2019届江苏专用高考数学大一轮复习第十四章选考部分14.1几何证明选讲第一课时相似三角形的进一步认识讲义理

§14.1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也

.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必

.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必

.2.平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段

.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段

.知识梳理相等平分另一腰平分第三边成比例成比例3.相似三角形的判定及性质(1)判定定理：

内容判定定理1

对应相等的两个三角形相似判定定理2

对应成比例且

相等的两个三角形相似判定定理3

对应成比例的两个三角形相似两角两边夹角三边(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于

，面积比等于

.相似比相似比的平方4.直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该____________________________

，斜边上的高的平方等于

.直角边在斜边上的射影与斜边的乘积两条直角边在斜边上射影的乘积考点自测1.(2016·南京模拟)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.2.如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的长度.依题意得，△ADB∽△ACE，解答3.(2016·镇江模拟)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求

的值.

如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，解答题型分类深度剖析题型一平行截割定理的应用例1

如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.延长CK，BA，设它们交于点H，因为KO∥HB，因为KF∥HB，即KO2＝KE·KF.证明当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题.作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等.思维升华跟踪训练1

(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF的长度.解答∵AD∥BC，∴EF＝OE＋OF＝15.(2)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，求AB的长.解答∵DE∥BC，题型二相似三角形的判定与性质例2

(2016·江苏)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.证明由BD⊥AC，可得∠BDC＝90°，则∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，又∠ABC＝90°，则∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，又∵∠EDC＝∠C，∴∠EDC＝∠ABD.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理.在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到.(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等.思维升华解答跟踪训练2(1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的长.∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C＝∠A，∴△PDE∽△PEA，又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.解答(2)如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连结BD，EC.若BD∥EC，求四边形ABCD的面积.如图，过点E作EN⊥DB交DB的延长线于点N，在Rt△DFB中，DF＝3，FB＝1，则BD＝

，由Rt△DFB∽Rt△ENB，所以EN为△BCD底边BD上的高，题型三射影定理的应用例3

(2016·苏州调研)如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC的长.解答在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC.又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，在△BDC中，过D作DE⊥BC于E.在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.思维升华跟踪训练3

(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC.解答∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AC2∶BC2＝AD∶BD＝9∶4，∴AC∶BC＝3∶2.(2)已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，求AD的长.解答如图，连结AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.课时作业1.(2016·苏州一模)如图，△OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO＝3，PA·PB＝4，求腰长OA的长度.解答12345678910如图，作OD⊥AP，垂足为D，则PO2－PD2＝OB2－BD2，所以PO2－OB2＝PD2－BD2，因为AD＝BD，所以PD2－BD2＝PD2－AD2＝(PD＋AD)(PD－AD)＝PA·PB＝4，所以PO2－OB2＝4，所以OB2＝9－4＝5，123456789102.(2016·徐州模拟)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求AE的长.由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，解答123456789103.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，求AD∶BC.∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC2＝CD·BC，解答123456789104.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，求△ACD与△CBD的相似比.解答12345678910如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x.则BD＝3x(x>0)，又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.123456789105.如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，求证： .证明12345678910∵BE是∠ABC的角平分线，在Rt△ABC中，由射影定理知，123456789106.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.证明∵CM2＝MN·AM，又∵M是BC的中点，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN，123456789107.如图所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝

CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠CEB.∴△ABF∽△CEB.证明12345678910(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积.解答12345678910∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.123456789108.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD.∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE，∴∠BFA＝∠ADE.∴△ABF∽△EAD.证明12345678910(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长.∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，解答123456789109.如图，在梯形ABCD