2019届江苏专用高考数学大一轮复习第十四章选考部分14.1几何证明选讲第二课时圆的进一步认识讲义理苏教版

§14.1

几何证明选讲第2课时圆的进一步认识基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.圆周角与圆心角定理(1)圆心角定理：圆心角的度数等于

.(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的

.推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角

.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于

.反之，90°的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径).知识梳理其所对弧的度数一半相等90°2.圆的切线的性质及判定定理(1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的

.(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的

.推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过

.推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过

.3.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长

.4.弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的

.切线半径切点圆心相等度数的一半5.与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝

；(2)△ACP∽______(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝

；(2)△PAC∽_______(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相似求AC，BDPC·PD△BDPPC·PD△PDB切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝

；(2)△PAB∽_____(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切线长定理PA，PB是⊙O的切线(1)PA＝

；(2)∠OPA＝_____(1)证明线段相等，已知PA求PB；(2)求角PB·PC△PCAPB∠OPB6.圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角

.(2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.互补考点自测1.(2016·南通二模)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点.求证：AP·BC＝AC·CP.证明因为PC为圆O的切线，所以∠PCA＝∠PBC，又∠CPA＝∠BPC，故△CAP∽△BCP，2.(2015·重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长.首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3，解答3.(2017·扬州质检)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的长.∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，解答4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长.解答在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.由切割线定理得DC2＝DE·DB，∴DE＝5.题型分类深度剖析题型一圆周角、弦切角和圆的切线问题例1

(2016·全国乙卷)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，

OA为半径作圆.(1)证明：直线AB与⊙O相切；证明设E是AB的中点，连结OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°，在Rt△AOE中，OE＝

AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切.(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.证明因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小.(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.思维升华跟踪训练1

(1)(2016·无锡模拟)如图所示，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，求∠ACB的大小.解答如图所示，连结OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长.解答如图，连结OA，由圆周角定理知∠AOC＝60°，题型二四点共圆问题例2

如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点.证明(1)证明：A，P，O，M四点共圆；如图，连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆.(2)求∠OAM＋∠APM的大小.由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.解答(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆.(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.思维升华证明跟踪训练2如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.证明(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.题型三与圆有关的比例线段例3

(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO

交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.证明(2)若AD＝3DC，BC＝

，求⊙O的直径.解答由(1)知BD平分∠CBA，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.思维升华跟踪训练3

(1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝

，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，求线段CE的长.解答由相交弦定理得AF·FB＝DF·CF，由于AF＝2FB，可解得FB＝1，(2)(2014·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点.若QC＝1，CD＝3，求PB的长.解答由切割线定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2.由切线长定理得PB＝PA＝2QA＝4.课时作业1.(2015·江苏)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.证明求证：△ABD∽△AEB.因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.123456789102.(2017·苏北四校联考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点.证明：∠OCB＝∠D.证明12345678910因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.123456789103.(2015·湖南)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：∠MEN＋∠NOM＝180°.证明12345678910如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.123456789104.如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC＝30°，求AD的长.解答由题意可知圆O的半径为2，在Rt△ABC中，123456789105.(2016·苏锡常镇四市联考)如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上异于B，C的任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O上一点，且∠ABD＝∠ABP.求证：AB2＝BP·BD.证明12345678910∵AP与⊙O相切于点A，AB为⊙O的弦，∴∠ADB＝∠PAB，又在△DBA和△ABP中，∠DBA＝∠ABP，123456789106.(2016·南京、盐城联考)如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D，若PA＝12cm，PC＝6cm，求CD的长.解答12345678910设⊙O的半径为r，由切割线定理得AP2＝PC·(PC＋2r)，即122＝6×(6＋2r)，解得r＝9.连结OA，则有OA⊥AP.又CD⊥AP，所以OA∥CD.123456789107.(2016·苏州模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，点N在⊙O上，AN＝AC.证明：∠MDN＝2∠ACO.证明12345678910如图，连结ON，因为AN＝AC，ON＝OC，OA是公共边，所以△ANO≌△ACO，故∠OAC＝∠OAN.又∠OAC＝∠ACO，所以∠NAC＝∠OAC＋∠OAN＝∠ACO＋∠OAC＝2∠ACO.因为A，C，D，N四点共圆，所以∠MDN＝∠NAC，所以∠MDN＝2∠ACO.123456789108.(2016·徐州模拟)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，求圆O的半径R.解答12345678910由切割线定理可得PA2＝PB·PC，所以BC＝PC－PB＝3，因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，所以AB2＝BC·BP＝3，所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，123456789109.如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.解答12345678910设EB＝x，则ED＝x＋5，由切割线定理