高考数学总复习《圆锥曲线的综合应用》专项测试卷（含答案）

第第页高考数学总复习《圆锥曲线的综合应用》专项测试卷（含答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.3、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．4、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,−2(1)求E的方程；(2)设过点P1,−2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH5、【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求6、【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x2a2−(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.题型一圆锥曲线中的最值问题1-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为，且经过点．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值．1-2、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；(3)若，且，求的最大值．1-3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．题型二圆锥曲线中的定点问题2-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.2-2、（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.题型三圆锥曲线中的定值问题3-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，，（为坐标原点）.(1)求的值；(2)证明：直线与斜率之积为定值.3-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.题型四圆锥曲线中的角度问题4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．4-2、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，(1)设直线的斜率分别为，求的值；(2)若，求的面积.题型五圆锥曲线中的探索性问题5-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由5-2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.1、（2023·安徽安庆·校考一模）已知椭圆的焦点分别为，，且，上顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点在椭圆上，若，求的大小.2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.3、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．4、（2022·山东枣庄·高三期末）如图，为椭圆的左顶点，过原点且异于轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点分别为．5、（2023·山西晋中·统考三模）椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（其中点位于x轴上方），当垂直于轴时，．(1)求椭圆的方程；(2)记直线的斜率分别为，求的最小值．6、（2022·江苏苏州·高三期末）在平面直角坐标系中，已知点，，直线与直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若点为曲线上的任意一点（不含短轴端点），点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．参考答案1、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【答案】(1)(2)证明见详解【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.

2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.3、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．【解析】(1)抛物线的准线为x=−p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为此时|MF|=p+p所以抛物线C的方程为y2(2)设M(y12由{x=my+1y2=4x可得由斜率公式可得kMN=y直线MD:x=x1−2Δ>0,y1y3所以k又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β，所以kAB若要使α−β最大，则β∈(0,π设kMN=2k当且仅当1k=2k即所以当α−β最大时，kAB=2代入抛物线方程可得y2Δ>0,y3所以直线AB:x=24、【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,−2(1)求E的方程；(2)设过点P1,−2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH【解析】(1)解：设椭圆E的方程为mx2+n则4n=194m+n=1，解得m=所以椭圆E的方程为：y2(2)A(0,−2),B(32,−1)①若过点P(1,−2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入x2可得M(1,263)，N(1,−2T(6+3,263)，由y=(2−263②若过点P(1,−2)的直线斜率存在，设kx−y−(k+2)=0,M(x联立kx−y−(k+2)=0x23可得x1+x且x联立y=y1可求得此时HN:y−y将(0,−2)，代入整理得2(x将(∗)代入，得24k+12显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,−2).【点睛】

5、【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【解析】(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，Px联立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化简得，8k2+4k−4+4m所以k=−1或m=1−2k，当m=1−2k时，直线l:y=kx+m=kx−2+1过点故k=−1．(2)不妨设直线PA,PB的倾斜角为α,βα<β，因为kAP+因为tan∠PAQ=22，所以tanβ−α即2tan2α−于是，直线PA:y=2x−2+1联立y=2x−2+1因为方程有一个根为2，所以xP=10−423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y−53=0点A到直线PQ的距离d=2+1−故△PAQ的面积为12×163×223=1629(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】(1)右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±3x，∴ba=3，∴b=3a，∴c∴C的方程为：x2(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x−2),则条件①M在AB上，等价于y0两渐近线的方程合并为3x联立消去y并化简整理得：k设A(x3,y3设M(x则条件③|AM|=|BM|等价于x0移项并利用平方差公式整理得：x32x0−即x0由题意知直线PM的斜率为−3,直线QM的斜率为3∴由y1∴y1所以直线PQ的斜率m=y直线PM:y=−3x−x代入双曲线的方程3x2−得：y0解得P的横坐标：x1同理：x2∴x∴m=3∴条件②PQ//AB等价于m=k⇔ky综上所述：条件①M在AB上，等价于ky条件②PQ//AB等价于ky条件③|AM|=|BM|等价于x0选①②推③:由①②解得：x0=2选①③推②：由①③解得：x0=2∴ky0=3选②③推①：由②③解得：x0=2k2k∴ky0=题型一圆锥曲线中的最值问题1-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为，且经过点．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值．【分析】（1）由待定系数法求解析式；（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值.【详解】（1）由题意得，所以，即椭圆方程为；（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：，由，得．，，.不妨设在x轴上方，则在x轴下方．椭圆在x轴上方对应方程为，，则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得.同理可得B处的切线方程为．由得，代入①得，所以．因为，所以设，则，则，当且仅当，即时，的最大值是2．另解：当直线l的斜率存在时，设l：，由得，所以，，，椭圆在x轴上方的部分方程为，，则过的切线方程为，即，同理可得过的切线方程为.由得设，则，所以直线l的方程为，所以.，令，则，所以，当时，即时，取得最大值，为2．1-2、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；(3)若，且，求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程；（2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；（3）设，，由向量共线得到，将两点坐标代入椭圆方程中，求出，从而表达出，结合基本不等式求出最值.【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，由题意得，故，故椭圆的方程为．（2）因为，，所以的方程为，由，解得点Q的坐标为．设过P，Q，三点的圆为，则，解得，，，所以圆的方程为；（3）设，，则，，因为，所以，即，所以，解得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，取等号．最大值为1-3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．(1)求椭圆的方程；(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据已知条件可得出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，可求得点的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围.【详解】（1）解：因为椭圆的长轴长为，则，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，所以，椭圆的标准方程为.（2）解：若与轴重合，则不存在，设直线的方程为，设点、，若，则点与点重合，不合乎题意，所以，，联立可得，，由韦达定理可得，，易知点，，直线的方程为，将代入直线的方程可得，即点，，所以，，令，则函数在上为增函数，所以，，所以，.故的面积的取值范围是.题型二圆锥曲线中的定点问题2-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点.2-2、（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.【答案】(1)；(2)见解析【分析】(1)根据双曲线过点和焦点到渐近线的距离为列出方程组，解之即可；(2)设直线的斜率为，由题意直线的斜率为，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出，两点的坐标，再求出，两点所在的直线方程即可求解.【详解】（1）由双曲线可得渐近线为，不妨取渐近线即由焦点到渐近线的距离为可得，即由题意得，得，从而双曲线的方程为.（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，由题意可知：直线的方程为，直线的方程为，联立直线与双曲线方程得，于是，从而，从而，联立直线与双曲线方程得，于是，从而，从而，于是，从而，化简得，从而过定点.题型三圆锥曲线中的定值问题3-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，，（为坐标原点）.(1)求的值；(2)证明：直线与斜率之积为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）设，根据向量关系用表示，代入椭圆方程即可求解；（2）用表示，代入斜率公式即可求解.【详解】（1）设，因为，所以解得，又因为，所以解得，因为点在椭圆上，所以，即.（2）设直线与斜率分别为，是定值.3-2、（2022·山东青岛·高三期末）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.【解析】(1)由椭圆的左右焦点分别为，且，可知：，即①，将代入方程得：②，①②联立解得，②故椭圆的标准方程为.(2)证明：设，当直线斜率不存在时，即，由原点为的重心，可知故可得此时有，该点在椭圆上，则，不妨取，则有，或，则此时;当直线斜率存在时，不妨设方程为，则联立，整理得：，且需满足，则，所以y1由原点为的重心知，x0=−(x故坐标为，代入到中，化简得：(8km1+4k又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63综合上述可知：的面积为定值.题型四圆锥曲线中的角度问题4-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.4-2、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，(1)设直线的斜率分别为，求的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)；(2)【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.（2）法一：因为，根据二倍角的正切公式，结合及，化简计算，可得，进而可得方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.法二：设，由，结合二倍角正切公式，可得的值，进而可得直线方程，与曲线C联立，可得，同理可得，代入面积公式，即可得答案.【详解】（1）法一：因为，所以，令得，所以，解得，所以的方程为显然直线与轴不垂直，设其方程为，联立直线与的方程，消去得，当时，，设，则.因为，所以.法二：由题意得，解得，双曲线的方程为.设方程为，联立，可得，，，，.（2）法一：因为，所以，又因为，所以，即，（※）将代入（※）得，因为在轴上方，所以，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或，所以的面积为.法二：设，由，可得，，解得，方程，联立，可得，解得，同理联立，解得，.题型五圆锥曲线中的探索性问题5-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P为椭圆短轴端点时，取最大值，再根据三角形面积及，求得，，，即可得到答案；（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得，即可得到答案；【详解】（1）依题意可得，设，由余弦定理可知：，所以，当且仅当（即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且取最大值；此时的面积是，同时，联立和解得，，，所以椭圆方程为.（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，所以，，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，原点O到直线1的距离为d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圆C的方程是所以当时，存在定圆C始终与直线l相切，其方程是.5-2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.【答案】(1)；(2)（i）为定值；（ii）；【分析】（1）根据“姊妺”圆锥曲线的定义设出双曲线方程，利用求得参数b的值，即得答案.（2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合的表达式，化简即可得出结论；（ii）设直线，代入双曲线方程，根据韦达定理可解得，结合A在双曲线右支，可得，即可求得的范围，同理求得的范围，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】（1）由题意可设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）（i）设，直线的方程为，由，消元得.则，且，；或由韦达定理可得，即,，即与的比值为定值.（ii）设直线，代入双曲线方程并整理得，由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.由韦达定理得：，解得.因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在上单调递减，故，故的取值范围为.另解：由于双曲线的渐近线方程为，如图，过点作两渐近线的平行线与，由于点A在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（含轴，不含直线与），所以.同理，过点作两渐近线的平行线与，由于点在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），所以.由（i）中结论可知，得，所以,故1、（2023·安徽安庆·校考一模）已知椭圆的焦点分别为，，且，上顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点在椭圆上，若，求的大小.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由焦点和顶点坐标可得c和b的值，结合得到a,从而得到椭圆方程；（2）由点在椭圆上和椭圆定义，得到，然后利用余弦定理计算即可.【详解】（1）由已知得，，又∴∴椭圆的标准方程为（2）点在椭圆上∵，∴∴∴2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.【分析】（1）由已知可设，双曲线的标准方程为，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.【详解】（1）设双曲线的标准方程为，焦点为，，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以.因为焦点到渐近线的距离为2，所以，从而，故双曲线的标准方程为（2）证明：设，.①当直线的斜率存在时，设的方程为，联立方程组化简得，则，即，且因为，所以，化简得所以或，且均满足.当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，联立方程组，得得，，此时直线过定点因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心,为该圆的半径，故存在定点，使得为定值.3、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系：定点问题【解析】(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．因为EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，所以EQ\B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))…………………2分解得eq\B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))从而b2＝a2－c2＝3．所以椭圆C的方程eq\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．…………4分(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．由eq\B\