高考数学模拟大题规范训练(24)含答案及解析

高三数学大题规范训练（24）15.近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；，，，，，，16.在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.17.已知函数.（1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;（2）讨论的单调性与极值.18.已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．19.在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，．（1）证明：当时，；（2）当时，比较与的大小；（3）数列满足，记，求证：．

高三数学大题规范训练（24）15.近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；，，，，，，【答案】（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型（2）（3）估计2024年的企业利润为93.3亿元【解答】【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；（2）利用最小二乘法求出即可得解；（3）令即可得解.【小问1详解】由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；【小问2详解】由题意得：，，，，所以；【小问3详解】令，，估计2024年的企业利润为99.25亿元．16.在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】因为底面为正方形，所以，又侧面底面，侧面底面，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为，，连接，则为正三角形，取中点，则，由平面及平面，得，又，所以底面，过点作交于，如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的法向量，所以令，则，可得平面的法向量.所以，故直线和平面所成角的正弦值为.17.已知函数.（1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;（2）讨论的单调性与极值.【答案】（1）（2）答案见解答.【解答】【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.【小问1详解】由题得，的定义域为..的图象在点处的切线与直线l:垂直，，解得.【小问2详解】由（1）知.①当时，恒成立.在上为减函数，此时无极值;②当时，由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，无极大值.综上可得，当时，在上为减函数，无极值;当时，在上单调递减，在上单调递增.的极小值为，无极大值.18.已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．（1）求椭圆的方程和离心率；（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.（2）.【解答】【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.【小问1详解】如图，由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为.【小问2详解】由题意得，直线斜率存在，由椭圆方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.19.在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，．（1）证明：当时，；（2）当时，比较与的大小；（3）数列满足，记，求证：．【答案】（1）证明见解答（2）（3）证明见解答【解答】【分析】（1）分别构造，，根据导数判断函数单调性进而证明；（2）令，根据导数结合（1）得出在单调递减，得出，即可比较大小；（3）令，根据引理，不等式放缩及（1）的结论得出，再根据（2）的结论，累加法及不等式放缩，即可证明．【小问1详解】令，则，故时，为增函数，，故当时，，令，则，故时，为增函数，，故当时，，综上可知，当时，．【小问2详解】令，则，设，则，故在上为减函数，所以当时，，故在上为减函数，时，，所以，故当时，．【小问3详解】令，则，引理：若，则，事实上，令，则，故，又时，，且，所以，即，由引理可知，这样一直下去，有，令，由当时，，则，故，由及知，所以由（2）可知，当时，，故，，累加可知，，且时也满足，故，故，综上可知，．【小结】方法小结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与