高考数学总复习《正弦定理和余弦定理》专项测试卷（含答案）

第第页高考数学总复习《正弦定理和余弦定理》专项测试卷（含答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【知识点1解三角形几类问题的解题思路】1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.2.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.3.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论.4.与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】1．测量问题1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法A,B间不可达也不可视测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得B,C与点A可视但不可达测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D与点A,B均可视不可达测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部

可达测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可达点B与C,D共线测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.点B与C,D不共线测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3.测量角度问题的解决方案测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△ABC中，∠C的角平分线交AB于点D，∠B=π6，BC=33，AB=3，则CD=A．362 B．32 C．3【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△ABC中，若2cos2A−cosA=2A．π6 B．π3 C．2π【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，c=23，bsinA=asinπ3A．37 B．217 C．2112【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−A．2 B．22 C．3 【题型2\t"/gzsx/zsd28612/_blank"\o"向量坐标的线性运算解决几何问题"】【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2b2=sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）在△ABC中，D是BC边的中点，且AB=3，AC=2，AD=3，则△ABC的形状为（

A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定【变式2-3】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在△ABC和△A1B1C1中，若cosA=A．△ABC与△AB．△ABC与△AC．△ABC是钝角三角形，△AD．△ABC是锐角三角形，△A【题型3\t"/gzsx/zj168410/_blank"\o"正弦定理判定三角形解的个数"正弦定理判定三角形解的个数】【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在△ABC中，cosA=1213，sinB=m，若角C有唯一解，则实数A．513,1 B．513,1 C．【变式3-1】（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=22,b=4,A=πA．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数不确定【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断正确的是（

）A．B=60°，c=4，b=5，有两解 B．B=60°，c=4，b=3.9，有一解C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，c=4，b=2，无解【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a=3.若这个三角形有两解，则b的取值范围是（

A．3<b≤2 B．C．1<b<23 D．【题型4\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"证明三角形中的恒等式或不等式"证明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，23(1)求B的大小；(2)若3a+c=2b，证明：【变式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−ba(1)求角C的大小；(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.（i）求证:ADBD（ii）若a=2，c=19，求CD【变式4-2】（2023·高一课时练习）如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．(1)证明：PBsin(2)若∠ABC=90∘，AB=BC=1，求【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S【题型5求三角形（四边形）的面积】【例5】（2023·湖南永州·统考一模）在△ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足ccos(1)求角C；(2)若c=5,△ABC的内切圆半径r=34，求【变式5-1】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若2c−ab(1)求角B的值；(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．【变式5-2】（2023·江西·校联考二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA(1)求角C；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围.【变式5-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bcos

(1)求B；(2)如图，D,B在AC的两侧，b2=ac且AD=CD=2，求四边形【题型6\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"求三角形中的边长或周长的最值或范围"求三角形中的边长或周长的最值或范围】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周长的取值范围.【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2(1)求角B的值．(2)求a+c2b【变式6-2】（2023·四川雅安·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+csin(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为43，求△ABC周长l【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）从①2sinB=2sinAcosC+sinC，②在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．(1)求角A的大小；(2)若4sinB=bsin注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【题型7距离、高度、角度测量问题】【例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距6+2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【变式7-1】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD=30°，∠BDC=70°，∠BED=120°，BE=17.2m，DE=10.32m，在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据：取tan62°=1.88，sin

(1)求BD；(2)求塔高AB（结果精确到1m）.【变式7-2】（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距256海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45∘，B点北偏西75∘，这时位于B点南偏西45∘且与

(1)求B点到D点的距离BD；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．【变式7-3】（2023下·上海宝山·高二校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选（与A在同一水平面的）B､C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α

(1)求A,C两点间的距离；(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m）【题型8\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"正余弦定理与三角函数性质的结合应用"正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】【例8】（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数fx=3(1)求fx(2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，fA2=2，求【变式8-1】（2023·湖南·模拟预测）已知函数f(x)=23(1)求函数y=log(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若fA2=0【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx(1)求函数y=fx(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2−b【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=sinx−π6+m，将y=fx的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若gC2=1．（2023·北京·统考高考真题）在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA．π6 B．π3 C．2π2．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcosA=c，且C=πA．π10 B．π5 C．3π103．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=4．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2(1)求bc；(2)若acosB−bcos5．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.6．（2023·天津·统考高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB−C7．（2023·全国·统考高考真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(1)求sinA(2)设AB=5，求AB边上的高．8．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为3，D为BC中点，且AD=1．(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c9．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)证明：210．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2参考答案【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△ABC中，∠C的角平分线交AB于点D，∠B=π6，BC=33，AB=3，则CD=（

）A．362 B．32 C．3【解题思路】先在△ABC中，由余弦定理求得AC=3，即可知△ABC为等腰三角形，再解出∠C和∠A，然后在△ACD中，由正弦定理求解CD即可.【解答过程】如图所示，在△ABC中，由余弦定理得AC∴AC=3=AB，∴△ABC为等腰三角形，∠ACB=∠B=π6，又∵CD为角平分线，∴∠ACD=π∴在△ACD中，∠ADC=π由正弦定理得ACsinCD=AC⋅故选：A．【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△ABC中，若2cos2A−cosA=2A．π6 B．π3 C．2π【解题思路】根据平方关系、诱导公式、余弦两角和差角关系式化简已知等式为sin2B+sin【解答过程】因为2cos所以21则2−2整理得：sin由正弦定理可得：b2+c因为A∈0,π，故故选：B.【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，c=23，bsinA=asinπ3A．37 B．217 C．2112【解题思路】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tanB=33，可得出B=π6【解答过程】∵bsin即sinAsinB=∵sinA>0，∴3sinB=3cosB由余弦定理得b=a由正弦定理csinC=故选：B.【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−A．2 B．22 C．3 【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化简给定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【解答过程】在△ABC中，由已知及余弦定理得2abcosC=4a由正弦定理边化角得：2sin而0<A<π，即sinA>0，则cosA=12，即有A=所以a=2Rsin故选：C.【题型2\t"/gzsx/zsd28612/_blank"\o"向量坐标的线性运算解决几何问题"】【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形【解题思路】由余弦定理化简计算即可.【解答过程】由a=2bcosC及余弦定理得：a=2b×a故选：D.【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2b2=sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解题思路】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得a2−b【解答过程】由正弦定理，余弦定理及a2cos∴a2b则a2+∴a=b或a2故选：D.【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）在△ABC中，D是BC边的中点，且AB=3，AC=2，AD=3，则△ABC的形状为（

A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定【解题思路】分别在△ABD和△ACD中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到BC，然后在△ABC中，由余弦定理判断.【解答过程】解：在△ABD中，由余弦定理得AB在△ACD中，由余弦定理得AC两式相加得BD2+DC2在△ABC中，由余弦定理得cosA=所以△ABC是钝角三角形，故选：C.【变式2-3】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在△ABC和△A1B1C1中，若cosA=A．△ABC与△AB．△ABC与△AC．△ABC是钝角三角形，△AD．△ABC是锐角三角形，△A【解题思路】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断△ABC是锐角三角形，然后再由sinA1>0【解答过程】在△ABC和△A1B所以A,B,C均为锐角，即△ABC为锐角三角形.另一方面sinA1=cos即A1所以A1同理可得B1但是A1,B故选:D.【题型3\t"/gzsx/zj168410/_blank"\o"正弦定理判定三角形解的个数"正弦定理判定三角形解的个数】【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在△ABC中，cosA=1213，sinB=m，若角C有唯一解，则实数A．513,1 B．513,1 C．【解题思路】由cosA=1213，得到ab=sinA【解答过程】在△ABC中，cosA=1213，sinB=m，若设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，由cosA=1213，则A为一确定的锐角且sin如图以C为圆心，a为半径画圆弧，当圆弧与边AB有1个交点时满足条件，如图示：即圆弧与边AB相切或与圆弧与边AB相交有2个交点，其中一个交点在线段AB的反向延长线上（或在点A处），故a=bsinA=5由ab=513m，即a=5解得m=1或0<m≤5故选：D．【变式3-1】（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=22,b=4,A=πA．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数不确定【解题思路】利用正弦定理解出sinB,再根据a<b，得到A<B，可得角B【解答过程】由正弦定理asinA=bsin因为a<b，所以A<B.又因为B∈0,π，所以B=π4故选：C.【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断正确的是（

）A．B=60°，c=4，b=5，有两解 B．B=60°，c=4，b=3.9，有一解C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，c=4，b=2，无解【解题思路】已知B=60°，c=4的前提下，利用直角△ADB构造出关于b的不等式，即可得出三角形的个数解.【解答过程】因为B=60°，c=4，如图AD⊥BD于D，由直角△ADB可得AD=c×sin当b=23或b≥4当b<23当23结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.故选：D.【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a=3.若这个三角形有两解，则b的取值范围是（

A．3<b≤2 B．C．1<b<23 D．【解题思路】由正弦定理结合已知，可推得b=2sinB.进而根据三角形解得个数推得【解答过程】由正弦定理asinA=要使△ABC有两解，即B有两解，则应有A<B，且sinB<1所以32所以3<b<2故选：B．【题型4\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"证明三角形中的恒等式或不等式"证明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，23(1)求B的大小；(2)若3a+c=2b，证明：【解题思路】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B；(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．【解答过程】（1）在△ABC中，∵23∴23∴3cos∴tanB=−∵B∈0,∴B=2（2）∵B=2π3由余弦定理得b2∵3a+c=2b，∴将②代入①，得34整理得(a−c)2=0，∴【变式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−ba(1)求角C的大小；(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.（i）求证:ADBD（ii）若a=2，c=19，求CD【解题思路】（1）由正弦边角关系得a2+b（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；（ii）由正弦定理可得sinA=319，进而得cosA=419，设ADBD【解答过程】（1）由题设c−ba=a+bc+b，则所以cosC=a2+b（2）（i）由题设∠ACD=∠BCD，若AB上的高为ℎ，又S△ACDS△BCD所以S△ACDS△BCD（ii）由csin∠ACB=asinA，则若ADBD=ACBC=k，则AC=2k由余弦定理知：cosA=所以4k2−16k+15=(2k−3)(2k−5)=0，可得k=当k=32，则AC=3<19，AD=319当k=52，则AC=5>19综上，CD=6【变式4-2】（2023·高一课时练习）如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．(1)证明：PBsin(2)若∠ABC=90∘，AB=BC=1，求【解题思路】（1）由正弦定理得PBsinα=ABsin（2）由题意求得PB=sinα，继而求得PC=2sinα【解答过程】（1）证明：在△ABP中，由正弦定理得PBsin即PBsin要证明PBsin∠ABC=ABsin在△ABP中，∠APB=π−α+∠ABP在△ABC中，∠ABC=α+∠ABP，所以∠APB=π−∠ABC，所以sin∠APB=所以PBsin（2）由（1）知PBsin∠ABC=ABsinα，又因为所以PB=sin由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以∠BCA=∠CAB=π则∠BCP=π所以在△PBC中，∠BPC=π−π由正弦定理得BCsin即1sin即PC=2由余弦定理得sin2由题意知sinα>0故解得sinα=所以PC=10【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S【解题思路】（1）设AM=x1, BM=y1, AN=x（2）利用余弦定理求得cos∠AOM，cos∠AON，再根据cos∠AOM+cos∠AON=0结合（1）求得x【解答过程】（1）证明：设AM=x由余弦定理知：cos∠AMO=x1由O是△ABC外心知AO=BO=CO，而cos∠AMO+所以x1即(x而x1+y同理可知x2因此x1所以|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|；（2）解：由（1）知x1由余弦定理知：cos∠AOM=AO代入cos∠AOM+cos∠AON=0设μ=x1y因此S△AMN当且仅当μ=λ=2时取到等号，因此S△AMNS△ABC【题型5求三角形（四边形）的面积】【例5】（2023·湖南永州·统考一模）在△ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足ccos(1)求角C；(2)若c=5,△ABC的内切圆半径r=34，求【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cosC（2）利用余弦定理得a2+b2=25−ab，配方得(a+b)2=25+ab【解答过程】（1）在△ABC中，由ccosA−acos即sinC故−2sinAcos故cosC=−12，而C∈(0,（2）由C=2π3可得c故a2+b由△ABC的内切圆半径r=34，可得即34(a+b+5)=3故(2ab−5)2=25+ab，解得故△ABC的面积S=1【变式5-1】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若2c−ab(1)求角B的值；(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．【解题思路】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B（2）利用余弦定理可求出ac的最大值，再利用三角形的面积公式可求得S的最大值.【解答过程】（1）解：因为2c−ab所以，2c−a=−cosB+Ccos由正弦定理可得2sin即2sin因为C∈0,π，则sinC>0又因为B∈0,π2（2）解：由余弦定理b2=a当且仅当a=c时取得等号，所以ac≤4.所以，△ABC面积S=1所以，△ABC面积S的最大值为3．【变式5-2】（2023·江西·校联考二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA(1)求角C；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围.【解题思路】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；（2）由题知π6<B<π【解答过程】（1）解：因为sin所以2−整理可得sin2所以，由正弦定理可得：a2由余弦定理知，cosC=因为C∈0,π（2）解：由（1）知，C=π3，所以又△ABC是锐角三角形，所以，0<B<π2且0<A=2π因为，由正弦定理知：bsinB=所以c=所以S因为π6所以tanB>3所以，△ABC面积的取值范围为32【变式5-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bcos

(1)求B；(2)如图，D,B在AC的两侧，b2=ac且AD=CD=2，求四边形【解题思路】（1）由余弦定理边角关系可得b2（2）根据已知可得a=c，进而有△ABC为等边三角形，令a=b=c=2x且0<x<2，等腰△ACD的顶角为θ，且0<θ<π，且x2=2(1−【解答过程】（1）由题设及余弦定理2b×b由cosB=a2+c（2）由（1）及已知：b2=a所以△ABC为等边三角形，令a=b=c=2x且0<x<2，而AD=CD=2，等腰△ACD的顶角为θ，且0<θ<π所以cosθ=1−x2所以四边形ABCD面积S=1故S=23而−π3<θ−π3【题型6\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"求三角形中的边长或周长的最值或范围"求三角形中的边长或周长的最值或范围】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周长的取值范围.【解题思路】（1）根据△ABC为锐角三角形得到B=2A，并求出π6<A<π4，由正弦定理得到（2）由（1）知，b=2cosA，由正弦定理得到c=4cos2A−1，表达出△ABC【解答过程】（1）因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π2，0<B<π又因为cosB=cos2A由正弦定理得ba因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<B<解得π6所以22<cos所以ba的取值范围为(（2）因为a=1，由（1）知，b=2cos由正弦定理asinA=sin故△ABC的周长a+b+c=4cos令t=cosA，由（1）知22因为函数y=4t2+2t=4所以△ABC周长的取值范围为2+2【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2(1)求角B的值．(2)求a+c2b【解题思路】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可得结果；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换整理得a+c2b【解答过程】（1）设△ABC的外接圆半径为R．由正弦定理asinA=bsinB=因为sin2A−2sin整理得a2由余弦定理b2=a2+又因为B∈0,π2，则sinB>0，可得（2）由正弦定理可得a+c2b则a+c因为△ABC是锐角三角形，则0<A<π2A+则π3<A+π所以a+c2b的取值范围是3【变式6-2】（2023·四川雅安·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+csin(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为43，求△ABC周长l【解题思路】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cosA，进而求得A（2）利用△ABC的面积求得bc，结合基本不等式求得△ABC周长l的最小值．【解答过程】（1）由a+csin根据正弦定理，得a+ca−即b2+c由于0<A<π，所以A=（2）由题，S△ABC=1又由（1）知a2则△ABC周长l=a+b+c=b当且仅当b=c=4取“=”，同时解得a=4，所以，△ABC周长l的最小值为12．【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）从①2sinB=2sinAcosC+sinC，②在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．(1)求角A的大小；(2)若4sinB=bsin注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解题思路】（1）选条件①：利用正弦定理结合余弦定理可得出b2+c2−a2选条件②：利用三角形的面积公式结合切化弦可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A选条件③：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A（2）利用余弦定理可得出16=b2+【解答过程】（1）解：选条件①：因为2sinB=2sinA由余弦定理得2b=2a⋅a2+b由余弦定理得cosA=b2+c选条件②：因为4Ssin由三角形的面积公式可得2absin因为A、C∈0,π，则sinA>0，sin因为A∈0,π，所以选条件③：因为bcos由正弦定理可得sinB所以，sinA+B所以，sinC=2因为A、C∈0,π，则sinC>0，所以cos（2）解：由4sinB=bsinA及正弦定理得4b=ab又由（1）知A=π3，所以由余弦定理得16=由基本不等式可得16=b+c即b+c≤8，当且仅当b=c时取等号，又b+c>a=4，所以4<b+c≤8，所以b+c的取值范围为4,8．【题型7距离、高度、角度测量问题】【例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距6+2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解题思路】（1）在△ABC中，解三角形得BC=23，∠ABC=45°，在△BCD（2）在△BCD中，解三角形得∠BCD=60°，∠BDC=90°，得到∠CDE=135【解答过程】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时BD=3×1=3,AC=22由题意知∠BAC=在△ABC中，AB=由余弦定理得B=所以BC=2在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC=所以sin∠ABC=22所在∠ACB=又∠CBD=在△BCD中，∠CBD=由余弦定理得C=∴CD=3故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距3海里.（2）当巡逻艇经过t小时经CE方向在E处追上走私船，则CE=3在△BCD中，由正弦定理得：CD则3所以sin∠BCD=3在△CDE中，由正弦定理得：CE则sin∠DCE=3t⋅sin135°∠ACE=∠ACB+∠BCD+∠DCE=故巡逻艇应该北偏东75°【变式7-1】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD=30°，∠BDC=70°，∠BED=120°，BE=17.2m，DE=10.32m，在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据：取tan62°=1.88，sin

(1)求BD；(2)求塔高AB（结果精确到1m）.【解题思路】（1）在△BDE中，由余弦定理即可得解；（2）在△BCD中，先利用正弦定理求出BC，再解Rt△ABC【解答过程】（1）在△BDE中，由余弦定理得BD则BD==579.8464（2）在△BCD中，由正弦定理得BDsin则BC=BD⋅在Rt△ABC中，∠ACB=62°所以AB=BC⋅tan故塔高AB为85m.【变式7-2】（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距256海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45∘，B点北偏西75∘，这时位于B点南偏西45∘且与

(1)求B点到D点的距离BD；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．【解题思路】（1）利用正弦定理解三角形计算即可；（2）利用余弦定理解三角形计算即可.【解答过程】（1）由题意知：AB=256，∠DBA=90∘所以∠ADB=180在△ABD中，由正弦定理可得：BDsin∠DAB=所以BD=25（2）在△BCD中，∠CBD=180∘−75∘由余弦定理可得：C=6400+2500−2×80×50×1所以CD=70海里，所以需要的时间为7035【变式7-3】（2023下·上海宝山·高二校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选（与A在同一水平面的）B､C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α

(1)求A,C两点间的距离；(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m）【解题思路】（1）根据题意，先求出∠BAC，然后利用正弦定理计算即可求解；（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出AD=502【解答过程】（1）由已知得∠BAC=180°−105°−45°=30°，在△ABC中，因为BCsin即50sin30°=所以A,C两点间的距离为502（2）在△DCA中，因为∠DAC=90所以AD=ACtan又因为tan=所以AD=50≈141.4+122.45=263.85≈264，答：楼高约为264m【题型8\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"正余弦定理与三角函数性质的结合应用"正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】【例8】（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数fx=3(1)求fx(2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，fA2=2，求【解题思路】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可得fx=2sin2ωx−π6+1，再根据f（2）先根据fA2=2求出A【解答过程】（1）由题意可得fx因为fx在π所以12×2因为ω∈N所以ω=1，即3sin令2kπ解得kπ即fx的单调递增区间是k（2）因为fA所以2sin所以sinA−因为0<A<π所以−π所以A=π由余弦定理可得a2即b2+c因为bc≤b+c22所以3b+c24则a+b+c≤9，即△ABC周长的最大值为9．【变式8-1】（2023·湖南·模拟预测）已知函数f(x)=23(1)求函数y=log(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若fA2=0【解题思路】（1）先化简f(x)，然后利用真数大于0可得sin2x−（2）先利用（1）可得A=π3，结合锐角三角形可得【解答过程】（1）f(x)=23sinx所以要使y=log只需2sin2x−π所以π6+2k所以函数y=log2f(x)由于0<2sin2x+π所以函数y=log2f(x)（2）由于fA2=2因为0<A<π2，所以−π6<A−由锐角△ABC可得0<B<π20<C=由正弦定理可得b+ca=sin因为π6<B<π2，所以所以b+ca【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx(1)求函数y=fx(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2−b【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得y=fx（2）利用余弦定理求得A，结合三角函数值域的求法求得fB【解答过程】（1）f令−π2所以，单调减区间是−2（2）由a2b2+c由于0<A<π，所以A=在△ABC中，0<B<2πfB于是π6<B+π6<12≤−sin【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=sinx−π6+m，将y=fx的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若gC2=【解题思路】（1）利用图象变换求出函数gx的解析式，由x∈π4,π3求出（2）利用△ABC为锐角三角形求出角A的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出tanA+tanB=22【解答过程】（1）将函数fx=sinx−π6+m则gx∵x∈π4,当2x+π6=2π3，即x=π4（2）∵gC∵C∈0,π2，则π6<C+tan=sin∵△ABC是锐角三角形，由0<A<π20<B=所以，π3<2A−π3<1．（2023·北京·统考高考真题）在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA．π6 B．π3 C．2π【解题思路】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解答过程】因为(a+c)(sin所以由正弦定理得(a+c)(a−c)=b(a−b)，即a2则a2+b又0<C<π，所以C=故选：B.2．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcosA=c，且C=πA．π10 B．π5 C．3π10【解题思路】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得∠A的值，最后利用三角形内角和定理可得∠A的值.【解答过程】由题意结合正弦定理可得sinA即sinA整理可得sinBcosA=0，由于B∈据此可得cosA=0,A=则B=π故选：C.3．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=2【解题思路】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．【解答过程】如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22因为b>0，解得：b=1+3由S△ABC12解得：AD=3故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2−2×2×b×由正弦定理可得，6sin60∘=b因为1+3>6>2又∠BAD=30∘，所以∠ADB=75故答案为：2．4．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的