列方程，独立平衡方程的数目只有6个。6.2空间一般力系【注】在应用空间一般力系的平衡方程求解空间一般力系的平衡问题时，力矩方程比较灵活，选择合理的轴线建立力矩方程，可使一个方程只含一个未知量，利于求解。6.2空间一般力系例6-3如图所示，均质长方板由六根直杆支撑保持水平，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P,在A处作用一水平力F，F平行于y轴,且F=2P。求各杆的内力。

6.2空间一般力系解：取长方体板为研究对象，各直杆均为二力杆，设它们均受拉力。板的受力如图所示，根据平衡条件建立平衡方程。6.2空间一般力系6.2空间一般力系6.2空间一般力系6.2空间一般力系例6-4如图所示，悬臂刚架上作用有q=2kN/m的均布荷载，以及作用线分别平行于x轴、y轴的集中力F1、F2。已知F1=5kN，F2=4kN，求固定端A处的约束反力。6.2空间一般力系解：取悬臂刚架为研究对象，设约束反力如图。作用于刚架上的力有荷载q、F1、F2，A处的反力FAx、FAy、FAz及MAx、MAy、MAz。根据平衡条件，建立出平衡方程由

Fx=0可得：FAx+F1=0

解得：FAx=－5kN6.2空间一般力系由

Fy=0可得FAy+F2=0解得：FAy=－4kN由

FZ=0可得FAz－q×4=0

解得：FAz=8kN6.2空间一般力系由

Mx=0

可得：MAx－F2×4－q×4×2=0

解得：MAx=32kN·m6.2空间一般力系由

My=0可得：MAy+F1×5m=0解得：MAy=－25kN·m6.2空间一般力系由∑Mz=0可得：MAz－F1×4=0解得：MAz=20kN·m

第六章空间力系的平衡小结1.空间一力向空间直角坐标轴上任一轴的投影，可有一次投影法，二次投影法。2