2-2-2-不等式的解集(人教B版2019必修第一册)

2.2.2

不等式的解集知识点一、不等式的解集与不等式组的解集1.思考方程的解与方程的解集是一样吗?提示:不一样.方程的解集是方程的解构成的集合.2.填空一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.3.做一做

答案:A问题1回答下列问题：整体概览（1）本节将要研究不等式的解集．（2）起点是不等式的性质以及初中学过的不等式的解，目标是掌握不等式组解集的方法；会借助数轴解决简单绝对值不等式．进一步提升数学运算、直观想象等素养．（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？情境与问题问题2什么叫不等式的解？如何解不等式？能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解．解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质．新知探究问题3什么叫绝对值？绝对值的意义是什么？一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|＞3，|x－1|≤2都是绝对值不等式．追问1：你能给出|x|＞3的解集吗？新知探究根据绝对值的定义可知，|x|＞3等价于

或

，即x＞3或x＜－3，因此|x|＞3的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）．追问2：如何利用绝对值的几何意义求解不等式|x|＞3？新知探究不等式|x|＞3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|＞3的解集，从而由下图可知所求解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）．12345-1-2-3-40x追问3：试总结出m＞0时，关于x的不等式|x|＞m和|x|≤m的解集．新知探究用类似方法可知，当m＞0时，关于x的不等式|x|＞m的解为x＞m或x＜－m，因此解集为（－∞，－m）∪（m，＋∞）；关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m]．追问4：你能给出|a－1|≤2的解集吗？新知探究如果将a－1当成一个整体，比如令x＝a－1，则因此|a－1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集为[－1，3]．|a－1|≤2⇔|x|≤2，（2）|x－1|＋|x－2|≥3；不等式|x|＞3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|＞3的解集，从而由下图可知所求解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）．能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解．解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质．（2）什么叫绝对值不等式？如何解绝对值不等式？（1）本节将要研究不等式的解集．（2）起点是不等式的性质以及初中学过的不等式的解，目标是掌握不等式组解集的方法；关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m]．会借助数轴解决简单绝对值不等式．进一步提升数学运算、直观想象等素养．（2）|ax＋b|＜c⇔－c＜ax＋b＜c．追问5：如何利用|a－1|的几何意义，得出不等式|a－1|≤2的解集？所以，回顾本节课，你有什么收获？根据绝对值的定义可知，|x|＞3等价于或，（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（3）两点间的距离公式以及中点坐标公式（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（4）|x－1|＋|x－2|＜．追问5：如何利用|a－1|的几何意义，得出不等式|a－1|≤2的解集？新知探究当a＝－2时，|a－1|＝|－2－1|＝3，而且在数轴上，表示－2的点与表示1的点的距离是3；当a＝3时，|a－1|＝|3－1|＝2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2．因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a－1|，如下图所示．12345-1-2-3-40aABx追问5：如何利用|a－1|的几何意义，得出不等式|a－1|≤2的解集？新知探究这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为－1和3，因此由上图可知|a－1|≤2的解集为[－1，3]．新知探究一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝|a－b|．这就是数轴上两点之间的距离公式．更进一步，如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|，因此：当a＜b时，有a＜x＜b，从而x－a＝b－x，所以

，当a≥b时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式．新知探究例1求不等式组

的解集．解：①式两边同时加上一1，得2x≥－10，得x≥－5，因此①的解集为[－5，＋∞）．类似地，可得②的解集为（－∞，－3）．又因为[－5，＋∞）∩（－∞，－3）＝[－5，－3），以原不等式组的解集为[－5，－3）．这个不等式两边同时乘以

，新知探究方法总结：（1）解不等式时一定要注意同解变形；（2）去分母时，不等式两端每一项均乘以最简公分母；（3）系数化成1时，如果两端乘以（或除以）一个负数，不等号的方向要改变；（4）在求不等式组的解集即求几个不等式的交集时，可以借助数轴来求解；（5）写解集时要特别注意端点是否能取到．新知探究例2设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．解：因为AB的中点对应的数为

，即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10，所以－13≤x≤7，因此x的取值范围是[－13，7]．所以由题意可知

≤5新知探究方法总结：一般地，当c＞0时，（1）|ax＋b|＞c⇔ax＋b＞c或ax＋b＜－c；（2）|ax＋b|＜c⇔－c＜ax＋b＜c．思考：若去掉c＞0，结论是否仍成立？能成立！新知探究例3求下列不等式的解集：（1）|x－1|＋|x－2|＜5；（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（3）|x－1|＋|x－2|＞

；（4）|x－1|＋|x－2|＜

．即x＞3或x＜－3，因此|x|＞3的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）．解：（1）x＞2时，原不等式化为x－1＋x－2＜5，|a－1|≤2⇔|x|≤2，则x＞－1，所以－1＜x＜1．以原不等式组的解集为[－5，－3）．当a≥b时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式．当a＝－2时，|a－1|＝|－2－1|＝3，而且在数轴上，表示－2的点与表示1的点的距离是3；这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为－1和3，因此由上图可知|a－1|≤2的解集为[－1，3]．关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m]．（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（2）什么叫绝对值不等式？如何解绝对值不等式？因此|a－1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集为[－1，3]．问题1阅读课本第64～67页，回答下列问题：思考：若去掉c＞0，结论是否仍成立？（2）|x－1|＋|x－2|≥3；用类似方法可知，当m＞0时，关于x的不等式|x|＞m的解为x＞m或x＜－m，因此解集为（－∞，－m）∪（m，＋∞）；新知探究解：（1）x＞2时，原不等式化为x－1＋x－2＜5，则x＜4，所以2＜x＜4；1≤x≤2时，原不等式化为x－1－（x－2）＜5，即1＜5，所以1≤x≤2；x＜1时，原不等式化为－（x－1）－（x－2）＜5，则x＞－1，所以－1＜x＜1．综上：原不等式的解集为（－1，4）．新知探究法二：利用绝对值的几何意义求解：设P（x），A（1），B（2），原不等式表示数轴上点P到两点A、B的距离和小于5的点P的坐标范围，画出数轴可知，到A、B两点的距离和为5的点为C（－1）、D（4），当点P位于线段AB内时满足不等式，所以－1＜x＜4，所以原不等式的解集为（－1，4）．12345-1-2-3-40ABxDC数轴上两点间的距离及中点坐标公式1.填空(1)距离公式:一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|.(2)中点坐标公式:A(a),B(b),线段AB的中点M对应的数为x,则2.做一做若A(5),B(7),则AB=

,AB的中点坐标为

.

答案:2

6不等式组的解集例4解不等式组,并把解集在数轴上表示出来:分析:分别求出各不等式的解集,再求出各个解集的交集,并在数轴上表示出来即可.解:(1)解不等式2x+3>1,得x>-1,解不等式x-2<0,得x<2,则不等式组的解集为{x|-1<x<2}.将解集表示在数轴上如下:解不等式x+8<4x-1,得x>3,则不等式组的解集为{x|x>3},将不等式组的解集表示在数轴上如下:反思感悟

一元一次不等式组的求解策略熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键.延伸探究

求出例1(1)中所有整数解.解:因为不等式组的解集为{x|-1<x<2},所以其整数解为0,1.解绝对值不等式例5解不等式3≤|x-2|<4.分析:此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解:原不等式等价于由①,得x-2≤-3,或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5.由②,得-4<x-2<4,∴-2<x<6.如图所示,原不等式的解集为{x|-2<x≤-1,或5≤x<6}.例6解不等式:|x+7|-|x-2|≤3.分析:利用分类讨论思想脱去绝对值符号进行求解.解:方法一:|x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1(如图所示).从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x∈(-∞,-1].方法二:令x+7=0,x-2=0,得x=-7,x=2.①当x<-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3,∴-9≤3成立,∴x<-7.②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3,即2x≤-2,∴x≤-1,∴-7≤x≤-1.③当x>2时,不等式变为x+7-x+2≤3,即9≤3不成立,∴x∈⌀.∴原不等式的解集为(-∞,-1].方法三:将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0,构造函数y=|x+7|-|x-2|-3,即作出函数的图象(如图),从图可知,当x≤-1时,有y≤0,即|x+7|-|x-2|-3≤0,∴原不等式的解集为(-∞,-1].反思感悟

含有绝对值的不等式的解题策略解含有绝对值的不等式,总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式,但要根据所求不等式的结构,选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号,故可用绝对值的几何意义来求解,或用分区间讨论法求解,还可构造函数利用函数图象求解.数轴上的基本公式及应用例4已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(-1),B(3),P(x).(1)点P到A,B两点的距离都是2时,求P(x),此时P与线段AB是什么关系?(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在,求P(x),若不存在,请说明理由.分析:根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解.解得x=1.∴点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点.(2)不存在这样的P(x),理由如下:∵AB=|1+3|=4<6,∴在线段AB上找一点P使|PA|+|PB|=3+3=6是不可能的.反思感悟

数轴上基本公式的应用(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离,若已知两点间的距离,也可用距离公式求相应点的坐标;(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标,可用公式求第三点的坐标.分类讨论或数轴法比较大小

当堂练习1.在数轴上从点A(-