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第五节极限运算法则二、极限四则运算法则四、小结思考题一、无穷小的性质三、复合函数的极限1一、无穷小的运算性质【定理1】有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【证】考虑两个无穷小之和，且仅证的情形1）和的性质2【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.n个【例如】非无穷小3【推论1】有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.【推论2】常数与无穷小的乘积是无穷小.【推论3】有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小【例1】【解】由定理2可知：【说明】

y=0是的渐近线.5二、极限的运算法则【定理3】【证】由无穷小运算法则,得以下符号lim表示自变量的同一变化过程推广到有限项【声明】1.函数极限运算法则6由第三节定理3*得7【推论1】常数因子可以提到极限记号外面.【推论2】有界，函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.8【定理4】设数列【注意】定理3及其两个推论成立的前提条件是：“f(x)与g(x)的极限存在”若则2.数列极限运算法则9【定理5】【证】令则由定理3可知由第三节函数极限的局部保号性的推论可知【证完】3.极限保序性10【例2】【解】求极限方法举例11【小结】需特别注意12【解】商的法则不能用【例3】【方法】无穷大的倒数法x=1时分母=0,分子≠0,但因13【解】【例4】【方法】消去零因子法14【例5】【解】15【小结】以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限的方法，称之.【无穷小量分出法】分式求极限一般有如下结果：为非负常数)16【例6】【解】先变形再求极限.【方法】先变形再求极限法17【例7】【解】左右极限存在且相等,【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限.18三、复合函数的极限法则【分析】需证有1.【定理6】19【证明】有有……（1）……（2）20【意义】（1）（2）两式同时成立即从而此即【证完】21【例8】【解】【方法】先有理化后可变为定式22三、小结1.【极限运算法则】(1)无穷小运算性质(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件23(4)复合函数极限求法设中间变量(2)利用无穷小运算性质求极限(3)利用左右极限求分段函数极限2.【求函数极限的方法】(1)多项式、分式函数极限求法1)x→x0时,用代入法(分母不为0)2)x→x0时,对型,消去无穷小公因子3)x→∞时,分子分母同除最高次幂“抓大头”——无穷小因子分出法24【思考题】在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？25

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