2024年山东省济宁市中考数学试题含解析

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A济宁市二○二四年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共6页，考试时间120分钟，共100分．2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．3．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，务必在题号所指示的答题区域内作答．5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．考试结束后，将本试卷和答题卡一一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.的绝对值是（）A. B. C. D.32.如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（）A.人 B.才 C.强 D.国3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.4.如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（）A.6 B.8 C.10 D.125.为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（）A.班主任采用的是抽样调查 B.喜爱动画节目的同学最多C.喜爱戏曲节目的同学有6名 D.“体育”对应扇形的圆心角为6.如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（）A1 B.2 C. D.7.已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A. B. C. D.8.解分式方程时，去分母变形正确的是（）A. B.C. D.9.如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（）A. B. C. D.10.如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）A.90 B.91 C.92 D.93二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数用科学记数法表示为______．12.已知，则的值是______．13.如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形．14.将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______．15.如图，中，，是的角平分线．（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点．（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点．（4）画射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．（6）连接，，分别交，于点，．根据以上信息，下面五个结论中正确的是______．（只填序号）①；②；③；④；⑤．三、解答题：本大题共7小题，共55分．16.先化简，再求值：，其中，．17.如图，三个顶点的坐标分别是．（1）将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；（2）将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．18.为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数33ab3【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表统计量班级平均数中位数众数方差八年级（1）班9541.5八年级（3）班919026.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图：（2）填空：______，______；（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．19.如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．（1）若，求的长；（2）求证：是的切线．20.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求这段时间内y与x之间函数解析式；（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？21.综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动．【动手操作】如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平．第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕，再把纸片展平．第三步，连接．【探究发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．甲同学结论：四边形是正方形．乙同学的结论：．（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．【继续探究】在上面操作的基础上，丙同学继续操作．如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平．第五步，连接交于点N．根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：．（2）请证明这个结论．22.已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．（1）求a，c的值；（2）若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．参照秘密级管理★启用前试卷类型：A济宁市二○二四年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共6页，考试时间120分钟，共100分．2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．3．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，务必在题号所指示的答题区域内作答．5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．考试结束后，将本试卷和答题卡一一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.的绝对值是（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查绝对值，属于简单基础题，根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：的绝对值是3，故选：D．2.如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（）A.人 B.才 C.强 D.国【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答．【详解】解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”，故选：D．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】A.不能合并，所以A选项错误；B.，所以B选项正确；C.，所以C选项错误；D.，所以D选项错误．故选：B．4.如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解．本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵四边形是菱形，，∵E是的中点，，∴。故选：A．5.为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（）A.班主任采用的是抽样调查 B.喜爱动画节目的同学最多C.喜爱戏曲节目的同学有6名 D.“体育”对应扇形的圆心角为【答案】D【解析】【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形的圆心角的度数，即可判断D．本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键．【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，所以班主任采用的是全面调查，故A选项错误；喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多，故B选项错误；喜爱戏曲节目的同学有名，故C选项错误；“体育”对应扇形的圆心角为，故D选项正确．故选：D．6.如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接，，作于G，∵，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，即它的内切圆半径为，故选：D．7.已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，∵，∴∴，故选：C．8.解分式方程时，去分母变形正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．【详解】解：方程两边同乘，得，整理可得：故选：A．9.如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】∵四边形是的内接四边形我∴，，，，，，，，解得，，．故选：C10.如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）A.90 B.91 C.92 D.93【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可．【详解】第1个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，……第6个图形有（个）正方形，故选：B.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故答案为：．12.已知，则的值是______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解【详解】解：，，故答案为：213.如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．【详解】解：添加条件：，证明：∵，∴，在和中，，∴∴，∴四边形是平行四边形．故答案为：（答案不唯一）14.将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围．此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得，∵与x轴有公共点，∴，即，解得，故答案为：．15.如图，中，，是的角平分线．（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点．（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点．（4）画射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．（6）连接，，分别交，于点，．根据以上信息，下面五个结论中正确的是______．（只填序号）①；②；③；④；⑤．【答案】①②⑤【解析】【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出即可判断⑤．【详解】解：∵，，∴三角形等腰直角三角形，，又∵是的角平分线，∴，∴，∴，故①正确；根据题意作图可得：，，过作于点，则，如图所示：∵是的角平分线，由三线合一可得：，即，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∴，∴，故②正确；∵，，∴，故③错误；设，则，∵，∴，∴，即，，即，∴，故④错误；∵，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故⑤正确；综上所述，正确的有：①②⑤；故答案为：①②⑤．三、解答题：本大题共7小题，共55分．16.先化简，再求值：，其中，．【答案】【解析】【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果．此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】解：，当，时，原式．17.如图，三个顶点的坐标分别是．（1）将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；（2）将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．【答案】（1）作图见解析，（2）作图见解析，【解析】【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解【小问1详解】解：如下图所示：由图可知：；【小问2详解】解：如上图所示：运动到点所经过的路径为：18.为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数33ab3【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表统计量班级平均数中位数众数方差八年级（1）班9541.5八年级（3）班919026.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图：（2）填空：______，______；（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．【答案】（1）见详解（2）91，92.5（3）八年级（1）班成绩较好，理由见详解（4）【解析】【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可；（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，根据平均数和中位数的定义进行计算即可；（3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好；（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可．【小问1详解】解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示：【小问2详解】解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，∴，一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名平均数，．【小问3详解】解：八年级（1）班和八年级（3）班平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好．【小问4详解】解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下：(1)班（3）班ABCXYA

ABACAXAYBBA

BCBXBYCCACB

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一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种，∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为：．【点睛】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19.如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．（1）若，求的长；（2）求证：是的切线．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；（2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可．【小问1详解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴；【小问2详解】证明：如图，连接，由（1）得：，∴，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是半径，∴是的切线．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．20.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）这段时间内y与x之间的函数解析式为（2）当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元【解析】【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值【小问1详解】解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，由图象可知，函数经过，，可得，解得，这段时间内y与x之间的函数解析式为；小问2详解】解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，，，即，解得，设获得利润为，即，对称轴，，即二次函数开口向下，的取值范围是，在范围内，随着的增大而增大，即当销售单价时，获得利润有最大值，最大利润元．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．21.综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动．【动手操作】如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平．第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平．第三步，连接．【探究发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．甲同学的结论：四边形是正方形．乙同学的结论：．（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．【继续探究】在上面操作的基础上，丙同学继续操作．如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平．第五步，连接交于点N．根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：．（2）请证明这个结论．【答案】（1）甲、乙同学的结论正确，证明见解析，（2）证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握相关的性质定理，（1）先证明四边形为矩形，再根据即可证明四边形为正方形，设，由折叠性质可知：，，再根据等腰直角三角形的性质分别求出，，即可得出，进而可得出结论；（2）作交于点R，利用证明，得出，再证明四边形为菱形，得出，进而证明，再根据证明，得出，进而证明，即可得出结论【详解】解：（1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下：四边形是矩形，由第一步操作根据折叠性质可知：四边形为矩形，又四边形为正方形，故甲同学的结论正确；作于点M，四边形为正方形，设，由第二步操作根据折叠性质可知：，在中，在中，,故乙同学结论正确；（2）作交于点R，如图所示：为折痕,四边形为矩形，在和中，又由折叠性质可知：四边形为菱形，即在和中，22.已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．（1）求a，c的值；（2）若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）①该二次函数的解析式为：；，②存在，P点横坐标为：或或【解析】【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得；（2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，；②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可．【小问1详解】解：∵的图像经过，∴，∴和关于对称轴对称，∴，，，∴，．【小问2详解】解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴该二次函数的解析式为：，当时，，解得，，∴，．②设直线的表达式为：，则，解得，∴直线的表达式为：，当点P在点A右侧时，作于F，如图所示：设，则，，则，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴点P横坐标为或；当点P在点A左侧时，作于F，如图所示：设，则，，则，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴点P横坐标为，综上所述，P点横坐标为：或或．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键．泰安市2024年年初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1.的相反数是（）A. B. C. D.2.下列运算正确是（）A. B.C. D.3.下面图形中，中心对称图形的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据860万用科学记数法表示（）A. B. C. D.5.如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（）A. B. C. D.6.如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（）A B. C. D.7.关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）A.甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B.甜果七个四文钱，苦果九个十一文C.甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D.甜果四个七文钱，苦果十一个九文9.如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：①；②垂直平分线段；③；④．其中，正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.11.如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（）A.2 B. C. D.4二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13.单项式的次数是________．14.某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________．15.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米．（参考数据：，，，）16.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．

17.如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．18.如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．三、解答题（本大题共7小题，满分8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19.（1）计算：；（2）化简：．20.某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）统计量供应商平均数中位数众数甲8080乙76则__________，__________，__________．（2）苹果直径方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）（3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？21.直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．（1）求直线的表达式；（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．22.随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？23.综合与实践为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．【探究发现】（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．【拓展延伸】（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．24.如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．（1）求证：，；（2）将绕点顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．25.如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．（1）求抛物线表达式；（2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．泰安市2024年年初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1.的相反数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．【详解】解：的相反数是．故选：D．【点睛】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键．2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故不符合题意；D、，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3.下面图形中，中心对称图形的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解．【详解】解：第一个是中心对称图形，符合题意；第二个是是中心对称图形，符合题意；第三个是是中心对称图形，符合题意；第四个不是中心对称图形，不符合题意；所以符合题意的有3个．故选：C．4.据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据860万用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．直接运用科学记数法的定义解答即可．【详解】解：860万．故选：D．5.如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∵是等边三角形，∴，又∵，∴，∴，故选：B．6.如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵平分，∴，∵是的直径，，∴，，则，∴，故选：A．7.关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得．故选B．8.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）A.甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B.甜果七个四文钱，苦果九个十一文C.甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D.甜果四个七文钱，苦果十一个九文【答案】A【解析】分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，【详解】解：根据，可得甜果九个十一文，苦果七个四文钱，故选A【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系．9.如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：①；②垂直平分线段；③；④．其中，正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④．【详解】解：由作图可知垂直平分线段，∴，∴，由作图可知平分，∴，∵，∴，故①正确，∴，∵，∴，∴垂直平分线段，故②正确，∵，∴，故③正确，∴，∵，∴，∴，故④正确．故选：D．10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答．【详解】解：如图：连接，作于点B，∵，∴三角形是等边三角形，∴，∴∴,∴．故选：A．11.如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴,∴，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，∴与x轴的另一个交点在、0之间，∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；∵抛物线与直线有两个交点，∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，∴，∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴，∴，∴．故④错误．综上，①③正确，共2个．故选：B．12.如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答．【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I，∵，∴点E、M、F、G四点共圆，∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13.单项式的次数是________．【答案】【解析】【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是，∴此单项式的次数为：．故答案为：．【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键．14.某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可．【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，列表如下：

ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为．故答案为：．15.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米．（参考数据：，，，）【答案】74【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键．根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：由题知,∴,在，∴,∴,在中，,∴,∴．故答案为：74．16.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．

【答案】450【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答．【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，∴．∴．菜园的面积，∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．故答案为：450．17.如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答．【详解】解：∵是的直径，∴，∵是的切线，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案为：．18.如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．【详解】解：由所给图形可知，第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…，所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；由题知，解得，又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故答案为：12．三、解答题（本大题共7小题，满分8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）7；（2）【解析】【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键．（1）利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算；（2）利用分式的运算法则化简即可．【详解】解：（1）；；（2）．20.某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）统计量供应商平均数中位数众数甲8080乙76则__________，__________，__________．（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）（3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？【答案】（1）80，，（2）甲（3）600【解析】【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；（2）根据方差的意义解答即可；（3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可．【小问1详解】解：由题意得：；把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数；甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数．故答案为：80，，．【小问2详解】解：甲的方差为：；乙的方差为：，因为，所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．故答案为：甲．【小问3详解】解：（个）．答：大果约有600个．21.直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．（1）求直线的表达式；（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．（1）分别将点、点代入，求出m、n的值，再分别代入中即可解答；

（2）根据函数图像确定不等式的解集即可；

（3）先把代