天津市南开区2024届高三下学期二模试题 数学 含答案

2023—2024学年度第二学期高三年级质量监测（二）数学学科试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么.·如果事件A，B相互独立，那么.·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．（2）设a，，则“且”是“”的（）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（3）已知，，，则（）.A． B． C． D．（4）已知函数的部分图象如下：则的解析式可能为（）.A． B．C． D．（5）某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，…，第五组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a即为优秀，如果优秀的人数为14人，则a的估计值是（）A．14 B．14.5 C．15 D．15.5（6）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）.A． B． C． D．（7）已知函数（），，则（）.A．B．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称C．在上单调递减D．（8）如图，在正方体中，，M，N分别为，的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥M-NEF的体积（）A．不确定，与E，F的位置有关 B．为定值C．存在最小值，最小值为 D．存在最大值，最大值为（9）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共11小题，共105分二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分.（10）是虚数单位，复数.（11）在的展开式中，的系数为.（12）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为.（13）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为；3次结果中最多一次正面向上的概率为.（14）已知在平行四边形ABCD中，，，记，，用和表示；若，，则值为.（15）已知函数，若方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是.三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16）（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值.（17）（本小题满分15分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.（18）（本小题满分15分）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为Q.当△BPQ的面积取得最大值时，求直线l的方程.（19）（本小题满分15分）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.（Ⅰ）求的通项公式（Ⅱ）数列满足，且.（ⅰ）求的前n项和.（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分16分）已知函数，.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）证明：对，恒成立（为的导数）；（Ⅲ）设，证明：（）.

2023—2024学年度第二学期高三年级质量监测（二）参考答案数学学科一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案BACDBADBC二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分．）（10）；（11）；（12）150°；（13），；（14），；（15）．三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（16）解：（Ⅰ）因为，又由余弦定理，可得，由知，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理得，又因为，所以，又因为，解得．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以，，所以．又由得，所以B还可以为，此时．（17）解：因为，O为CD的中点，所以．又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD．因为，，，所以．以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，，，．（Ⅰ），，因为，所以．（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为，则，即，令，则．设直线PC与平面PAB所成的角为，又，则，所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为．（Ⅲ）设平面POB的一个法向量为，则，即，令，则．设平面POB与平面PAB的夹角为，则．故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为．（18）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，依题意，，，解得，，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为，，，则，联立直线l与椭圆C的方程，得，则．又，，易知与同号，所以，当且仅当，即时等号成立，所以△BPQ面积的最大值为，此时直线l的方程为．（19）解：（Ⅰ）因为为等差数列，且，所以．又是与的等比中项，所以，即．化简得，解得或（舍），所以．（Ⅱ）（ⅰ）由，得，所以（），又，当时，，又也适合上式，所以，则，所以．（ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列，则，即，整理得，显然是25的正约数，又，则或，当，即时，与矛盾；当，即时，，符合题意，所以存在正整数使得，，成等差数