2023考研：线代必练400题

线代必练400题

考册数学

O

目录

试题部分

第一章行列式.....................................................1

第二章矩阵.....................................................4

第三章向量.....................................................16

第四章线性方程组.................................................25

第五章特征值与特征向量..........................................40

第六章二次型.....................................................51

答案解析部分

第一章行列式.....................................................57

第二章矩阵.....................................................64

第三章向第......................................................94

第四章线性方程组..............................................122

第五章特征值与特征向量........................................173

第六章二次型...................................................221

忒验都与

第一章行列式

一、选择题

a।00b\

0u2bi0

1.现阶行列式的他等于（）

Qbta0

A：00ai

<.A>«।u.aabb,hb.(B)aiaaa十〃〃hb,

(C)(a—bb)(ua1—6//1).(!))(«u—bh)(«/1</1—hhi).

0ab0

2.行列式“()06

0<•d0

0()d

!h).(l»)(adbi).

(C)udhe.(1,))be'—ad.

3.若a.a・a邛•fi都kIMl列向储・IL4阶行列式a-a.am.

a・a".・a"=〃.则I阶行列Kia.a：・a।./h+p：等「<)

(A>mn.(IO(m4-//).

((')〃ni.(I))〃，〃.

x-2.r-1,«—2.<—3

2.r-22.r-12.i—22.r—3

L记行列式为八，）•则方程/（.，）。的根

3.r—33.r—2•i.r-53.r-5

4.r4.r—35J7IJ3

的个数为

（A）I.(li)2,(C>3.(I))I.

1

线代必练400颍

二、填空题

3040

2222

5.设行列式D=•则第四行各元素余子式之和的值为

0-700

53-22

1-100

21-11

=

6.已知矩阵A9A”表示|A|中（i,j）元的代数余子式,

3-22-1

C034

则Au-.A1:=

ab0•••00

0ab•••00

00a•••00

7.7,阶行列式*••*••

*•••■*•

000•••ab

b00•••0a

1110

1101L

8.=*

1011

0111

'°1•••1

•••1

9.设〃阶矩阵A=*，则1A1二.

*

•••0

1-11r*1

1-1X+1一1

10.行列式=.

1x-11一T

X+1-11—-1

A一-10o

0A-1°

11.行列式-*

00AT

432A+1

2

第一章行列式

a0-11

0a1-1

12.行列式

-11a0

1-]0a

1—aa000

-11-2a00

13.五阶行列式D=0-11—aa0

00—11-aa

000-ii-

2002

-12…02

**•9

】4.〃阶行列式*■*•••

00•••22

0o•••-12

三、解答题

010-00

001-00

•••••

15.设A为10X10矩阵••♦•••，计算行列式|A一aE|,其

000-01

io1000•••00

中E为10阶单位矩阵，A为常数.

3

第二章矩阵

一、选择题

1.设A与B为〃阶方阵,且AB=O•则必有

(A)4—O或6=O.(B)AB=BA.

(C)|A|=0或|B|=0.(D)\A|+|B|=0.

2.设A和B都是〃X〃矩阵，则必有()

(A)\A+B|=|A|+|6|.(B)AB=BA.

(C)|AB|=|BA|,(D)(A+B)-1=AT

3.设〃维行向员a=(3，0,…,0,；)•矩阵A=E-aTa,fl=E+2aTa•其中E为

'Ct4/

〃阶单位矩阵,则AB等于()

(A)O.(B)-E.(C)E.(D)E4-aTa.

4.设〃阶方阵A,B,C满足关系式AbC=E，其中E是〃阶单位阵，则必有()

(A)ACB=E.(B)CBA.(C)BAC=E.(D)BCA=E.

5.设A为〃阶方阵,且|A|=aK0,而A'是A的伴随矩阵，则\A9|=()

(A)a.(B)y.(C)a-T.(D)a".

6.设A为〃阶可逆矩阵.A•是A的伴随矩阵，则|4・|=()

(A)\AI-1.(B)|A|.(C)|A|".(D)|A|T.

7.设A是任一〃3）阶方阵，A*是其伴随矩阵,又归为常数，且归力0,±1,则必

有C人）.

(A)kA•.(B)k^lA•・(C)k-A•.(D)k^lA•.

8.设〃阶矩阵A非奇异A，是矩阵A的伴随矩阵，则()

(A)(A*)•=\A\^'A.<B)(A')*=|A|-+,A.

(C)(A*)•=|A|-U.(D)(A*)*=|AL'A.

4

--------------------------------------------------------------------------第二章矩阵

9.设A,8均为2阶矩阵.A•,8•分别为AI的伴随矩阵.若IA|=2,|B|=3,则

OA

分块矩阵的伴随矩阵为()

BO

O3B*O2B']

(A).(B).

2A.O(3AUO

O3A.O2A•

(C).(D)

2B-O3B*O

10.设A,B,A+B,AT+B1均为n阶可逆矩阵，则(A-1等于()

(A)A-+B(B)A4-B.

(C)A(A+B)TB.(D)(A4-B)-1.

11.设A,b,C均为〃阶矩阵，E为〃阶单位矩阵•若6=E+AB.C=A+CA，则5—

C为()

(A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A.

12.设矩阵A=(a“)g满足A'，其中A'是A的伴随矩阵，/T为A的转置矩

阵.若““，52,53为三个相等的正数，则为《)

(C)4.(D)>/3.

/(AA、)0—.(B)3.

0

13.设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把8的第2列加到第3列

得C•则满足AQ=C1的可逆矩阵Q为()

01o,010

(A)100.(B)101

101001

‘010011

(C)100(D)100

011001

".设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵8，再交换B的第2行与第3

10010

行得单位矩阵.记Pl=110,P[=00

00101

(A)P,P：.(B)P”2.(C)P2P},

ana12auan10

15.设A=a,B=Q”o-n00

031+a“an+a”01

<231an

5

线代必练400题---------------------------------------------------------------------------

0

0，则必有

1

(A)W=B.(B)APiPi.

(C)P.P2AB.(D)P2PA=B.

16.设

aiiaitauO14<214<2iia1*aII0001

a2ia2?a冢024ana”a*2azi0100

A=,B—•Pi=

a3iasa虱a”aua”aasi0010

aaa<2a44araaaa.1000

1000

0010

l)

P2一，其中A可逆•则B等于(

0100

0001

(A)AlPP.

x2(B)PM"?.(C)PIP2A*.(D)匕A-0.

17.设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得5，再将B第1列的一1倍加到第

110

2歹"得C,记P=010,则

00

(A)C=P-*AP.(B)CPAP

(C)C=PTAP.(D)C=PAPT.

100

18.设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且P7P=010，若P=(a।,

002

az»«3>,Q=(%+%・。2，%)，则Q"Q为

210110

(A)110(B)120

002002

20O'I00

(C)010(D)020

002,002

6

第二章矩阵

19.设A为〃(八，2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵6,4•.8•分别

为A,B的伴随矩阵•则()

(A)交换A'的第1列与第2列得S'.

(B)交换A'的第1行与第2行得B・.

(C)交换2的第1列与第2列得一5・•

(D)交换A'的第1行与第2行得一B・.

20.设〃阶矩阵A与8等价，则必有

(A)当|A|=a(aW0)时，|B|=a・

(B)当|A|=a(a#0)时，|8|=一々,

(C)当|A|工0时，|=0.

(D)当|A|=。时，|H|=0.

21.设A.8为同阶可逆矩阵，则

(A)AB=BA.

(B)存在可逆矩阵P,使PAP=B.

(C)存在可逆矩阵C,^CTAC=B.

(D)存在可逆矩阵P和Q•使PAQ=B.

22.设A是矩阵，C是〃阶可逆矩阵，矩阵A的秩为厂•矩阵6=AC的秩为厂一

则()

(A)r>r,.(B)r<Crt.

(C)r=ri.(D)r与r1的关系依C而定.

23.设A是mX〃矩阵，。是nXm矩阵，贝I」()

(A)当m>n时，必有行列式|AB1^0.

(B)当m>n时，必有行列式|AB|=0.

(C)当n>m时，必有行列式|AB|^0.

(D)当n>zn时•必有行列式|AB|-0.

24.设A为mX，矩阵，B为〃Xm矩阵.E为,〃阶单位矩阵，若Ab=E，则

()

(A)r(A)=m,r(B)—m.(B)r(A)=m,r(B)=n.

(C)r(A)=n,r(B)=m.(D)r(4)=n,r(B)=n.

25.设A.B都是〃阶非零矩阵，且Ab=O,则A和b的秩()

(A)必有一个等于零.(B)都小于〃.

9)一个小于〃，一个等于〃,(D)都等于〃.

7

线代必练400题----------------------------------------------------------------------------

123

26.已知Q=24£，P为3阶非零矩阵•且满足PQ=。，则

369

(A)t=6时，P的秩必为1.(B)£=6时，P的秩必为2.

(C)fX6时,P的秩必为I.(D)£X6时，P的秩必为2.

27.设〃5》3)阶矩阵

1

1

1

1

若矩阵A的秩为1,则。必为

(A)1.(0-1.(D)—

《B)En一

bb]

28.设3阶矩阵A=bb，若A的伴随矩阵/T的秩为1,则必有

bb

(A)a=6或。+2b=0.(8)。=6或。+26#0.

(C)aH6且a+26=0.(D)a#8且a+25X0.

29.设A,B为〃阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩・(XV)表示分块矩阵，则()

(A)r(AAB)=r(4).(B)r(ABA)=r(A).

(C)r(AB)=max(r(A),r(B)}.(D)r(AH)=r(ATBT).

二、填空题

(OA)

30.设A为m阶方阵，"为〃阶方阵，且|A|-a,|"|=〃,C=，则

BO

|C|=.

10111

31.设A=020，而〃>2为假数，则A"—24t=.

101

8

-----------------------------第二章矩阵

1-11

32.设。为3维列向量是a的转置.若a-=-11—1»W,jaTa=

1-11

33.已知a=（1,2,3）/=（1』二），设，其中a，是a的转置，则上=.

34.设4X4矩阵A=（a，h，h，九），3=（夕.九，七，九），其中a，夕，九，匕，九均为

4维列向量•旦已知|A|=4.|B|=1,则行列式|A+B|=.

211

35,设矩阵A=,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足=8+2E，则

1-121

|B[=・

36.设明，a-均为3维列向量，记矩阵

A=（aI»a2«as）,B=（a।4-a»4-as.a।+2az+4a，，ai+3a24-9cr3），

如果|A|=1.那么|E|=.

37,设三阶方阵A,B满足A?b-A-B=E，其中E为三阶单位矩阵，A=

101

020•则|5|=.

-201

38.设A.8均为〃阶矩阵，|4|=2.|8|=-3,则|24，丁”=

’0001

0010

39.设矩阵A=•则AT=•

0100

1000

300100

40.设矩阵A=140E—010，则逆矩阵（A—2E尸

003001

5200

2100

，则A的逆矩阵A-=

41.设4阶方阵A=■

001-2

0011

1—1

42.设矩阵A=.B=A?-3A+2E•则=

23

9

线代必练400题-----------------------------------

100

43.设A=220A•是A的伴随矩阵，则(A*),=

345

44.设矩阵A满足A2+A—4E=O，其中E为单位矩阵，则(A.

202

45,设A.B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵.已知Ab=2A+b,3=040

202

则(A-EL1=.

1-20

46.已知AB—8=4,其中B=210,则A=.

002

47.设〃维向量a=(a,0,…，0,a)T,aV0,E为〃阶单位矩阵.矩阵

A=E—aar,B=E+-^-aa

其中A的逆矩阵为8.则a=

OA

48.设A和B为可逆矩阵，X为分块矩阵，则XT=

BO

0即0•••0

00ai•••0

••■*

49.设A=*••*•*•其中a,K0,1=1.2•…，叫则A'=

000•••aI

a・00•••0

T00

£

50.设三阶方阵A.B满足关系式、A-BA=6A+6A.Jt中A=00

4

007

B=.

210

51.设矩阵4=120，矩阵3满足ABA'=2A4・+E,其中A•为A的伴随矩

001

阵，E是单位矩阵，则|B|=,

10

第二章矩阵

52.设A为3阶矩阵，|A|=3,A'为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得

到矩阵B，则|BA・|=.

53.设A,5为3阶矩阵，且|4|=3.|B|=2,|A*+B|=2,则|A+B”=・

1000

-2300

54.设A=,E为4阶单位矩阵•且S=(E+A)T(E-A)，则

0-450

00—67

(E+5)7=

0100

0010

55.设矩阵A=，则A』的秩为.

0001

0000

•••

Q\b\a\b2。也

abia2b2•••0也

设t，其中诙#0，10(/=1,2,…，/!)则矩阵A

56.A=•••

•••*

a“b\•••ah

的秩r(A)=•

a-1-1110

57•设矩阵-1a-1与。一11等价，则a=.

-1-1a101

k\11

1k11

58.设矩阵A=•且秩r(A)=3,则k=・

11k1

111k

59.设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A'的秩为.

102

60.设A是4X3矩阵,且A的秩武4)=2,而8=020•则r(AB)=

—103

12-2

61.设A=4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=0,则，=.

3-11

62.设A=(a”)为3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，A。为%)的代数余子式，若

a0+A“=0(i.j=l,2,3)•则|A|=.

11

线代必练400速

(100]

63.设矩阵满足8A=25A-8£,其中A0-20•E为单位矩阵,

001

A•为A的伴随矩阵，则B=

三、解答题

64.设A是〃阶矩阵，满足AAT=E（E是ri阶单位阵.4丁是A的转置矩阵），|A|V

。，求|A+E|.

的伴随矩阵，A的行列式|A|=J,求行列式

65.设A是3阶方阵，A•是A

|(3A)1-2A•|的值.

00100

66.已知AP，其中B000,P一10，求A及"

0021

301)

67.设矩阵A和B满足AH=A+28•其中A10,求矩阵H.

014

43]

68.设矩阵A和8满足AB=A+2B，求矩阵5，其中A=110

3

00fl

69.已知X=AX+E，其中A-11.B0，求矩阵*.

-10-15-3

1

-12

第二章矩阵

70.设为3阶矩阵，E为三阶单位阵,满足AB+EM/P+E，又知A=

0

020•求矩阵5.

01

11一1

71.已知A=01，且才一AB=E，其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B.

00-1

010

72.设A=021,B=,3阶方阵X，丫满足

110001

AXR1-AYB-1=E,*Y-V=E.

其中E为3阶单位矩阵,求y・

11

73.已知3阶矩阵A的逆矩阵为A**1=121•试求其伴随矩阵A•的逆矩阵.

J13

1-1002134

01-100213

74.设4阶矩阵B«C=•且矩阵A满足关系

001一0021

00c10002

式A(E-CTb)TCT=E，其中E为4阶单位矩阵，CT表示C的逆矩阵，C'表

示C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A.

75.设(2E—CL其中E是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A的转置矩阵,

12-31201

01-30120

B

0020

0001000

求A.

线代必练400题---------------------------------------------------------------------------

11-1

76.设矩阵A=-l11，矩阵X满足/1・*=4-+2/，其中A'是A的伴

1-1

随矩阵•求矩阵*.

1000

0100

77,设矩阵A的伴随矩阵A，，且AbA-i=BAi+3E•其中E为

1010

0-308

4阶单位矩阵，求矩阵B.

100011

78.已知矩阵A=110,B—101且矩阵X满足

111.110

AXA+BXB=AXB+BXA+E,

其中E是3阶单位阵，求X.

a10

79,设矩阵4=1a-1，且A'=O.

01a

（I）求a的值，

（11）若矩阵％满足X-XA；—AX+AX/T=E，其中£为3阶单位矩阵，求*.

80.已知n阶方阵A满足矩阵方程2E=O，其中A给定，E是单位矩阵.

证明：A可逆，并求出其逆矩阵A-、

81.巳知对于〃阶方阵A，存在自然数上，使得A"=O.试证明矩阵E-A可逆,并

“4.・・4...........1一_^，——

写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）.

••<,••«・，，.—―..，■，1・・..・・一

82.设〃阶矩阵A和B满足条件A+b=AB.

（I）证明A-E为可逆矩阵；

1-30

（口）已知B-210，求矩阵A.

002

14

}・；一$・・1・・&一卜・・14

---------------------------------------------------------------------------第二章矩阵

83.已知A.B为3阶矩阵，且满足2A-'8=8-4E•其中E是3阶单位矩阵.

(1)证明矩阵A-2E可逆，

1-20

(口)若8=120•求矩阵A.

002

84.设A=E-^r,其中E是〃阶单位矩阵是八维非零列向量，久是《的转置,证明:

(1)*=A的充要条件是gq=1;

一.广丁二一丁丁「

(11)当《飞=1时，A是不可逆矩阵.

卜十号.”!..十..「.卜；一1

二:…：―

85.设A是曾阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为8.j.T•二

……,•—.....••••

(I)证明B可逆,•••■«•••*«••*♦，一

(口求人心•

86.设A为〃阶非零方阵,A'是A的伴随矩阵，A'是A的转置矩阵.当A'=AT

时，证明IAI/0.

87.已知实矩阵A=Q”)g满足条件：

①a”=A”(i,j=1.2,3)，其中A,,是的代数余子式；②an#0.

计算行列式|A|.

88.设A为，阶非奇异矩阵•a为n维列向必，6为常数.记分块矩阵

EOAa

P=，Q=•

-a"*|A|ab

其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为〃阶单位矩阵.

(I)计算并化简PQ।

(口)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是耍b.

89.设a.p是三维列向量，矩阵4=公。『十即’，其中6为a的转置.p「为。的转

置.证明：

(I)r(A)42；

(「若以“线性相关，则r(A)<2.

15

第三章向量

一、选择题

1,设向it。可由向量组叫，…Te线性表示•但不能由向量组(I)四，02,…

ai线性表示，记向量组(11)©，*,…，(xi・p，则(

(A)a,不能由(I)线性表示，也不能由(D)线性表示.

不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示.

(C)a.可由(I)线性表示，也可由(n)线性表示.

(D)a.可由(I)线性表示，但不可由(U)线性表示.

2.设A是4阶矩阵，且|A|=0,则A中