浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题 含答案_第1页
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文档简介

诸暨市2024年5月高三适应性考试数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线:,则其焦点到准线的距离为()A. B. C.1 D.42.若关于的不等式的解集为,则()A., B., C., D.,3.有一组样本数据:2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.则关于该组数据的下列数字特征中,数值最大的为()A.第75百分位数 B.平均数 C.极差 D.众数4.在的展开式中,含项的系数是10,则()A.0 B.1 C.2 D.45.若非零向量,满足,则在方向上的投影向量为()A. B. C. D.6.已知,为曲线:的焦点,则下列说法错误的是()A.若,则曲线的离心率B.若,则曲线的离心率C.若曲线上恰有两个不同的点,使得,则D.若,则曲线上存在四个不同的点,使得7.已知函数满足:对任意实数,,都有成立,且,则()A.为奇函数 B.为奇函数C.为偶函数 D.为偶函数8.设,已知,若恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.若,则()A. B. C. D.10.已知,为圆上的两个动点,点,且,则()A.B.C.外接圆圆心的轨迹方程为D.重心的轨迹方程为11.已知函数有两个零点,,则下列说法正确的是()A.的值可以取 B.的值可以取C.的值关于单调递减 D.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。12.若复数满足:,则复数的虚部为_________.13.记为正项数列的前项积,已知,则_________;_________.14.若正四面体的棱长为1,以三个侧面为底面向外作三个正四面体,,,则外接圆的半径是_________.四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数的所有正零点构成递增数列.(1)求函数的周期和最大值;(2)求数列的通项公式及前项和.16.(15分)如图,在三棱锥中,是正三角形,平面平面,,点是的中点,.(1)求证:为三棱锥外接球的球心;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值.17.(15分)已知双曲线:与直线:交于、两点(在左侧),过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点(在右支,在左支).(1)设直线的斜率为,直线的斜率为,求的值;(2)若直线与双曲线在点处的切线交于点,求的面积.18.(17分)如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥,现有一只电子蛐蛐在棱上爬行,每次从一个顶点开始,等可能地沿棱爬到相邻顶点,已知电子蛐蛐初始从顶点出发,再次回到顶点时停止爬行。(1)求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率;(2)在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下,记爬行长度为,求的分布列及其数学期望;(3)设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行(首次回到顶点)的概率记为,求(用表示)。19.(17分)若函数在区间上有定义,且,,则称是的一个“封闭区间”.(1)已知函数,区间且的一个“封闭区间”,求的取值集合;(2)已知函数,设集合.(i)求集合中元素的个数;(ii)用表示区间的长度,设为集合中的最大元素.证明:存在唯一长度为的闭区间,使得是的一个“封闭区间”.诸暨市2024年5月高三适应性考试数学参考答案一、单项选择题(每小题5分,共40分)题号12345678答案BBACBCDC二、多项选择题(每小题6分,共18分;部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ADABCACD三、填空题(每小题5分,13题2分+3分;共15分)12.1 13.2;2025 14.四、解答题(共77分;13分+15分+15分+17分+17分)15.(13分)解:(1)由题可得,因此函数的周期,最大值.(2)由得,因此函数的所有正零点为,,,因此是首项为,公差为1的等差数列;,16.(15分)解:(1)为的中线,且,则为正的中心,又中,,,即为三棱锥外接球的球心(2)是正三角形,点是的中点,.又平面平面,平面平面,平面,平面为直线与平面所成的角又,,即直线与平面所成角的正弦值为(3)坐标法:在平面中,过点作,垂足为,,设,则,,.建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,设,则,,,.设平面的法向量为,由,得,令,故,设平面的法向量为,则,即,令,则.设平面与平面所成锐二面角的平面角为,,当时,,此时最大,即当时,平面与平面所成锐二面角的余弦值最大.(3)几何法:锐二面角要最小,由最大角定理可知,与面所成线面角为平面与平面所成锐二面角时,锐二面角最小(3分);而为线面角(为的中点),当要为面面角时(2分),由垂面法求面面角知,面面,即(2分).(实质上:本小题条件是多余的;用传统法求解给相应步骤分)17.(15分)解:(1)由题意知直线斜率为1,直线的倾斜角,设直线、的倾斜角分别为、(、),直线、关于直线对称,,.(2)联立可得,双曲线在点处的切线方程为.不妨设直线为,,,联立得,整理得,将等式看作关于的方程:两根之和,两根之积,而其中,由(1)得,直线为,过定点,又双曲线在点处的切线方程为,过点,,.18.(17分)解:(1)记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”,“电子蛐蛐爬行的第米终点为”,“电子蛐蛐爬行的第米终点为”,“电子蛐蛐爬行的第米终点为”,“电子蛐蛐爬行的第米终点为”,“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”,则(2)记事件“电子蛐蛐停止爬行时,爬行长度不超过4米”的可能取值为2,3,4,根据条件概率的知识,可得的分布列为,,,用表格表示的分布列为:234.(3)(,)①②②-①得:,19.(17分)解:(1)由题意,,,恒成立,在上单调递增,的值域为,因此只需,,即,则的取值集合为.(2)(i)记函数,则,由得或;由得;所以函数在和单调递增,在单调递减.其中,因此当时,,不存在零点;,而,在单调递减,由零点存在定理可知存在唯一的使得;当时,,不存在零点.综上所述,函数有0和两个零点,即集合中元素的个数为2.(ii

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