高考数学模拟大题规范训练(11)含答案及解析

高三数学大题规范训练（11）15.设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.16.某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.17.已知函数.（1）若，当时，试问曲线是否存在能与两坐标轴围成等腰直角三角形的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由；（2）若在上单调，求实数取值范围.18.如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.（1）求的长度；（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.19.已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.（1）求曲线的标准方程;（2）已知是定值，求该定值;（3）求面积的范围.

高三数学大题规范训练（11）15.设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解答【解答】【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项公式；（2）由（1）得，即，从而得到，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，，，成等比数列，则，即，将代入上式，解得或（舍去）．；【小问2详解】由（1）得，又，所以，所以，则．16.某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解答，96【解答】【分析】（1）利用正难则反的原则即可得到答案；（2）按步骤得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.【小问1详解】设事件“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，因为每次摸出的球不放回袋中，所以.【小问2详解】由已知得，，因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为，，，所以，，，，，所以得分布列为8090100110120所以.17.已知函数.（1）若，当时，试问曲线是否存在能与两坐标轴围成等腰直角三角形的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由；（2）若在上单调，求实数的取值范围.【答案】（1）存在，或（2）【解答】【分析】（1）易知满足题意的切线方程斜率需为1或，且不过原点，利用导数的几何意义可求得结果；（2）利用导数与函数的单调性的关系将问题转化为在上恒成立，再对分情况讨论即可求得实数的取值范围为.【小问1详解】若，则，得，若一条直线能与两坐标轴围成等腰直角三角形，则该直线的斜率为1或，且不过原点；易知，显然不可能成立，当时，令，得，故，所以切点或，所以存在切线满足题意，且切线方程为或.【小问2详解】求导可知，因为在上单调，且，所以在上单调递减，则在上恒成立，若，由（1）易知符合题意，若，当时，；当时，单调递增，所以，即，解得；若，当时，；当时，单调递减，所以，即，解得；综上，实数的取值范围为.18.如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.（1）求的长度；（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）1（2）【解答】【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得，再利用三角形相似可求得；（2）建立空间直角坐标系，设，并根据坐标分别求得平面与平面的法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得，可得.【小问1详解】作，垂足为，连接，如下图所示：由点在平面的射影落在边上可得平面，又平面，所以，因为，且平面，所以平面，又平面，所以，又因为为矩形，，可得，由，可得，所以，；由可得，即；即的长度为1.【小问2详解】根据题意，以点为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，并设，可得，所以；易知，，设平面的一个法向量为，所以，解得，取，则，即，设平面的一个法向量为，所以，解得，取，则，即，因此可得，整理可得，解得（舍）或；因此，即可得.所以的长度为.19.已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.（1）求曲线的标准方程;（2）已知是定值，求该定值;（3）求面积的范围.【答案】（1）（2）（3）【解答】【分析】（1）设点的坐标，由题意可得点的恒纵坐标的关系，即可得到曲线的标准方程；（2）设直线和直线方程，然后与椭圆的方程联立，即可得到的坐标关系，进而可得为定值；（3）由题意可得的比值，由题意可得面积的表达式，再由函数的单调性，即可得到结果.【小问1详解】令Px,y且，因为，所以，整理可得，所以的标准方程为.【小问2详解】设Px0,y0设直线和直线的方程分别为，，联立直线与椭圆方程，整理可得，则，，联立直线与椭圆方程，整理可得，可得，，又因为，，所以，所以，即，同理可得，，即，所以.设Px0,y0设，则有，又，可得，同理