第11讲-直线的交点坐标与距离公式(解析版)

第11讲直线的交点坐标与距离公式1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.1两条直线的交点设两条直线的方程是l1两条直线的交点坐标就是方程组A1(1)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；(3)若方程组有无数个解，则两条直线重合.2几种距离(1)两点距离公式平面上的两点P1(x(2)点到直线的距离公式点P0(x0,(3)两平行直线间的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+【题型1直线交点问题】【典题】（1）已知直线kx−y+1=0和x−ky=0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为．【解析】联立方程kx−y+1=0x−ky=0，解得x=k1−因为交点在第二象限，所以k1−k2故实数k的取值范围为(−1,0)．【典题】（2）若关于x、y的方程组x+y=mx+ny=1有无穷多组解，则m+n的值为【解析】关于x、y的方程组x+y=mx+ny=1有无穷多组解，则直线x+y=m和直线x+ny=1重合，故m=1，n=1，所以m+n=2．【典题】（3）若k>4，直线kx−2y−2k+8=0与2x+k2y−4【解析】(确定所求的四边形面积，要四边形的图象，即了解两条直线与坐标轴的交点与两直线的交点)由kx−2y−2k+8=02x+k2y−4k而直线L：kx−2y−2k+8=0与x轴的交点A(2−8直线M：2x+k2y−4k2−4=0与x轴的交点(由k>4，很容易确定各点的位置)如图所示，∴=1=4∵k>4，∴0<1则174故k>4时，所求面积的取值范围是(17【点拨】①根据题意画出正确的图象是正确求解的基础，对于含参的直线，要注意它是否存在定点、斜率的正负、与x、y轴交点的位置等.②而定点如何确定，如直线M：2x+k2y−4k2【典题】（4）求过直线x+2y+1=0【解析】方法1(求出交点，再用截距式求解)由x+2y+1=02由于直线在两坐标轴上截距相等，(截距相等要注意是否为0)(i)当截距为0，此时直线方程为y=kx，代入点P得k=1即所求直线方程为x−3(ii)当截距不等于0，设直线方程为xa+ya=1此时所求直线方程为5x综上所述，所求直线方程为x−3y=0方法2设所求直线方程为x+2(i)当直线过原点时，则1+λ=0，则此时所求直线方程为x−3(ii)当直线不过原点时，令x=0，解得y=λ+1λ由题意得λ+1λ−2=−λ(∗)中不包括直线2x综上所述，所求直线方程为x−3y=0【点拨】本题中方法2采取了直线系方程的方法.过两条已知直线l1:AA(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A巩固练习1.关于x,y的二元一次方程组mx+y=−13mx−my=2m+3无解，则m=【答案】0【解析】m=0时，方程组化为：y=−m≠0时，两条直线平行时，可得：m3m2.直线kx−y−1=0与直线x+2y−2=0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为．【答案】(−1【解析】由题意可得kx−y−1=0x+2y−2=0∴41+2k>0且2k−13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，点M(4,2)，点N在线段OA的延长线上．设直线MN与直线OA及x轴围成的三角形面积为S，则S的最小值为．【答案】12【解析】设MN与x轴交点的横坐标为a，则MN：y=24−a(x−a)，直线OA由y=2xy=2S=12⋅a⋅故答案为：12．【题型2距离问题】一、两点间的距离【典题】（1）在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,−1)的距离之和最小的点的坐标是．【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,−1)的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,−1)，∴AC,BD的方程分别为：y−26−2=x−1即2x−y=0，x+y−6=0．解方程组&2x−y=0&x+y−6=0得Q(2,4)【点拨】本题是从几何方法入手，利用“一点到两定点距离之和最小值为两定点距离”的三点共线最值模型求解；若设P(x,y)，再利用两点距离公式求解，就很麻烦了！【典题】（2）已知m∈R，动直线l1：x+my−2=0过定点A，动直线l2：mx−y−2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A,B【解析】l1:x+my−2=0可变形为(x−2)+my=0，过定点A(2,0)l2：mx−y−2m+3=0可变形为mx−2−(y−3)=0方法1代数法由x+my−2=0mx−y−2m+3=0可得交点P(则PA=3mm设a=3m2+1，则a+b22≤即|PA|+|PB|的最大值为32，当m=±1方法2几何法观察直线斜率可知直线l1与直线l则有PA⊥PB，且PA2+(相当于方法1的a2“已知PA2+PB想到基本不等式)由PA所以(PA即|PA|+|PB|≤32，当且仅当|PA|=|PB|所以|PA|+|PB|的最大值为32【思考】体会下两种方法的异同与优劣性，方法1中PA+【典题】（3）已知点A(4,0),B(0,2)，对于直线l：x−y+m=0的任意一点P，都有PA2+PB2>18【解析】根据题意，点P在直线l：x−y+m=0上，设P的坐标为(x,x+m)，则有PA2=x−4=4x若对于直线l：x−y+m=0上的任意一点P，都有PA2则4x即4x2+(4m−12)x+(2则有△=4m−122－16(2解可得m>−1+22或m<−1−2即m的取值范围为(−∞,−1−22【点拨】本题采取设元的方法，把PA2二、点到直线的距离【典题】（1）已知直线l方程为2+mx+1−2my+4−3m=0．那m【解析】方法一函数法点Q到直线l的距离d=3则d令t=−56m+33，则−56m+33m由对勾函数易得t+4225t−66≥64(当t=65时取到等号)则0≤3136tt故当t=65，即m=−47时，d2取到最大值4方法二几何法直线2+mx+1−2my+4−3m=0由x−2y−3=0−2x−y−4=0，得x=−1∴直线必过定点(−1,−2)．当点Q(3,4)到直线的距离最大时，QP垂直于已知的直线，即点Q与定点P(−1,−2)的连线就是所求最大值，此时直线PQ与直线2+mx+∵kPQ=−2−4−1−3此时，点Q(3,4)到直线的最大距离是(3+1)综上所述，m=−47时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为【点拨】体会下两种方法的优劣性.【典题】（2）设直线l1：y=k1x+1，l2：y=(1)证明：直线l1与l(2)试用解析几何的方法证明：直线l1与l(3)设原点到l1与l2的距离分别为d1和d【解析】证明：(1)(只需证明k1反证法：假设l1与l则l1与l2平行，有代入k1k2这与k1为实数的事实相矛盾，∴k1≠k(2)由(1)知k1≠解得交点P的坐标(x,y)为x=2而x2即l1与l2的交点到原点距离为3d(从函数的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元)=1=1+k=1+k1=1+当|k1|=1即k1=±1【点拨】对于一些常见的式子(或模型)的处理手段要掌握好，这是基本功.三、两平行线间的距离【典题】（1）正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y−5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，(1)求正方形中心G所在的直线方程；(2)设正方形中心G(x0,【解析】(1)由于正方形中心G所在直线平行于直线x+3y−5=0，设中心所在直线为x+3y+c=0，由平行线间的距离公式得|c+5|12+则正方形中心G所在的直线方程为x+3y+1=0；(2)正方形的边长即为平行直线AB与CD间的距离d=|7+5|设正方形BC所在直线方程为3x−y+m=0，(用到了正方形内角是直角的性质)由于中心G(x0,y0那么|3x0−y0又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0把②代入①得m=±6−10x0联立方程x+3y−5=03x−y+m=0，解得x=由于正方形只有两个点在第一象限，那么x>0y>0，就是−3m+510>0m+1510把③代入④得到−15<±6−10x0故x0的取值范围为(【点拨】结合图象，充分利用图象的性质得到变量的限制要求，从而求出变量范围.【典题】（2）若平面内两条平行线l1：x+a−1y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为35【解析】∵平面内两条平行线l1：x+(a−1)y+2=0，l2：∴1a=a−12当a=2时，两条平行直线即l1：2x+2y+4=0，l2：它们之间的距离为|4−1|4+4当a=−1时，两条平行直线即l1：x−2y+2=0，l2：它们之间的距离为|2+1|1+4故实数a=−1．【点拨】用两平行直线距离公式时，要确定x、巩固练习1.到直线3x－4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程是．【答案】3x－4y+16=0或3x－4y－14=0【解析】由平行关系可设所求直线的方程为3x－4y+c=0，由平行线间的距离公式可得|c−1|3解得c=16，或c=－14∴所求直线的方程为：3x－4y+16=0，或3x－4y－14=02.已知△ABC的顶点为A(2,1)，B(−2,3)，C(0,−1)，则AC边上的中线长为．【答案】32【解析】根据题意，设AC的中点为D，△ABC的顶点为A(2,1),B(－2,3),C(0,－1)，则D(1,0)，|BD|=9+93.点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y−12=0的距离的取值范围为．【答案】[7【解析】记d为点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y－12=0的距离，即：d=15|3cosθ+4sinθ－12|=当θ变化时，d的最大值为175，d的最小值为74.已知实数a,b,c成等差数列，则点P(2,−1)到直线ax+by+c=0的最大距离是．【答案】2【解析】由a,b,c成等差数列，得a+c=2b，所以c=2b－a；则点P(2,－1)到直线ax+by+c=0的距离是d=|2a−b+c|由a+b2≤2(a所以a2+b2所以d≤|a+b|即点P(2,－1)到直线ax+by+c=0的最大距离是2．5.已知点M(a,b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b【答案】5【解析】∵a2+b2的几何意义是点O(0,0)到点M∴a2+b2的最小值为点O又d=25∴a6.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数【答案】a=10或【解析】设P(x,1则d=|PA|=(x−a令t=x+∴d=t令ft该函数对称轴t=a①a≤2时，f(t)递增，f解得a=－1或3(②a>2时，f解得a=10或−综上，a的取值为－1或10．一、单选题1．（2004·湖北·高考真题）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】首先设点的坐标，再根据条件列出，利用向量的坐标相等，即可求解点的坐标，代入直线方程求.【详解】设，且，则，得，解得：,代入直线，，得.故选：D2．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.②，若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.③若，则，“距离坐标”为的点有且仅有4个，为，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D3．（2003·全国·高考真题）已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取点、，则、、三点共线，、、三点共线，求出直线、的方程，联立这两条直线的方程，可得出点的坐标，进而可求得的值.【详解】如下图所示：由题意可知点，取点、，则、、三点共线，、、三点共线，且直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以，直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，即点，因为点在直线上，所以，，解得.故选：C.4．（1993·全国·高考真题）与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（

）A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0C．+4y=0 D．+4y+5=0【答案】B【分析】关于轴对称的两直线斜率是相反数，过轴上同一点，由此可得．【详解】直线的斜率是，与轴交点为，因此它关于轴对称的直线方程是，即．故选：B．5．（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】解：由题意得．解得或．，．故选：C.6．（2005·浙江·高考真题）点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断点（1，-1）不在直线上，再利用点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得点（1，-1）不在直线上，所以点（1，-1）到直线的距离为．故选：D．【点睛】本题主要考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．（2008·全国·高考真题）原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.【详解】由点到直线距离可知所求距离.故选：D【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.8．（2004·全国·高考真题）在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，所以，，解之得k＝0或，所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.9．（2003·全国·高考真题）直线关于x轴对称的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，求出对称点，得出关系.【详解】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则关于x轴对称的点在直线上，即有，满足直线方程，即，

化简得，.故选：C.10．（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.11．（2004·安徽·高考真题）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上，即，解得：在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上，由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为：即故选：C【点睛】本题考查求直线关于直线的对称方程，属于基础题.方法点睛：（1）若两条直线不平行，求出交点坐标，则交点在所求直线上；（2）在已给直线上任取一点，求出此点关于直线的对称点，也在所求直线上；（3）利用两点坐标求斜率以及直线方程.二、解答题12．（2003·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）(1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？(2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？【答案】(1)(2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论；（2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论．【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为所以，当时，函数取得最小值．则点的坐标是（2）解：记至三镇的最远距离为由解得，记，于是当，即时，因为在，上是增函数，而在，上是减函数．所以时，函数取得最小值．点的坐标是当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值．则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中三、填空题13．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是.【答案】4【分析】画出到直线距离为1的点的轨迹和到直线距离为2的点的轨迹，交点即为“距离坐标”是的点.【详解】作直线，与直线平行，且与直线的距离为1，作直线，与直线平行，且与直线的距离为2，由图可得，，，，有4个交点，即“距离坐标”是的点个数为4.故答案为：4.14．（2009·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号)．【答案】①⑤【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．【详解】因为，所以直线，间的距离．设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，则在中，，所以，又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为或．故答案为：①⑤．15．（2005·上海·高考真题）直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是；【答案】【分析】由题得对称的直线的斜率为，再解方程组得两直线的交点坐标，再写出对称直线的方程.【详解】由题得对称的直线的斜率为，解方程组得两直线的交点为，所以对称直线的方程为.故答案为【点睛】本题主要考查线线线对称问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.一、单选题1．点到直线的距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点线距离公式即可求解.【详解】因为点线距离公式为，所以.故选：B.2．点关于直线的对称点Q的坐标为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中点和斜率来求得点坐标.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得．所以点Q的坐标为.故选：A3．已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两直线关于原点对称的特点，即将的方程中改为，改为，即可得到答案.【详解】因为直线与关于原点对称，则只需将的方程中改为，改为，可得的方程是，即故选：A4．在平面内，与轴、轴和直线的距离都相等的点共有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】设满足题意得点的坐标为（a，b），由距离公式可得a2＝b2，分类讨论可得结论．【详解】设满足题意得点的坐标为（a，b），∵点到x轴、y轴的距离相等，∴a2＝b2，∴a＝b或者a＝﹣b；由点到直线的距离公式可得：点到直线x+y﹣2＝0的距离的平方d2由题可得a2＝b2当a＝b时，可解得a＝b＝2±；当a＝﹣b时，可解得a＝﹣b＝±；∴符合题意得点总共4个故选D．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．5．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）上的点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将直线，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】可得：根据点到直线距离公式，可得上的点到直线的距离为【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.6．经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】先求解出两直线的交点坐标，然后分类讨论直线的截距是否为，由此求解出满足的直线方程.【详解】因为，所以，当直线的横纵截距都为时，设，代入可得，所以直线方程为，即；当直线的截距不为时，设，代入可得，所以直线方程为，即；故选：D.二、多选题7．已知直线与交于点，则（

）A．B．C．点到直线的距离为D．点到直线的距离为【答案】ABD【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可.【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确，∴到直线的距离，故C错误，D正确.故选：ABD.8．下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离为B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8.D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为.【答案】AB【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断；对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可.【详解】解：对于A，点到直线的距离为，故A正确；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确；故选：AB.三、填空题9．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为.【答案】【分析】由两直线平行与系数间的关系列式求得值，再由两平行线间的距离公式求解.【详解】解：直线与直线平行，，解得.直线化为，即.由两平行线间的距离公式可得，直线与直线间的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查两直线平行与系数间的关系，考查两平行线间的距离公式的应用，是基础题.10．斜率为的直线过点为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件，则点到直线的距离为.【答案】1【分析】根据条件求向量在法向量上的投影数量的绝对值即可.【详解】，即在上的数量投影的绝对值等于1，所以点到直线的距离为1.故答案为：111．已知曲线的参数方程为（为参数，），曲线上的两点，对应的参数分别为，，且，则.【答案】【分析】设，，先求出，再求得解.【详解】设，，因为，在曲线上，所以，，因为，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查参数方程的应用，考查曲线上两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．一直线过点P(2,0)，且点到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为.【答案】90°或30°【分析】考虑斜率不存在和存在两种情况，利用点到直线的距离公式计算得到答案.【详解】当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到该直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°；当过点P的直线不垂直于x轴时，直线斜率存在设为k，则过点P的直线方程为，即.由，解得，此时直线的倾斜角为30°.【点睛】本题考查了直线的倾斜角，解答此类问题时，一定要考虑全面，尤其是设直