2023年高考数学真题与模拟训练专题15 点、直线、平面之间的位置关系试题含解析

2023年高考数学真题与模拟训练专题15点、直线、平面之间的位置

关系

第一部分真题分类

1.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABC。-ABGA中，P为片。的中点，则直线依与AR所成

的角为（）

A-?B-?c-7D-?

2.（2021•浙江高考真题）如图已知正方体ABCD-AMCIR,M,N分别是A。，。田的中点，则（）

A.直线4。与直线垂直，直线MN"平面A8CO

B.直线A。与直线平行，直线的V_L平面8。£）隹

C.直线A。与直线相交，直线MN//平面A8CD

D.直线A。与直线。石异面，直线MN一平面8。。隹

3.（2019•全国高考真题（理〉）如图，点N为正方形A88的中心，AFCD为正三角形，平面ECD_L

平面A6CRM是线段匹的中点，则

A.BM=EN且直线8M,EN是相交直线

B.BMwEN,且直线"M,以V是相交直线

C.=且直线8M,EN是异面直线

D.BM工EN,且直线8M,EN是异面直线

4.（2019•浙江高考真题）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱必1上的点（不

含端点），记直线与直线AC所成角为a,直线总与平面ABC所成角为夕，二面角的平

面角为y,则

A.ft<y,a<YB.p<a,p<y

C.B<a、y<aD.a<R,y<。

5.（2021.全国高考真题）如图，在正方体中，。为底面的中心，产为所在棱的中点，M,N为正方体的

顶点.则满足MN_LOP的是（）

6.（2020•全国高考真题（理））设有下列四个命题:

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

小：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面蜃直线"_L平面a,则6_L/.

则下述命题中所有直命题的序号是.

①PS②Pl八P2③FVP3④7”4

7.（2019.北京高考真题（理））已知/,用是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:

®/±w；®m//a.③/J,a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:

8.（2021•全国高考真题）如图，在三棱锥A-8C。中，平面A3D_L平面BCO,AB=AD,。为8。的

中点.

(1)证明：OALCDx

(2)若,..OC。是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小为

45°,求三棱锥A-BCQ的体积.

9.(2020.海南高考真题)如图,四棱锥/M8C力的底面为正方形，底面八BCD.设平面R4D与平

面PBC的交线为/.

(1)证明：/_L平面POC

(2)己知尸£>=4。=1,Q为/上的点，Qk&,求P8与平面QCO所成角的正弦值.

10.(2020•全国高考真题(理))如图，已知三棱柱A8cAi办G的底面是正三角形，侧面BBCC是矩

形，M,N分别为8C,BiG的中点，P为AM上一点,过BG和P的平面交AB于E,交4C于尸.

(1)证明；AAt//MN,且平面AAMN

(2)设O为△48iG的中心，若A。〃立面EBGF,且40=A5,求直线助£与平面4AMN所成角的正

弦值.

第二部分模拟训练

一、单选题

1.已知平面。，直线/，加，且有/_La,mug,给出下列命题：①若。〃则/_Lm；②若

〃/6，则a_L力；③若a_L耳，则〃/6；④若/_Lm,则a〃夕.其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.设〃?、〃为两条直线，。、尸为两个平面，则下列命题中假命题是（）

A.若“_L〃，tnl.a»〃1B,则aJ■力

B.若加〃〃，？n_La,〃//£,则a_L/

C.若根_L〃，mlla»nlIp,则a//

D.若加〃〃，mka»n10,则a"/?

3.在空间，已知直线/及不在/上两个不重合的点A、B,过直线/做平面。，使得点A、B到平面。的

距离相等，则这样的平面。的个数不可能是（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

4.若a,夕，/是空间中三个不同的平面，aQ£=/,a\y=mt/。夕=〃，则〃/机是〃〃机的

（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵•.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖脑.阳马居二，

鳖膈居一，不易之率也意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与

其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖脯，两者体积之比为定值2:1,这一结论今称刘

徽原理.如图是一个阳马的直观图，侧棱~4_L底面A8CO,且R4=2,PC=26，AB=A。，则

堑堵的体积为（）

C

A.8B.12C.16D.18

6.在长方体48。。一4与。|。中，AB=i,BC=CC、=2丘,E,尸，G分别为A。，A8,

GA上的点，AE=ED,AF=FB,D,G=2GCI（2>4）,分别记二面角G—M—。，G-EF-C,

G-阳一C的平面角为。，/，/,则（）

A.a>p>yB.p>y>a

C.y>p>aD.与;l有关

一、填空题

7.在空间中，过4点作平面/的垂线，垂足为8,记作：B=£（A）.关于两个不同的平面a,/?有如

下四个命题：

①若a/啰，则存在点尸满足工（P）=4（P）.

②若aJL夕,则存在点尸满足力（P）=%（P）.

③若allp,则不存在点P满足力（加尸））=加工（P））.

④若对空间任意一点尸，恒有。（方（？）二%（力（P）），则尸.

其中所有真命题的序号是.

8.已知正方体ABCO-AMGA的棱长为4,点尸是AA的中点，点M在侧面AABf内.若

RM±CP,则MM面积的最小值为.

9.在四棱锥P—A3CO中，~4_L平面ABC。，AP=2,点M是矩形ABCO内（含边界）的动点，

且"=1，AD=3,直线PM与平面ABC。所成的角为二.记点M的轨迹长度为a,则tana=

专题15点、直线、平面之间的位置关系

第一部分真题分类

1.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABC。-A5CQ中，P为8Q的中点，则直线/归与所成

的角为（）

A.—7TBn.—兀八C.—冗D—.—冗

2346

【答案】D

5

【解析】

如图，连接BG，PG，P8,因为AR〃8G，

所以NPBG或其补角为直线用与人口所成的角，

因为BB|_L平面A与GA，所以乂PCJBR,BBcBR=B「

所以PG_L平面次洱，所以PG_LP8,

设正方体棱长为2,则BJ=2立PG=；D出=无,

sinZPBC,=-^-=1,所以NPBG=1

oCjZ6

故选：D

2.(2021•浙江高考真题)如图已知正方体ABC。-ABC。，M,N分别是A。，的中点，则()

A.直线AQ与直线。出垂直，直线MN"平面A6C。

B.直线A。与直线平行，直线的V_L平面

C.直线A。与直线相交，直线MN〃平面A8C。

D.直线AO与直线RB异面，直线肋V上平面8。/)£

【答案】A

【解析】

连A4,在正方体48。。一AMGR中，

M是A。的中点，所以M为AR中点，

又N是RB的中点，所以MN//AB,

MN仁平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以WN〃平面A8CD

因为A8不垂直8£>,所以MN不垂直3。

则不垂直平面瓦）。片，所以选项B,D不正确；

在正方体4BC。一A8GA中，AD.A.A.D,

A8_L平面所以4B_LA。，

AD}r>AB=A,所以A。，平面ABR,

平面A8R,所以A。，。声,

且直线AD。乃是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

3.（2019•全国高考真题（理））如图，点N为正方形ABC。的中心，AECD为正三角形，平面ECD_L

平面ABCRM是线段”的中点，则

A.BM=EN,且直线4M,EN是相交直线

B.BM工EN,且直线8M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线8M,硒是异面直线

D.BM于EN,且直线是异面直线

【答案】B

【解析】如图所示，作EOJ_CD于0,连接ON,过M作于F.

连BF,,「平面CDEJ■平面A8CO.

EO1CD,EOu平面CDE,/.E0±平面ABCD,MF±平面ABCD,

.•.&W/话与AEON均为直角三角形.设正方形边长为2,易知E0=X/5,ON=1EN=2,

MF=B,BF=),:.BM=出.:.BM手EN,故选B.

22

4.（2019.浙江高考真题）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，尸是棱E4上的点（不

含端点），记直线尸8与直线AC所成角为直线尸8与平面A8C所成角为夕，二面角尸-AC-8的平

面角为7,则

A.0〈y,a<yB.p<a,p<y

C.P<a,y<aD.a<B、y<0

【答案】B

【解析】方法1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为。，则尸在底面投影。在线段AO上，过。

作OE垂直AE,易得正〃VG,过P作/YV/AC交出于尸，过。作OH//AC,交BG于H,则

PFF6

a=NBPF,B=NPBD，Y=/PED,则cosa=。=空=◊<叱=cosp,即a>/?,

PBPBPBPB

PDPD

tanY=-^＞-^=canp,即＞＞。，综上所述，答案为B.

EDBD

方法2：由最小角定理/〈a,记V—A3-C的平面角为？'（显然y'=Y）

由最大角定理P<y'=Y，故选B.

方法3：（特殊位置）取丫-A8C为正四面体，尸为E4中点，易得

cosa=在nsina=叵,singgsiny=辿，故选B.

6633

5.（2021•全国高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的

顶点.则满足MN_LQP的是（）

【答案】BC

【解析】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则MN//AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角,

在直角三角形OPC,OC=近,CP=\,故tan/POC=9=*,

故MN_LOP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取AT的中点为Q,连接尸Q,OQ,则。QJ.MT,PQ工MN,

由正方体7可得SN_L平面4V而。Qu平面AWT,

故SN工OQ,而SNMN=N,故OQJ■平面SN7M,

又JWu平面SN7M,OQ1MN,而O0C|PQ=Q,

所以M?V_L平面OPQ,而POu平面。「。，故MN上OP,故B正确.

对于C,如图（3）,连接80,则BD//MN,由B的判断可得OPJ.,

故"_LMN,故C正确.

对于D,如图（4）,取AO的中点Q,A8的中点K,连接4cPQ,O。,尸KOK,

则AC//MN,

因为DP=PC,极PQHAC,WPQHMN,

所以/QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，

因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=V5,OQ=JAC^+AQ?=vm=6,

PO=\IPK2+OK2=A/4+T=>/5>QO1<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故尸0,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

6.（2020,全国高考真题（理））设有下列四个命题；

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

pj：若直线/u平面Q,直线m_L平面a,则加_L/.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①PlAP[②Pi八P2③「P2V23④Vf

【答案】①©④

【解析】对于命题P1,可设4与4相交，这两条直线确定的平面为a;

若4与4相交，则交点A在平面a内，

同理，4与6的交点B也在平面a内，

所以，ABua,即gua,命题Pi为真命题；

对于命题〃2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题心，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题P4,若直线机_L平面a,

则m垂直于平面a内所有直线，

…直线/u平面a,.•・直线m_L直线/,

命题P4为真命题.

综上可知，P],〃为真命题，Py小为假命题，

PSP4为真命题，Pl八P2为假命题，

「P2Vp3为真命题，3V为真命题.

故答案为：①③④.

7.(2019•北京高考真题(理))己知/,机是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①LLm；②m〃a；③LL。.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

【答案】如果/_La,m〃a,则LLm或如果LLa,/Xm,则机〃a.

【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

(1)如果/_La,m〃a,则/_Lm.正确；

(2)如果LLa,LLm,则用〃a.正确；

(3)如果/_Lm,"?〃a,则/_La.不正确，有可能/与a斜交、/〃a.

8.(2021•全国高考真题)如图，在三棱锥A-8CO中，平面A8O_L平面8cO,AB=AD,。为8力的

中点.

(1)证明：OALCD；

(2)若AOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小为

45°,求三棱锥A-8C。的体积.

【答案】(1)详见解析(2)正

6

【解析】(1)因为AB=AD,0为BD中点，所以AO_LBD

因为平面ABD平面BCD=8Q,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因为CQu平面BCD,所以AO_LCD

⑵作EF±BD于F,作FM_LBC于M,连FM

因为AO_L平面BCD,所以AO_LBD,AO_LCD

所以EF_LBD,EF_LCD,8DcCD=，因此EFJ_平面BCD,即EF_LBC

因为FM_LBC,尸MIM=F，所以BC_L平面EFM,即BC_LME

则Z.EMF为二面角E-BC-D的平面角，NEMF=3

因为BO=OD,OCD为正三角形，所以-BCD为直角三角形

1112

因为=产=_(1+—)=_

2233

2

从而EF=FM=-.\AO=\

3

QAO_L平面BCD,

所以1/='AOSMCD=-xlx—xlx>/3=—

3326

A

9.（2020•海南高考真题）如图，四棱锥P-A88的底面为正方形，PO_L底面488.设平面PAD与平

面P8C的交线为/.

（1）证明：/_!_平面尸OC；

（2）已知PAAO=I,。为/上的点，QB=E,求尸8与平面QCD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）底.

3

【解析】（1）证明：

在正方形A58中，AD//BC,

因为平面P8C,8Cu平面P8C,

所以AO〃平面PBC,

又因为4）u平面P4。，平面RAOn平面尸BC=/,

所以A0/〃，

因为在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是正方形，所以AO_LOC,.」_LOC,

且PO_L平面ABC0,所以

因为CDPD=D

所以/J•平面PDC；

（2）如图建立空间直角坐标系。一个z,

因为PD=A£>=1,则有D(O,O,O),C(O,LO),Aa,O,O),P(O,O,l),B(l,l,O),

设如,0,1),则有力e=(0,1,0),=30,1),P5=(1,1,-1),

因为％近,所以有以+(0一If+(1—0)2=忘=>加=1

设平面QC。的法向量为〃=(x,y,z),

y=0

则,即《

DQn=0x+z=0

令x=l,则z=—l,所以平面。8的一个法向量为〃=(1,0,T),则

nPB___________1+0+12_x/6

cos<小PB>=

网网Vi2+o2+(-i)2-Vi2+i2+i2应xG―3,

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线

ruur、床

与平面所成角的正弦值等于Icos<n,PB+号

所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为好.

3

10.(2020•全国高考真题(理))如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面B8CC是矩

形，M,N分别为BC,BiG的中点，P为AM上一点,过BG和P的平面交AB于七，交4c于尸.

(1)证明：AA\//MN,且平面4AMNJ_£5iGF；

(2)设O为△4BiG的中心，若AO〃三面EBiGF,且AOAB,求直线SE与平面4AMN所成角的正

弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

10

【解析】（1）,M,N分别为8C,8c的中点,

又AA〃BB,

：.MN〔M

在中，”为BC中点，则8C_LAA1

又■恻面BBC。为矩形，

..BC工BB、

MNHBB]

MN1BC

8C_L平面AAWN

又•；BC〃BC,且与&0平面48C,8Cu平面48C,

•••片。〃平面A5C

又;B。1u平面EBCF,且平面EBC/c平面48。=所

:.BS〃EF

EFHBC

又1.BC_L平面A4MN

"_L平面AAMN

E尸u平面上印。尸

平面E4c7_L平面AAMN

（2）连接NP

,AOH平面EBCF,平面AONPc平面EB£F=NP

AOf/NP

根据三棱柱上下底面平行，

其面平面ABC=AM,面A'MAc平面人耳。1=A、N

•.ON//AP

故：四边形OM%是平行四边形

设二MC边长是6加（6>0）

可得：ON—AP、NP-AO-AB-6m

。为的中心，且△A4G边长为6帆

.1.ON='x6xsin60°=>/5〃7

3

故：ON=AP=厮

EF//BC

.APEP

.y/3_EP

"3^=T

解得：EP=rn

在旦G截取8©=EP=m,故QN=2m

BQ=EP且B|Q〃EP

二•四边形MQPE是平行四边形，

B、EHPQ

由（1）B,C,1平面AAMN

故NQPN为同E与平面4AMN所成角

在RdQPN,根据勾股定理可得：PQ="QM+PN2=J（2m）2+（6m1=2而m

QN2mV10

..sinZ.QPN==—=----

PQ2M机10

.•・直线与平面AAMN所成角的正弦值：叵.

10

第二部分模拟训练

一、单选题

1.已知平面。，夕，直线/,加，且有/J_a,给出下列命题：①若a〃4，则/JL机；②若

l//m,则a_16；③若a_L〃，贝|“〃加；④若/_Lm,则a/〃3.其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①：因为a〃〃，Zia,所以/，又mu0,所以/_1_阳，故正确；

对于②：因为〃/m，/la,所以又mu0,所以故正确；

对于③：因为ILa,所以/与团可能平行或异面，故错误；

对于④：因为/_Lm,/_La,所以m"a或加ua,所以a〃£不一定成立，故错误；

故选：B.

2.设〃?、〃为两条直线，。、夕为两个平面，则下列命题中假命题是（）

A.若m_L〃，/n±a»n±/?,则。_1_齐

B.若机〃〃，机_La,〃//£,则a_L£

C.若〃?_!_〃，mJla,nilp,则a///

D.若加〃〃，tnLa,孔工0,则a///?

【答案】c

【解析】A.若根_L〃，mla,〃，£,相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确；

B.若加〃〃，mLa，则〃_La,又〃“万，则平面月内存在直线c//〃，所以c_La,所以a_L£,

B正确;

C.若“J_〃，mlla,nlIft,则a,£可能相交，可能平行，C错；

D.若mHn,mJLa,n±/3,则a,£的法向量平行，所以a//〃，D正确.

故选：C.

3.在空间，已知直线/及不在/上两个不重合的点A、8,过直线/做平面。，使得点4、8到平面。的

距离相等，则这样的平面。的个数不可能是（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】C

【解析】（1）如图，当直线AB与/异面时，则只有一种情况；

4B

（2）当直线A8与/平行时，则有无数种情况，平面。可以绕着/转动;

/

过线段A8的中垂面时，有两种情况.

故选：C.

4.若夕，/是空间中三个不同的平面，ar}p=l

,«rir=w,八0=n,则〃/加是〃/历I的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】如图所示，设平面为。，平面3CG用为夕，ACQA为产

，直线为/,直线AA为〃"CG为〃.

若〃/加，mu

平面/,lay,

所以〃4，又lu。

,B，=〃，所以〃/〃,所以〃/6〃〃，即充分性成立：

反之，若nHtn,mu

平面a,〃<za,

所以//y,又nu。

,尸ca=/,所以〃/〃，所以〃/机〃〃，即必要性成立.

故〃/加

是山/”的充要条件.

故选：c.

5.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖嚅.阳马居二，

鳖犒居一，不易之率也意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与

其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖㈱，两者体积之比为定值2:1,这一结论今称刘

徽原理.如图是一个阳马的直观图，侧棱R4_L底面43co

,且B4=2,PC=26，AB=AD,则簟堵的体积为（）

A.8B.12C.16D.18

【答案】A

【解析】由已知得，阳马是一个四棱锥，其中侧棱尸A_L底面A8CD,PA_LAC

，且Z4=2,PC=2小,

连接AC,所以底面对角线AC=4,又A8=4),故底面ABC。是边长为2J5

的正方形，所以阳马的体积为％=；x(2应『x2二号，则设堑堵的体积为丫，则依题意可知*

2162_

故V=%+1=§+1=8.

故选：A.

6.在长方体ABC。一Age。中，AB=1»BC=CC[=2五,E,F,G分别为4Z),AB,

CR

上的点，AE=ED，AF=FB^D1G=2GCia>4),分别记二面角G—石/一R,G-EF-C,

G—Ffi—C的平面角为夕，产,则（）

A.a>p>y

B.p>y>a

C.y>p>a

D.与;l有关

【答案】B

【解析】过G点作GMJ_CD于M

点，过M作MNJ.M于N点

CE=7CZ）2+D£2=V3<2V2=BC

由£>C=；lGG（；lN4）

,可知MN<CE<BC

GM工CD

,MNtEF,;.EF1GN

GM

p=4GNM

~MN

GML^ABCD,过M作M尸_L4B于点P，

GM

tany=-----

BC

,.也>些=

MNBC

/.p>y=45,

设。为R—EF—C,则。=a+6<90,

又p>45,，av45

故选：B

二、填空题

7.在空间中，过A点作平面/的垂线，垂足为5,记作：8=力（4）.关于两个不同的平面a,夕有如

下四个命题：

①若Q//£,则存在点P满足。（P）=£（P）.

②若则存在点;＞满足。（P）=.［（P）.

③若alip,则不存在点P满足力（乃（尸））=为（0（P））.

其中所有真命题的序号是.

【答案】②®④

【解析】①设耳=）（P）£a，2=%（P）e£,因为a%,所以aQQ=0,则力（P）工方（尸），故

错误；

②设《=力仍）£。，8=%（巧£氏若当点Pe'ac6时，满足力仍）=力俨），故正确;

③设6=力（2）£火巴=加?）盟，则以（方（巧）£。，力（。（2））£夕，.因为。华，所以

一万=0,则工（%（P））。%（力（尸）），故正确；

④设6=力（尸）£。，6=%（P）£6则2=。（方（尸））=。（2），。2=%（。①））二%（外，因为

恒有力（方仍））=%（力（2）），则储，口重合与一点Q，则尸66。为矩形，所以aJ•夕，故正确；

故答案为：②③④

8.已知正方体A8CO-44GA的棱长为4,点P是A4t的点M在侧面44,8乃内.若RMLCP,

则LBCM面的最小值为

【答案】延

5

【解析】如图所示，取A8的中点N,AO的中点Q,连接A。，QN,B】N,BR,由正方体的性

质可得Q,N,R四点共面.

由于CP在平面ABC。内的射影为AC,QN工AC,所以QN_LCP.

由于。在平面AOAA内的射影为。pD'QtDP,所以〃Q_LOP,由QN_L",D"CP,

DQcQN=Q,得CQ_L平面

要使CP1RM,则点M必须在平面D、QNBi内.

又点M在平面A4MB内，所以点M在两个平面的交线上，即

当BM_L51N时，3M最小，此时8M===空？

2石5

则二BCM面积的最小值为,x4x拽=九5

255

故答案为：感

5

9.在四棱锥尸-ABC。中，PA_L平面ABC。，AP=2,点〃是矩形4BCO内（含边界）的动点,

且A8=l，AD=3,直线PM与平面43co所成的角为2.记点〃的轨迹长度为。，则tana=

4

【答案】5/3

【解析】如图1，因为PA_L平面48CQ,所以NPM4即为直线PM与平面A8CO所成的角,

7t

所以/PMA二.因为”=2'所以A“=2,

所以如图2点M位于矩形ABCD内的以点4为圆心，2为半径的圆上,

则点M的轨迹为圆弧E/L

连接A尸，则A尸=2.因为AB=1，AZ)=3,

所以/AFB=NFAE=%,

6

则弧EF的长度。=二乂2=二"，所以tana--

63

故答案为：B

专题16空间向量与立体几何

第一部分真题分类

1.(2021•全国高考真题)在正三棱柱ABC-A4G中，AB=AA.=\,点尸满足5P=43。+〃仍「其中

何0/，//G[0,1],则()

A.当2=1时，△A87的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点尸，使得4尸，8户

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得_L平面48/

2.(2021•天津高考真题)如图，在棱长为2的正方体ABC。-A5GA中，E为棱BC的中点，尸为

棱。。的中点.

(I)求证：〃平面AEG;

(II)求直线4c与平面AEG所成角的正弦值.

(ill)求二面角A-AG-E的正弦值.

3.（2021.全国高考真题）在四棱锥。-，488中，底面48。是正方形，若

AD=2,QD=QA=氏QC=3.

（1）证明：平面平面A8CO；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

4.（2021•北京高考真题）已知正方体ABC。-AqCA，点E为AA中点，直线4G交平面CDE于点尸.

（1）证明：点F为片0的中点;

⑵若点〃为棱9上一点，且二面角一的余弦值为手’求籍的值.

6.（2021•全国高考真题（理））已知直三棱柱ABC-A8G中，侧面为正方形，AB=BC=2,

E,产分别为4c和CQ的中点,。为棱A妫上的点.BFA.AA

（1）证明：BF1DE；

(2)当耳。为何值时，面BMGC与面。尸E所成的二面角的正弦值最小?

7.(2021.全国高考真题(理))如图，四棱锥尸的底面是矩形，?DJ_底面A5CO,

PD=DC=1,M为8c的中点，且P81AA/.

(1)求BC；

(2)求二面角A-产M-8的正弦值.

8.(2020•天津高考真题)如图，在三棱柱AAC'-A心C；中，。。；_1平面人以；,4。」60。=6。=2,

0=3,点D,E分别在棱AA和棱CG上，且AD=1CE=2,M为棱A片的中点.

(I)求证：QM1B\D；

(II)求二面角B-8遂-£＞的正弦值；

(III)求直线A3与平面所成角的正弦值.

9.(2020•北京高考真题)如图，在正方体ABS-A与GR中，E为B片的中点.

（I）求证：BCJ/平面ARE；

（ID求直线AA与平面4。卢所成角的正弦值.

第二部分模拟训练

一、单选题

1.在平行六面体ABC。—44GR中，M为AG与巴R的交点，若A4=，AD=b,AA(=c,

则与相等的向量是（）

1一1『

A.—a+—b+c

22

C.Fj+c

2.如图，四边形43co和A。。。均为长方形，且AB=AQ=2,AD=4,它们所在的平面互相垂直,

M,瓦尸分别为产Q,A用8C的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦宜是（）

3.在四面体ABC。中，AB=6,BC=3,B£>=4,若NABD与NABC互余,则6A（8C+8O）的

最大值为（）

A.20B.30C.40D.50

4.已知正方体ABCD—ABCA的棱长为1,点E是底面ABCO上的动点，则（。£一。4）・。4的最

大值为（）

A.—B.1C.0D.76

2

5.如图所示，在直三棱柱45C-A用C中，AC1BC,且8C=3,AC=4,CG=3,点尸在棱

AA,上，且三棱锥A—PBC的体积为4,则直线BG与平面P8C所成角的正弦值等于（）

6.如图，在正方体ABC力一人qGA中，AB=hM、N分别是AB、8C的中点，平面片4。分

别与RM、D\N交于P、。两点，则S△与

B告

A-萼

L

c.一

5

二、填空题

7.在三棱锥尸一ABC中，PA=PB=PC=2,A45C是正三角形，E为PC中息,有以下四个结论:

①若PC工BE,则AA6c的面积为百；

②若PC上BE,且三棱锥P—AAC的四个顶点都在球。的球面上，则球。的体积为遍开：

③若以_LBE,则三棱锥P—ABC的体积为其E；

3

④若以J_8E,且三棱锥尸—ABC的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为12%.

其中结论正确的序号为.

8.如图，棱长为1的正方体ABOASGA中，尸为线段4B上的动点（不含端点），有下列结论:

①平面AQiP_L平面AiAP；

②多面体A—COP的体积为定值;

JT

③直线。砂与8C所成的角可能为彳；

3

④AAP。能是钝角三角形.

其中结论正确的序号是__________（填上所有序号）.

9.正四棱柱A8CO-A4aA中，AB=4,外=2百.若M是侧面BCQ片内的动点，且

AM1.MC,则AM与平面BCC.B,所成角的正切值的最大值为.

三、解答题

10.如图，在四棱锥P—A3CQ中，已知R4J_平面A8CO,且四边形A8CO为直角梯形，

TT

ZABC=ZBAD=-,A£>=2,AB=BC=l.

2

(1)当四棱锥尸—A8CD的体积为1时，求异面直线AC与〃。所成角的大小;

(2)求证：COJ_平面P4C.

11.如图1,矩形ABCO中，6AB=BC，将矩形ABC。折起，使点A与点。重合，折痕为EF，连

接A/、CE,以A尸和EF为折痕，将四边形A8EE折起，使点5落在线段召C上，将△CDE向上折

起，使平面DEC_L平面尸EC,如图2.

(1)证明：平面4运_L平面EFC；

(2)连接跳、BD，求锐二面角4一3七一。的正弦值.

12.如图，在四棱柱ABCO-ASGA中，明，底面438，AD-LAB^AO//8C,且

AB=AD=BC=1,AA,=DC=>f2.

（1）求证：平面BDD.1平面CDDG；

（2）求二面角C-BR-G所成角的余弦值,

专题16空间向量与立体几何

第一部分真题分类

1.（2021•全国高考真题）在正三棱柱ABC-AMG中，==1,点p满足=,其中

Ae[0J],//e[0,l],则（）

A.当2=1时，AAB产的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

C.当；1=：时，有且仅有一个点儿使得A/，3P

D.当〃时，有且仅有一个点?，使得平面从4〃

【答案】BD

易知，点尸在矩形BCC石内部（含边界）.

对于A,当％=1时，BP=BC+juBB}=BC+pCC],即此时Pc线段△明尸周长不是定值，故A错

误；

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB=BBi+ABiC],故此时尸点轨迹为线段B©,而且CJ/BC,〃平

面A8C,则有。到平面A3c的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当2时，BP=；BC+〃阴，取BC,8c中点分别为Q,H,则B尸=8。+〃。〃，所以P

点轨迹为线段Q",不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A与。，1，P(0,0，〃)，

则4P=(一杏BP=fo,-l/,AP8P=〃(〃—1)=0,所以〃=0或〃=1.故”,Q均满足，

2\2；x7

\z

故C错误；

对于D,当寸，BP=/BC+；BB「取阴，CG中点为M,N.BP=BM+AMN，所以P点轨迹为

百1\1

一

V3一

线段MM设因为A与0,0,所以丽=A8所以

-加---2,-

22-2

7-

311,

+-Q=0=%=-鼻，此时尸与N重合，故D正确.

故选：BD.

2.(2021.天津高考真题)如图，在棱长为2的正方体ABCO-ABIGR中，E为棱BC的中点，F为

棱