复变函数与积分变换：3、4节_第1页
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文档简介

复变函数与积分变换：3、4节证明:

如

3、微分性质

如果在上连续或只有有限个可去间断点且当时,.则

证明:

推论如果在上连续或只有有限个可去间断点且则

同样还可得象函数的导数公式一般地

设,则

证

注意,上述证明过程用到了求导数运算和求积分运算的交换,应当指出,这种交换是需要一定条件的.

例1：设求和

解

4、积分性质设,若,则

证

由微分性质

例2：求微分方程的解解设,则两边同取付氏变换得

另外，付氏变换还有以下的性质对称性：若，则

相似性：若，则

象函数的平移性：若，则

翻转性：若，则

这些性质均为习题，留给大家自己证明。由对称性得

如

则§4

、卷积与卷积定理(1)定义：设函数，积分

称为与的卷积，记为即显然且有还满足对加法的分配律卷积的简单性质：解：例1：若求另外,确定的范围还可用不等式组法即例2:

求下列函数的卷积：由卷积的定义有解：(2)卷积定理：设函数均满足付氏积分定理的条件，且，则

或

证明:

交换积分次序同理可得

利用付氏变换的性质可以方便地求出某些函数的付氏变换。例3：求、及的付氏变换解：

由位移性

由象函数的位移性

由象函数的微分性

又

例4：求

解：由象函数的位移性得

而故

实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.利用傅氏变换的性质求

(t

t0),例5：若

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