2025年春新华师大版数学七级下册全册课件

新华师大版数学七年级下册全册教学课件2025年春季新版教材第5章

一元一次方程

学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？

设步道一圈的长为xm，可列出方程：

★本章将学习一元一次方程的解法，并学习应用一元一次方程解决一些实际问题，从中感受方程的作用.5.1从实际问题到方程1.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程.（难点）2.理解方程、方程的解等概念.(重点）问题1

课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？

大家讨论一下！比较典型的有下面两种解法：解法一（尝试—检验）

经过1年，同学们的年龄是14岁，老师的年龄是46岁，不是同学们年龄的3倍；经过2年，同学们的年龄是15岁，老师的年龄是47岁，不是同学们年龄的3倍；经过3年，同学们的年龄是16岁，老师的年龄是48岁，恰好是同学们年龄的3倍.不管过了多少年，张老师与同学们的年龄差是不变的，根据他们现在的年龄可知，这个年龄差为

45-13=32（岁）.当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时，他们的年龄差应该是同学们年龄的2倍，这时同学们的年龄是

（45－13）÷2=32÷2=16（岁），所以要求的年数是16-13=3，和解法1的答案相同.解法2（分析—列算式）

我们前面已经学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母（例如x）表示未知的年数，你能发现什么？经过x年，老师的年龄是_________岁，同学们的年龄是__________岁，这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即

老师的年龄=3×（同学们的年龄），于是有

45+x=3（13+x）.①（45+x）（13+x）同学们今年的年龄是13岁，班主任李老师今年的年龄是55岁，经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍？

我们设未知的年数为x，则同学的年龄是（13+x）岁，老师的年龄是（55+x）岁.

则有55+x=3（13+x）.让我们回到本章开头提出的问题：问题2学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？你能解这个问题吗？

上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式①和②.知识点1方程与方程的解45+x=3（13+x）.①

☀归纳

像这样，含有未知数的等式叫做方程.例如x=3是方程①的解，它能使得方程①左边:45+3=48，右边:3×(13+3)=48,左、右两边的值相等.当方程中只有一个未知数时，方程的解也叫做方程的根.

求方程的解的过程，叫做解方程.☀能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.(1)-2+5=3()(2)3x-1=7()(3)2a+b()(4)x﹥3()(5)x+y=8()(6)2x2-5x+1=0()

√×√×√×例1

以下各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解.（1）6x+2=14(0,1,2,3)（2）10=3x+1(0,1,2,3)（3）2x－4=x+4(4,8,12)x=2x=3x=8１.将数值代入方程左边进行计算，２.将数值代入方程右边进行计算，３.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．判断一个数值是不是方程的解的步骤：知识点2根据实际问题列方程例2

根据下列问题，设未知数并列出方程：(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少？解：设正方形的边长为x

cm.等量关系：正方形边长×4=周长.x

列方程：4x=24.(2)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450h.等量关系：已用时间+再用时间=检修时间.列方程：1700+150x=2450.

(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，

男生数为(1－0.52)x.

等量关系：女生人数－男生人数=80列方程：0.52x－(1－0.52)x=80

请同学们思考：（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？（2）列方程的依据是什么？实际问题

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.抓关键句子找等量关系方程设未知数列方程1.方程2(x+3)=x+10的解是()A.x=3B.x=－3C.x=4D.x=－42.已知x=2是方程2(x－3)+1=x+m的解，则m=（）A.3B.2

C.－3D.－2CCA3．“一个数比它的相反数大4”，若设这个数是x，则可列出关于x的方程为（)

A.x=-x+4

B.x=-x+(-4)

C.x=-x-(-4)

D.x+(-x)=44．A种饮料比B种饮料的单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料的单价为x元/瓶，可列方程为____________________.2(x－1)＋3x＝135.王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是___________________.

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.1等式的性质与方程的简单变形第1课时

等式的基本性质1.理解等式的基本性质；2.能利用等式性质对等式进行变形.（重点、难点）思考：要让天平平衡应该满足什么条件？知识点1等式的基本性质1问题1对比天平与等式，你有什么发现？等号成立就可看作是天平保持两边平衡！等式左边等式右边等号问题2观察天平有什么特性？天平平衡状态下，同时放入或拿走了左右两边绿色的商品，天平仍然平衡.这个事实反映了等式的基本性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.☀如果a

=b，那么a+c=b+c，a－c=b－c.知识点2等式的基本性质2观察下图并填空.图中的字母表示相应物品的质量，两图中天平均保持平衡.a

b3a

3b你从上述过程中发现了等式的哪些性质?怎样用字母表示?这个事实反映了等式的基本性质2：

等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.

（1）如果a+2=b+7,那么a=

；解：因为a+2=b+7，由等式性质1可知，等式两边都减去2，

得a+2-2=b+7-2，

即a=b+5.（2）如果3x=9y，那么x=

；

b+53y

2b

请在括号中写出下列等式变形的理由：（1）如果a-3=b+4，那么a=b+7()；

等式基本性质1等式基本性质2

等式基本性质2（4）如果2a+3=3b-1，那么2a-6=3b-10().等式基本性质1

解:（1）错误.由等式性质1可知，等式两边都加上3，得a-3+3=2b-5+3，即

a=2b-2.

判断下列等式变形是否正确，并说明理由.

不正确，应该是a+9=3b-3.（2）若2x-6=4y-2，则x-3=2y-2.不正确，应该是x-3=2y-1.DD1．如果ac=ab，那么下列等式中不一定成立的是（

）

A.ac-1=ab-1

B.ac+a=ab+a

C.-3ac=-3ab

D.

c=b2.下列变形中，不正确的是

（

）

A.由y+3=5，得y=5-3

B.由3y=4y+2，得3y-4y=2

C.由y=-2y+1，得y+2y=1D.由-y=6y+3，得y-6y=3

4．下列结论中不能由a+b=0得到的是()A.a²=-ab

B.|a|=|b|C.a=0，b=0

D.a²=b²CC同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.1等式的性质与方程的简单变形第2课时

用方程的变形解简单的方程1.正确理解和使用方程的变形规则；（难点）2.能利用方程的变形规则解一元一次方程.（重点）等式的基本性质:1.等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.如果a

=b，那么a+c=b+c，a－c=b－c.

知识点1方程的变形规则由等式的基本性质，可以得到方程的变形规则：1.方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；2.方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.根据这些规则，我们可以对方程进行适当的变形，求得方程的解.例1

解下列方程：（1）x-5=7;（2）4x=3x-4.解

（1）

x-5=7,（2）

4x=3x-4,以上两个方程的解法，都依据了方程的变形规则1.两边都加上5，得x=7+5,即

x=12.两边都减去3x，得4x-3x=-4.合并同类项，得

x=-4.

在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？知识点2移项

(1)移项的根据是等式的基本性质1.(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号.(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数的项)移到方程的右边.移项要点：☀

以上两个方程的变形，相当于将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边.

像这样的变形叫做移项.(1)5＋x＝10移项得x＝10＋5；(2)6x＝2x＋8移项得6x＋2x

＝8；(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.××√√10－56x－2x下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动的项变号，如从2＋5x＝7得到5x＝7＋2是不对的．2.没移项时不要误认为移项，如从－8＝x得到x＝8，犯这样的错误，其原因在于对等式的对称性与移项的区别没有分清．注意：知识点3将未知数的系数化为1

在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？☀概括

以上例1和例2解方程的过程，都是将方程进行适当的变形，得到x=a的形式.☀归纳

这两个方程的解法，都依据了方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数.像这样的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.1.下列方程变形中，正确的是（

）

A.由4+x=5，得x=5+4

B.由x-1=-2，得x=-2-1

C.由2x=3x-5，得3x-2x=5

D.由4-3x=0，得-3x=42.下列变形正确的是（

）A.从7+x=13，得到x=13+7

B.从5x=4x+8，得到5x+4x=8C.由3+x=5，得x=5+3

D.由3=x-2，得x=2+3

CDD

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.1等式的性质与方程的简单变形

第3课时

解较复杂的方程1.回顾移项的方法步骤.2.学会用移项的方法解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.(重点）移项：将方程中的某些项___________后，从方程的_________________.像这样的变形叫做移项.改变符号一边移到另一边利用方程的变形，求方程2x+3=1的解，并和同学交流.解：两边都减去3，得2x=1-3.合并同类项,得2x=-2.两边都除以2，得

x=-1.2x+3=1①2x=1-3②

由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“+3”这一项从方程的左边移到了方程的右边.“+3”这项移动后，发生了什么变化?改变了符号+3

2x+3=12x=1-3

(2)原方程即

8+2x=6.移项,得

2x=-2.将未知数的系数化为1，得x=-1.例1

解下列方程：知识点1用移项和合并同类项解方程（3）移项，得合并同类项，得将未知数的系数化为1，得解方程：4x+3=2x-7.

合并同类项，得2x=-10解：移项，得4x-2x=-7-3将未知数的系数化为1，得x=-5知识点2解较复杂的方程例2

解方程:5x-5=8x-2x-2.解：移项，得5x-8x+2x=-2+5.合并同类项，得-x=3.将未知数的系数化为1，得x=-3.☀方法总结

解较复杂的方程的一般步骤：①移项；②合并同类项；③将未知数的系数化为1.例3

若代数式2x+5与x+8的值相等，求x的值.解：根据题意，得2x+5=x+8，移项，得2x-x=8-5，合并同类项，得x=3.☀方法总结

已知两代数式的关系，列出方程，求解即可.解下列方程：（1）

；（2）.

解下列一元一次方程：答案：(1)x=-2(2)t=20(3)x=-4(4)x=2(5)x=3(6)x=27（5）10x－5x+5=30－2x－4

（6）4x－4－60+3x=5x－10同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.2解一元一次方程第1课时

解一元一次方程——去括号1.理解一元一次方程概念及特点.(重点）2.了解“去括号”是解方程的重要步骤；3.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程.(难点、重点）

前面我们遇到的一些方程，例如观察这两个方程有什么共同特点?

45+x=3（13+x），知识点1一元一次方程的定义问题

观察以下两个方程有什么共同特点?只含有一个未知数,

（一元）（一次）含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.左右两边都是整式，我们发现

，

45+x=3（13+x），一元一次方程定义:注意以下三点：（1）一元一次方程有如下特点：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③含有未知数的式子都是整式.（2）一元一次方程的最简形式为：ax=b(a≠0).（3）一元一次方程的标准形式为：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且(a≠0)）.☀

只含有一个未知数、左右两边都是整式,并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一次方程.

√√知识点2解含括号的一元一次方程1.利用乘法分配律计算下列各式：(1)2(x+8)=(2)-3(3x+4)=(3)-7(7y-5)=2x+16-9x-12-49y+352.去括号:(1)a+(–b+c)=(2)(a–b)–(c+d)=(3)–(–a+b)–c=(4)–(2x–y)–(–

x2+y2)=a-b+ca-b-c-da-b-c-2x+y+x2-y2去括号法则：用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律:

a+(b+c)

a–(b+c)=a+b+c=a–b–c去掉“+(

)”，括号内各项的符号不变.

去掉“–(

)”，括号内各项的符号改变.例1

解方程：3(x－2)+1=x－(2x－1).3x－6+1=x－2x+1.

解：去括号，得合并同类项，得3x－5=－x+1.

移项，得3x+x=1+5.合并同类项，得4x=6.将未知数的系数化为1，得

例2

解下列方程：解：(1)去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);(2)3x-7(x-1)=3-2(x+3).(2)去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得2x-x-10=5x+2x-2.2x-x-5x-2x=-2+10.-6x=8.

3x-7x+7=3-2x-6.3x-7x+2x=3-6-7.-2x=-10.x=5.移项合并同类项系数化为1去括号

通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？(1)6x

=－2(3x－5)＋10;

(2)－2(x＋5)=3(x－5)－6.

解下列方程:解:(1)6x=－2(3x－5)＋106x=－6x＋10＋106x

+6x=10＋10

12x=20(2)－2(x＋5)=3(x－5)－6－2x－10=3x－15－6－2x－3x=－15－6＋10

－5x=－11

1.对于方程2(2x－1)－(x－3)=1去括号正确的是()A.4x－1－x－3=1B.4x－1－x+3=1C.4x－2－x－3=1D.4x－2－x+3=1DD

(1)

3x－5(x－3)=9－(x+4)(2)2x-(x-10)=5x+2(x-1)(3)4(2x+3)=8(1-x)-5(x-2)(4)3(x-1)-2(x+10)=-63.解下列方程．

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.2解一元一次方程第2课时

解一元一次方程——去分母1.掌握含有分母的一元一次方程的解法.(重点）2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.（难点）

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草上．经破译，上面都是一些方程，共85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题.纸莎草文书你能解决以上古代问题吗？

分析：你认为本题用算术方法解方便，还是

用方程方法解方便？请你列出本题的方程.

结论：设这个数是x，则可列

方程问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数？

你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.

总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.知识点

解含分母的一元一次方程2.去分母时要注意什么问题?想一想1.若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘以什么数?解方程：系数化为1去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）

移项合并同类项去括号注意:(1)为什么同乘各分母的最小公倍数10；(2)小心漏乘,记得添括号.5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2×2x15x+5-20=3x-2-4x15x-3x+4x=-2-5+2016x=13

例1

分析

这个方程中的系数出现了分数，通常可以将方程的两边都乘以同一个数（这里是都乘以6），去掉方程中的分母．像这样的变形通常称为“去分母”.解

去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得将未知数的系数化为1，得这里为什么要添上括号？注意：去分母时，分子是多项式时要把分子看作一个整体.移项合并同类项系数化为1去括号

通过以上解方程的过程，你能总结出解含分母的一元一次方程通常有哪些步骤吗？去分母例2解方程：解：去分母，得

2(x+1)－4=8+(2－x)去括号，得

2x+2－4=8+2－x

移项，得2x+x=8+2－2+4

合并同类项，得3x=12

系数化为1，得

x=4解：去分母，得

18x+3(x－1)=18－2(2x－1)去括号，得

18x+3x－3=18－4x+2

移项，得18x+3x+4x=18+2+3

合并同类项，得25x=23

系数化为1，得下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？解方程：解：去分母，得4x－1－3x+6=1

移项，合并同类项，得x=4去括号符号错误约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错.方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数61.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的

；2.去分母的依据是

，去分母时不能漏乘

；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.最小公倍数等式的基本性质2没有分母的项

CD3.解下列方程:

同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.2.2解一元一次方程第3课时

用一元一次方程解决实际问题1.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(难点）2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)小敏，我能猜出你年龄.小敏不信你的年龄乘2减5得数是多少？你今年13岁21她怎么知道我的年龄是13岁的呢？小兰知识点

用一元一次方程解决实际问题某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：全价票20元/人半价票10元/人该公园共售出1200张门票，得总票款20000元，问全价票和半价票各售出多少张？全价票数＋________＝1200张；

________＋半价票款＝________．

分析题意可得此题中的等量关系有：半价票数全价票款20000元设售出全价票x张，填写下表：

全价半价票数/张

票款/元

根据等量关系②，可列出方程：解得x＝

.因此，售出全价票

张，半价票

张.x1200－x20x10(1200－x)全价票款＋半价票款＝20000元20x10(1200－x)+

=20000800800400可不可以设其他未知量

为x？例1如图,天平的两个盘内分别盛有51g和45g盐，问：应从A盘中拿出多少盐放到B盘中，才能使天平平衡？ABAB分析

从A盘中拿出一些盐放到B盘中，使两盘中所盛盐的质量相等，于是有这样的等量关系：

设应从A盘中拿出x

g盐放到B盘中，我们来计算两盘中现有盐的质量，可列表如下：A盘中现有盐的质量

=

B盘中现有盐的质量A盘B盘原有盐/g5145现有盐/g50-x45+x解：设应从A盘中拿出盐xg放到B盘中，则根据题意，得51－x=45+x解这个方程，得x=3.经检验，符合题意.答：应从A盘中拿出盐3g放到B盘中，才能使天平平衡.例2

新学期开学，学校团委组织八年级65位新团员将教科书从仓库搬到七年级新生教室.女同学每人每次搬3包，男同学每人每次搬4包.每位同学搬了2次，共搬了450包.问：这些新团员中有多少位男同学？分析

题目告诉了我们好几个等量关系，其中有这样的等量关系：男同学搬书包数

+女同学搬书包数

=搬书总包数.设新团员中有x位男同学，那么立即可知女同学的人数，从而容易分别算出男同学和女同学共搬书的包数，可列出表.由上述等量关系即可列出方程.男同学女同学总数搬书的人数x65每人搬书的包数3×2共搬书的包数4504×265-x8x6(65-x)解：设新团员中有x名男同学,根据题意，得：8x+6(65－x)=450.解这个方程，得x=30经检验，符合题意.答：这些新团员中有30位男同学.问题方程解答分析抽象求解检验分析和抽象的过程包括:(1)弄清题意,设未知数;(2)找等量关系;(3)列方程.☀概括

列一元一次方程解决实际问题，关键在于抓住问题中的等量关系，列出方程．求得方程的解后，经过检验，得到实际问题的解答.

这一过程也可以简单地表述为：在设未知数和作出解答时，应注意量的单位.1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米／秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米／秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?路程速度时间(秒)前一段冲刺阶段总数4006865分析:设小刚在冲刺阶段花了x秒时间,可列表：6(65-x)65-x解:小刚在冲刺阶段花了x秒时间,根据题意，得答:小刚在冲刺阶段花了5秒时间.经检验，符合题意.6（65-x）+8x=400.解这个方程，得x=5.2.某市的出租车计价规则如下:行程不超过3千米,收起步价8元;超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?解:设共乘坐了x千米的路程,根据题意，得解这个方程得x=11.经检验，符合题意.答:他们共乘坐了11千米的路程.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.3实践与探索第1课时

物体形状变化问题与数字问题1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.（难点）2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）3.能利用一元一次方程解决数字问题.（重点）从一个水杯向另一个水杯倒水思考：在这个过程中什么没有发生变化？知识点1与平面图形有关的实际问题

在这个过程中什么没有发生变化？长方形的周长(或长与宽的和)不变问题1

用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.

xcm等量关系：（长+宽）×2=周长

解得x

=18

此时长方形的长为18cm，宽为12cm.(2)如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；(x-4)cmx

cm解：设此时长方形的长为xcm，则它的宽为（x-4）cm.根据题意，得(x+x-4)×2=60解得x=1717-4=13

(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？∴（2）中长方形的面积比(1)中长方形的面积大.

∵221＞216，

∴还可以围出面积更大的长方形.

由此可以得到：当长与宽相差越小时，长方形的面积越大，当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.

讨论在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数；小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算这个长方形的面积.例1

用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．分析

比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为

正方形的周长＝圆的周长．解：设圆的半径为r

m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得答：铁丝的长为8π

m，圆的面积较大．∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，∴圆的面积大．正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．问题2

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少米？知识点2立体图形的等积变形问题3.列出方程并求解.2.根据表格中的分析，找出等量关系.旧水箱的容积=新水箱的容积π×22×4π×1.62×x=解得x=6.25因此，水箱的高度变成了6.25m.1.如果设水箱的高变为xm，填写下表：旧水箱新水箱底面半径/m高/m1.624xπ×22×4π×1.62×x一种牙膏出口处直径为5mm，小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，小明还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？

知识点3数字问题例2已知一个两位数的十位数字比个位数字的2倍多1，将这个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，得到的新两位数是原两位数减去2后的一半，求原两位数.

你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？1.审——通过审题找出等量关系.6.答——注意单位名称.5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).3.列——依据找到的等量关系，列出方程.2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.2.一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(

)A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.9cmBC

3.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米答案：30厘米.164.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？能力提升：5.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数的个位数字与百位数字顺序对调（个位数字变百位数字）所得的新数比原数的2倍少49，求原数.解：设原数百位数字为x，则十位数字为（x+1），个位数字为2x.由题意得100×2x+10×（x+1）+x+49=2×[100x+10（x+1）+2x],

即211x+59=224x+20,

解得x=3.故原数为100×3+10×4+2×3=346.答：原数为346.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.3实践与探索第2课时

储蓄问题与销售问题1.掌握用一元一次方程解决储蓄问题.(重点)2.掌握“销售中的盈亏”中的相关概念及数量关系.(重点)3.掌握解决“销售中的盈亏”的一般思路.（难点）列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？1.审——通过审题找出等量关系.6.答——注意单位名称.5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).3.列——依据找到的等量关系，列出方程.2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.知识点1储蓄问题例1

某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元.小明爸爸存入银行的本金是多少元？分析

设小明爸爸存入银行的本金为x元，则一年后的利息为2.25%x.等量关系：本利和=本金+利息解：设小明爸爸存入银行的本金为x元，根据题意，得x+2.25%x=10225解得

x=10000.经检验，符合题意.答：小明爸爸存入银行的本金为10000元.知识点2销售问题1.商品原价200元，九折出售，卖价是

元.2.商品进价是150元，售价是180元，则利润是

元.利润率是_______.

3.某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是

元.4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为

元.5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则定价是

元.

1803020％0.9a1.25a18.5上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量?成本价(进价);标价;销售价;利润;盈利;亏损；利润率上面这些量有何关系?

=商品售价—商品进价☀售价、进价、利润的关系式：商品利润☀进价、利润、利润率的关系：利润率=商品进价商品利润×100%

☀标价、折扣数、商品售价关系：商品售价＝标价×折扣数10☀商品售价、进价、利润率的关系：商品进价商品售价=×(1+利润率)销售中的盈亏例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？

解：设这件衣服的进价是x元，则提价后的售价是(1＋25%)x

元，促销后的售价是(1＋25%)x×0.8元，依题意得(1＋25%)x×0.8＝60

解得x＝60

∵售价60=成本60答：这家商店不盈不亏.例3

某商场购进一批服装，一件服装的标价为400元.（1）若按标价的六折销售，则实际售价是多少？（2）在（1）的条件下销售这种服装仍可获利20%，问这种服装每件的进价为多少元？

某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利20%,则该商品的标价为

元.29701.几年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是2.75%.到期后取出，得到本金和利息总共21

100元.设李叔叔存入的本金为x元，则下列方程正确的是（

）A.2×2.75%x=21

100

B.x+2.75%x=21

100C.x+2×2.75%x=21

100D.2（x+2.75%x)=21

100C2.某种商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元.此种商品的进价为______元.1253.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？解:设商店最多可以打x折出售此商品,根据题意，得

解得x=7答:商店最多可以打7折出售此商品.4.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?②设亏损25%的衣服进价是y元，依题意得y－0.25y＝60解得y＝80①设盈利25%的衣服进价是x

元，依题意得x＋0.25x＝60解得x＝48解：两件衣服总成本：48＋80＝128(元)因为120－128＝－8(元)所以卖这两件衣服共亏损了8元.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。5.3实践与探索第3课时

工程、行程、调配问题1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型；（难点）2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.（重点）3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.（重点）行程问题中的基本数量关系是什么?

1．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少?2．一件工作，如果甲单独做3小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少?

3．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?

问题1

某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天.（1）两人合作需几天完成？（2）如果师傅先工作了2天，然后与徒弟合作，问还需几天完成？（3）现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬900元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？知识点1工程问题试解答这一系列问题，并和同学们一起交流各自的做法.列表分析：工作效率工作时间工作量师傅

徒弟解：（1）设两人合作完成需要x天.xx

工作量之和等于总工作量1

解得x=2.4.所以两人合作完成需要2.4天.（2）设还需y天完成.列表分析：工作效率工作时间工作量师傅

徒弟y+2y

解得y=1.2.所以还需1.2天完成.（3）设完成这项工作总共用了z天.列表分析：工作效率工作时间工作量师傅

徒弟z-1z

解得z=3.

所以徒弟与师傅平分报酬，每人分得450元.

一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？

解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得

解方程，得x=8.答：要8天可以铺好这条管线.问题2

小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明.

已知小明骑车的速度为13km/h，小红骑车的速度是12km/h.

（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？分析

由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).知识点2行程问题解：（1）设小明与小红骑车走了xh后相遇，则根据等量关系，得13x+12x=20.

解得

x=0.8.

答：经过0.8h他们两人相遇.小明走的路程小红走的路程（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？小明先走的路程小红出发后小明走的路程小红走的路程解：（2）设小红骑车走了th后与小明相遇，则根据等量关系，得13(0.5+t)+12t=20.

解得

t=0.54.

答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.路程＝速度×时间甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离

相遇问题注意相向而行的始发时间和地点例1

小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他．问爸爸追上小明用了多长时间？

分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.据题意，得80×5＋80x=180x.答：爸爸追上小明用了4分钟．解得

x=4.80×580x180x路程＝速度×时间S快－S慢=S原来距离

追及问题注意同向而行始发时间和地点知识点3调配问题例2

某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1

000个或者加工B部件600个.现有工人16人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？分析

本题中设安排x人生产A部件，相等关系是“每天生产A部件的数量=每天生产B部件的数量”.列表如下：类别A部件B部件每人每天加工的数量(个)1000600安排的工人数(人)每天生产部件的数量(个)x16-x1000x600(16-x)解：设安排x人生产A部件，则安排（16-x）人生产B部件.根据题意，得1000x=600（16-x），解方程，得x=6.经检验，符合题意，所以16-x=16-6=10.答：应安排6人生产A部件，10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套.☀归纳

在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比.A．30千米B．40千米C．50千米D．45千米B

B2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A，B两地相向而行，2小时相遇，如果甲比乙每小时多行5千米，则乙每小时行(

)1．甲每小时走5千米，甲出发4.5小时后，乙骑车从同一地点出发追赶甲，乙用了35分钟追上甲，设乙骑车的速度为x千米/时，则所列方程为(

)3．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了(

)A．40秒

B．50秒

C．60秒

D．70秒A4.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为_______________.

5.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知A，B两地的距离为480km，且甲车以65km/h的速度行驶．若两车4h后相遇，则乙车的行驶速度是多少？6.生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40h

完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？答：应先安排2人做4小时.答：乙车的行驶速度是55km/h.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第6章

一次方程组“我们的小世界杯”足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队赛了9场，共得17分．已知这个队负了2场，那么这个队胜了几场？平了几场呢？

★本章将研究一次方程组的解法，并应用一次方程组解决一些实际问题，从中体会消元的思想方法.6.1

二元一次方程组和它的解1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点）2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．（难点）什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一个数是否是这个方程的解?☀

只含有一个未知数、左右两边都是整式,并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一次方程.☀

能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．问题1

暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分．那么这个队胜了几场？平了几场呢？知识点1二元一次方程(组)的定义思考

问题1中告诉了我们哪些等量关系？问题1中有两个未知数，如果分别设为x、y，又会怎样呢？探索

在下列的表格中填入数字或式子.胜平合计场数xy9得分173xy设勇士队胜了x场，平了y场，那么根据题意，得x+y=9-2

①和

3x+y=17.

②

这两个方程

有什么共同特点？上面所列方程各含有几个未知数?含有未知数的项的次数是多少?答：2个未知数答：次数是1☀归纳

像这样，有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.

这个问题中，两个未知量（比赛场数）要满足两个等量关系．相应地，两个未知数x、y必须同时满足①②两个方程.因此，把这两个方程合在一起，并写成

☀归纳

像这样，两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.问题2（1）x＝6,y＝2适合方程x＋y＝8吗?

x＝5,y＝3呢?

x＝4,y＝4呢?

你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗?(2)x＝5,y＝3适合方程5x＋3y＝34吗?

x＝2,y＝8呢?知识点2二元一次方程(组)的解例如:

x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一个解,记作

☀归纳

使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.用尝试检验、列算式或者通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x=5，y=2.这里的x=5与y=2既满足方程①，即5+2=7;又满足方程②，即

3×5+2=17,

☀归纳

一般地，使二元一次方程组中两个方程的左、右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解.

问题3

某校现有校舍20

000m²，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，则应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？知识点3根据题意列二元一次方程(组)

分析

根据条件可知，题中的等量关系为：新建校舍的面积=被拆除的旧校舍面积的4倍；新建校舍的面积-被拆除旧校舍的面积=现有校舍面积的30%.

根据此等量关系列出方程组，（1）审题：仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量及两者之间的联系；（2）设未知数：弄清题意和题目中的数量关系，设出两个未知数，并用含未知数的代数式表示其他需要的量；（3）找等量关系：通过阅读理解，找出两个等量关系；（4）列方程组：根据等量关系，列出二元一次方程组.根据实际问题列二元一次方程组的步骤：D.x=4y=3x=3y=6x=2y=4x=4y=2A.B.C.

C2.下列各式是二元一次方程的是()A.x=3y B.2x+y=3zC.x²+x-y=0 D.3x+2=5A

3.下列不是二元一次方程组的是(

)A.x+y=3x-y=1B.C.x=1y=1D.6x+4y=9y=3x+4B

A同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。6.2二元一次方程组的解法第1课时

用代入法解二元一次方程组(1)1.会用代入法解简单的二元一次方程组.（重点、难点）

怎样求这个二元一次方程组的解呢？

方程②表明，y与4x的值是相等的，因此，方程①中的y可以看成4x，即将②代入①：y=4xy-x=20000×30%,可得4x-x=20000×30%.

通过“代入”,“消去”了y,得到了一元一次

方程,就可以解了！解

把②代入①，得4x-x=20000×30%,3x=6000,

x=2000.把x=2000代入②，得

y=8000.

在以上解法中，通过将②代入①，能消去未知数y，得到一个关于x的一元一次方程，求出它的解，进而由②求出y的值.用同样的方法可以解6.1节问题1中的二元一次方程组.

这里没有一个方程是一个未知数用另一个未知数表示的形式，怎么办呢？知识点1用一个未知数表示另一个未知数问题

用含y的式子表示x.(1)x+y=7;(2)x-2y=5.解(1)移项，得

x=7-y.(2)移项，得

x=5+2y.☀归纳

通过移项，我们可以把不含x的项移到方程的右边，得到用一个未知数表示另一个未知数的代数式.把下面方程写出用一个未知数表示另一个未知数的形式.(1)x+2y=9;(2)3x+y=7.解(1)移项，得

x=9-2y.(2)移项，得

y=7-3x.注意：用一个未知数表示另一个未知数时，我们通常选择表示系数的绝对值为1的未知数.知识点2用代入法解简单的二元一次方程组x=5，y=2.例1：解方程组x+y=7,①3x+y=17.②解：由①，得y=7-x③将③代入②，得3x+7-x=17.2x=10

x=5.将x=5代入③，得y=2.所以原方程组的解是x=5，y=2.例2：解方程组2x+3y=16①x+4y=13②

解：由②，得x=13-4y③将③代入①，得2（13-4y）+3y=1626–8y+3y=16-5y=-10

y=2将y=2代入③，得x=5.所以原方程组的解是☀归纳

前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.回顾并概括上面的解答过程，并想一想，怎样解方程组：

解二元一次方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：回代求出另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.x=-3，y=-3.解：由②，得x=-15-4y③将③代入①，得3（-15-4y）-5y=6-45–12y-5y=6-17y=51

y=-3将y=-3代入③，得x=-3.所以原方程组的解是

DB

y=2x

x+y=12

(1)(2)2x=y-54x+3y=65解：(1)x=4y=8(2)3.解下列方程组.x=5y=15同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。6.2二元一次方程组的解法第2课时

用代入法解二元一次方程组(2)会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组.（重点、难点）把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_____________的式子表示出来，再代入____________，实现______，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称________.另一个未知数另一个方程消元代入法知识点1用一个未知数表示另一个未知数

☀归纳

通过