高考数学模拟大题规范训练(22)含答案及解析

高三数学大题规范训练（22）15.已知的内角，，的对边分别为，，，，且．（1）求的值；（2）若，的面积为，求的周长．16.为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择：甲方案：只答A类题目；乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则下一次答B类题目．已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类题目能答对的概率均为，每道B类题目能答对的概率均为，且每道题能否答对与回答顺序无关．（1）若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；（2）若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？17.如图，在四棱台中，四边形是边长为4的菱形，，平面，．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．18.已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．（1）求方程．（2）不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；（ii）求面积最大值．19.已知函数，．（1）若在处取得极值，讨论的单调性；（2）设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；（3）设，证明：．

高三数学大题规范训练（22）15.已知的内角，，的对边分别为，，，，且．（1）求的值；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）2；（2）15.【解答】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及二倍角公式化简即得.（2）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换求出，再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在中，，由正弦定理得.【小问2详解】由及正弦定理，得，即，则，即，而，则，又，即，解得，，，由的面积为，得，则，又，解得，又，则，解得，所以的周长为.16.为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共需回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择：甲方案：只答A类题目；乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则下一次答B类题目．已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类题目能答对的概率均为，每道B类题目能答对的概率均为，且每道题能否答对与回答顺序无关．（1）若小李采用甲方案答题，求他得分不低于80分的概率；（2）若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？【答案】（1）（2）乙方案【解答】【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；（2）由二项分布求出小李采用甲方案答题的期望，若小李采用乙方案答题，则设他的得分为，求出的可能取值及其对应的概率，由数学期望公式求出，由即可得出答案.【小问1详解】若“小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分”记为事件，则小李至少答对道A类题目，所以.【小问2详解】若小李采用甲方案答题，设他的得分为，则他答对的题数为，且，所以，则，若小李采用乙方案答题，则设他得分为，的可能取值为，，，，，，，所以，因为，所以小李想要答题得分的期望值更大，应该选择乙方案答题.17.如图，在四棱台中，四边形是边长为4的菱形，，平面，．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解答；（2）.【解答】【分析】（1）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】菱形中，，则是正三角形，在平面内过作，由平面，得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，于是，，因此，所以.【小问2详解】由（1）知，，设平面法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值为.18.已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．（1）求的方程．（2）不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）（i）证明见解答；（ii）.【解答】【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.【小问1详解】令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，由三角形面积为，得，则，，所以的方程是.【小问2详解】（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，由消去x得：，则，直线与的斜率分别为，，于是，整理得，解得或，当时，直线过点，不符合题意，因此，直线：恒过定点.（ii）由（i）知，，则，因此的面积，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.【小结】思路小结：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知函数，．（1）若在处取得极值，讨论的单调性；（2）设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；（3）设，证明：．【答案】（1）答案见解答（2）证明见解答（3）证明见解答【解答】【分析】（1）由在处取极值待定，再求导函数，根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论的单调性；（2）构造函数将命题转化为在区间0,2恒成立，通过二次求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可；（3）应用第（2）问结论赋值得，由此放缩后运算求和即可得证.【小问1详解】，x∈R，，由在处取得极值，得，解得.当时，，设，则在R上单调递减，且.则当时，，即，故在单调递增；当时，，即，故在单调递减；故在处取到极大值，满足题意.在单调递增；在单调递减.【小问2详解】，x∈R，，曲线y=fx在点处的切线的斜率为，.故切线方程为，即；构造函数，，即，其中，则，x∈R设，其中，则，令，得，当时，，故在单调递减；当时，，故在单调递增；所以在0,2单调递减，且，.故当时，，即，则在单调递增；当时，，即，则在单调递减；故在处取极大值，且极大值为，当且仅当时，.所以当x∈0,2时，恒成立.即恒成立，故除点外，曲线段总在的下方，命题得证.【小问3详解】由（2）结论，任意，，恒成立.又由可知，单调递减，则，故恒成立，令，则恒成立.又由所以.故，故.即成立，命题得证.【小结】关键点小结：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发