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文档简介

高三数学大题规范训练(14)15.如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面与相交于点,点在上,.(1)证明:平面;(2)若与平面所成的角为,平面与平面的夹角为,求.16.某学校为提升学生的科学素养,要求所有学生在学年中完成规定的学习任务,并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生,获得其科普测试成绩(百分制,且均为整数)及相应过程性积分数据,整理如下表:科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a2b12302(1)当时,(i)从该校随机抽取一名学生,估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率;(ⅱ)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名,记X为这2名学生的科普过程性积分之和,估计X的数学期望;(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名,其科普测试成绩记为,上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立,直接写出a的最小值.17.已知函数.(1)求的单调区间;(2)若函数存在最大值,求的取值范围.18.已知圆,直线过点且与圆交于点B,C,BC中点为D,过中点E且平行于的直线交于点P,记P的轨迹为Γ(1)求Γ的方程;(2)坐标原点O关于,的对称点分别为,,点,关于直线的对称点分别为,,过的直线与Γ交于点M,N,直线,相交于点Q.请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明.①的面积是定值;②的面积是定值:③的面积是定值.19.如果无穷数列满足“对任意正整数,都存在正整数,使得”,则称数列具有“性质”.(1)若等比数列的前项和为,且公比,求证:数列具有“性质”;(2)若等差数列首项,公差,求证:数列具有“性质”,当且仅当;(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”,且四个数中恰有两个出现在数列中,求的所有可能取值之和.

高三数学大题规范训练(14)15.如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面与相交于点,点在上,.(1)证明:平面;(2)若与平面所成的角为,平面与平面的夹角为,求.【答案】(1)证明见解答(2)【解答】【分析】(1)通过证明,即可证明平面;(2)建立空间直角坐标系,由(1)知平面,即可得,再求平面和平面的法向量即可求出.【小问1详解】底面是菱形,,平面,且平面,.又,平面,平面,平面,,又,且平面,,平面,平面,,,,即,又平面,且,平面.【小问2详解】以为原点,以为轴,为轴,过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,又,在中由勾股定理得,即,.,,,,平面,与平面所成的角为,平面,是平面的一个法向量,平面,平面,平面平面,设,只需,则平面,则,令,则,,.16.某学校为提升学生的科学素养,要求所有学生在学年中完成规定的学习任务,并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生,获得其科普测试成绩(百分制,且均为整数)及相应过程性积分数据,整理如下表:科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a2b12302(1)当时,(i)从该校随机抽取一名学生,估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率;(ⅱ)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名,记X为这2名学生的科普过程性积分之和,估计X的数学期望;(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名,其科普测试成绩记为,上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立,直接写出a的最小值.【答案】(1)(i);(ⅱ);(2)7.【解答】【分析】(1)(i)求出科普过程性积分不少于3分的学生数,再求出频率,并用频率估计概率即得;(ⅱ)求出X的所有可能值,由(i)的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率,再求出期望即得.(2)求出的最大值,再求出100名学生科普测试成绩的平均值的最小值,由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当时,(i)由表知,科普过程性积分不少于3分的学生人数为,则从该校随机抽取一名学生,这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为,所以从该校随机抽取一名学生,这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为.(ⅱ)依题意,从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名,这名学生的科普过程性积分为3分的频率为,所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名,这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为,同理,从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名,这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为,的所有可能值为6,7,8,,,,所以的数学期望.【小问2详解】由表知,,则,从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名,其科普测试成绩记为,则的最大值为69,100名学生科普测试成绩的平均值记为,要恒成立,当且仅当,显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分,因此,则,解得,所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.17.已知函数.(1)求的单调区间;(2)若函数存在最大值,求的取值范围.【答案】(1)的增区间为,减区间为(2)【解答】【分析】(1)对函数求导,得到,再求出和对应的取值,即可求出结果;(2)令,对求导,利用导数与函数单调性间的关系,求出的单调区间,进而得出在上取值范围,从而将问题转化成成立,构造函数,再利用的单调性,即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为,因为,所以,由,得到,当时,,当时,,所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.【小问2详解】令,则,由(1)知,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,所以在时取得最大值,所以当时,,当时,,即当时,,所以函数在存在最大值的充要条件是,即,令,则恒成立,所以是增函数,又因为,所以的充要条件是,所以的取值范围为.【小结】关键点点晴:本题的关键在于第(2)问,构造函数,利用函数单调性得到时,,从而将问题转化成,构造函数,再利用的单调性来解决问题.18.已知圆,直线过点且与圆交于点B,C,BC中点为D,过中点E且平行于的直线交于点P,记P的轨迹为Γ(1)求Γ的方程;(2)坐标原点O关于,的对称点分别为,,点,关于直线的对称点分别为,,过的直线与Γ交于点M,N,直线,相交于点Q.请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明.①的面积是定值;②的面积是定值:③的面积是定值.【答案】(1)(2)结论③正确,证明见解答【解答】【分析】(1)由几何性质知P到,两点的距离之和为定值可得P的轨迹为椭圆;(2)解法一、二:设直线,,,表示出直线,的方程并联立求得Q的横坐标为定值,因此的面积是定值.解法三:当直线垂直于x轴时求得Q横坐标为4,当直线不垂直于x轴时,设直线,,,表示出直线,的方程并联立求得Q的横坐标为定值,因此的面积是定值.解法四:设直线,,,表示出直线,的方程,利用在椭圆上得,将直线的方程化为,与直线联立求得Q的横坐标为定值,因此的面积是定值.【小问1详解】由题意得,,.因为D为BC中点,所以,即,又,所以,又E为的中点,所以,所以,所以点P的轨迹是以,为焦点的椭圆(左、右顶点除外).设,其中,.则,,,.故.【小问2详解】解法一:结论③正确.下证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线,,,且,.由,得,所以,,所以.直线的方程为:,直线的方程为:,由,得,,解得.故点Q在直线,所以Q到的距离,因此的面积是定值,为.解法二:结论③正确.下证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线,,,且,.由,得,所以,,所以.直线的方程为:,直线的方程为:,由,得,故点Q在直线,所以Q到的距离,因此的面积是定值,为.解法三:结论③正确.下证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0.(i)当直线垂直于x轴时,,由,得或.不妨设,,则直线的方程为:,直线的方程为:,由,得,所以,故Q到的距离,此时的面积是.(ii)当直线不垂直于x轴时,设直线,,,且,.由,得,所以,.直线的方程为:,直线的方程为:,由,得.下证:.即证,即证,即证,即证,上式显然成立,故点Q在直线,所以Q到的距离,此时的面积是定值,为.由(i)(ii)可知,的面积为定值.解法四:结论③正确.下证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线,,,且,.由,得,所以,.直线的方程为:,直线的方程为:,因为,所以,故直线的方程为:.由,得,解得.故点Q在直线,所以Q到的距离,因此的面积是定值,为.【小结】方法小结:(一)极点与极线的代数定义;已知圆锥曲线G:,则称点P(,)和直线l:是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以替换,以替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(,)对应的极线方程.特别地,对于椭圆,与点P(,)对应的极线方程为;对于双曲线,与点P(,)对应的极线方程为;对于抛物线,与点P(,)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.(二)极点与极线的基本性质、定理①当P在圆锥曲线G上时,其极线l是曲线G在点P处切线;②当P在G外时,其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);③当P在G内时,其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.19.如果无穷数列满足“对任意正整数,都存在正整数,使得”,则称数列具有“性质”.(1)若等比数列的前项和为,且公比,求证:数列具有“性质”;(2)若等差数列首项,公差,求证:数列具有“性质”,当且仅当;(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”,且四个数中恰有两个出现在数列中,求的所有可能取值之和.【答案】(1)证明见解答;(2)证明见解答;(3),【解答】【分析】(1)利用等比数列的性质求解即可;(2)利用等差数列的性质结合题目的定义求解即可;(3)利用枚举法,结合题目的新定义求解即可.【小问1详解】解得:则即且若则则当对任意正整数,都存在正整数使得则等比数列满足性质.【小问2详解】因为数列具有“性质”,则若数列具有性质则,则,又则则,,则,又,则当时上式成立,当时.,则,若,且,时,,不合题意,所以所以数列具有“性质”,则需要,反之,若则则上面各式成立,则数列具有“性质”综上数列具有“性质”,当且仅当.【小问3详解】从这四个数中任选两个,共有以下6种情况:,;,;,;,;,;,.①对于,因为为正整数,可以认为是等比数列中的项,,首项的最小值为1.下面说明此数列具有性质P:=,=,任取,,则,为正整数,因此此数列具有性质P,②对于,.因为为正整数,认为是等比数列中的项,,首项的最小值为,下面说明此数列

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