高考数学模拟大题规范训练(28)含答案及解析

高三数学大题规范训练（28）15.，，分别为的内角，，的对边.已知.（1）求；（2）若，，求的周长.16.某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的.（1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关.近视不近视合计男女合计60（2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望.附：.0.1000.0500.0250.01000012.7063.8415.0246.63510.82817.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，．（1）求证：平面；（2）若E为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．18.已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1．（1）求椭圆E的方程；（2）若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程．19已知函数．（1）求的极值；（2）若在区间有2个零点，求的取值范围．

高三数学大题规范训练（28）15.，，分别为的内角，，的对边.已知.（1）求；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.（2）利用余弦定理求得，进而求得的周长.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，即，又，所以，所以为锐角，所以，故；【小问2详解】因为，，所以，整理得，解得（负根舍去），所以，，所以的周长为.16.某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的.（1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关.近视不近视合计男女合计60（2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望.附：.0.1000.0500.025001000012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）表格见解答，无关（2）分布列见解答，.【解答】【分析】（1）根据已知中的数据信息可以补全二阶列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与6.635比较，从而作出判断.（2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，这就是超几何分布，由此可计算出结果.【小问1详解】由题意，男生与女生的人数之比是，所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为15人，男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人.可得如下列联表：

近视不近视合计男251540女15520合计402060零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关；所以，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关.【小问2详解】男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数､女生人数分别为：.所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数的所有可能取值为.，所以的分布列为012即.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，．（1）求证：平面；（2）若E为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）设Q为AD的中点，连接PQ，证明平面ABCD，得，从而可证线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】设Q为AD的中点，连接PQ，∵正三角形，∴，又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD，又平面ABCD，∴，又，，平面PAD，∴平面PAD；【小问2详解】在平面PAD内作，则．∵平面PAD，平面PAD，平面PAD，∴，．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．∵底面ABCD为平行四边形，，∴ABCD为矩形．设，则，，，，，．∴，设平面ACE的法向量为，由得取，得平面ACE的一个法向量为．又，所以点B到平面ACE的距离为，解得．∴，，，设平面ABP的法向量为，由得取，得平面ABP的一个法向量为．∴平面ACE与平面ABP夹角的余弦值为．18.已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1．（1）求椭圆E的方程；（2）若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解答】【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l方程，B、C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【小问1详解】设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点，易知，则，显然时，由题意得解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设，因为，所以所以①设直线的方程为，联立得，整理得，由韦达定理得，把①式代入上式得，得，解得，所以直线的方程为：或.19.已知函数．（1）求的极值；（2）若在区间有2个零点，求的取值范围．【答案】（1）当时，在处取极大值（2）【解答】【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则恒成立，所以在上单